中学受験】周期算の分かりやすい考え方解き方公式を図解でまとめました

「周期算って何?」という小学校低学年から「周期算を復習したい」という中学受験生の方、おまかせ下さい。

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすくまとめました。

確認問題で定着を図れるので、記事を読めば周期算はもう大丈夫ですよ!

周期算の基本

例えば、白と黒の石が図のように並んでいる場合

図1:白と黒の石の並び

○○●●○○●●○○●…

碁石のような…

よく見ると石が4個ずつの並び(周期=パターン)を繰り返しているのが分かる。

図2:区切りを入れたところ

○○●●/○○●●/○○●…

4個ずつの周期

また、数字が図のように並んでいる場合も

図3:数の並び

3,1,4,3,1,4,3,1,4,…

よく見ると…

数字が3個ずつの並びを繰り返している。

図4:区切りを入れたところ

3,1,4,/3,1,4,/3,1,4,…

3個ずつの周期

このパターン(周期)を利用するのが周期算です。並びを見たら周期に区切れないか考えて区切ってみましょう。

確認問題をどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)
次の並びは何個ずつの周期になっているか

●○○○●●○○○●●○…
→( ●○○○●/●○○○●/●○…で5個ずつの周期 )

3212321232…
→( 3212/3212/32…なので4個ずつの周期 )

碁石の並び

上で上げた碁石の並びで9番目の石が何色か考えます。

9番目の石
○●●○
➀②➂④
○●●○
➄⑥⑦⑧
●●○
⑩⑪⑫
実際に書けば白と分かるが…

実際に数えて色を見ると…白です。

これを計算で出すにはどうすればよいか考えましょう

位置を探る

まず9番目の石が周期との関係でどのような位置にあるのかを求めます。

9番目までに「○●●○」の周期がいくつ出てくるか割り算で計算すると9÷4=21なので、「○●●○」の周期が2個出てきます。余りの「1」は、2周期の後に1個あるという意味で、これが9番目になります。

9番目の石の位置
1
➀②➂④/
○●●○/
➀②➂④/
2
➀②➂④/
○●●○/
➄⑥⑦⑧/
3
②➂④/
○●●○/
⑩⑪⑫/
1周期が4個なので、9÷4=2…1
第3グループの1番目と分かる

つまり9番目の石は第3グループの1番目です。そして、どのグループでも1番目は白なので9番も白と分かります。

このように周期算で何番目かを指定されたら、まず割り算で位置を探ります。

では100番目の石は?

100÷4=25…0なので、100番目の石は25周期の後の0番目、つまり25周期の最後の石です。

100番目の石の位置
1
➀②➂④/
○●●○/
➀②➂④/
……
25
/➀②➂④/
/○●●○/
/⑨⑨⑩100/
100÷4=25…0なので
第25グループの最後

どのグループでも最後の石は白なので、100番目の石は白と分かります。(つまり、余りが0の場合は周期の最後になる。)

公式としてまとめるとこうなります。

周期算(1)

●1周期A個の時、最初からN番目の数の位置
N÷A=B…C の時
第B周期の後のC個目=第(B+1)周期のC番目
(C=0の時は、第B周期の最後)

(例)1周期5個の、最初から34番目の数の位置?
→34÷5=6…4
→ 第6周期の後の4個目=第7周期の4番目

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

1周期が3個の時、最初から43番目の位置は?
→( 52÷3=17…1より18(17+1)周期の1番目 )

1周期が5個の時、最初から70番目の位置は?
→( 70÷5=14…0より14周期の最後(5番目) )

三種類の番号

このように、周期算の計算では三種類の番号が出てきます(色をつけていました)。

周期算で使う番号

中学受験の周期算で使う3つの番号。周期番号・周期内番号・通し番号

一見面倒くさいですが、
これがラクに解くコツです。

A通し番号~初めから連続して数える番号
B周期番号~周期(グループ)の番号
C周期内番号~周期の中で数える番号

この三種類の番号を意識すると、石の位置が分かりやすくなります。

色別の石の数合計

位置を探ることができれば色んな問題を解けます。

例えば、50番目までの石すべてを取ると黒石は何個あるでしょうか?

まず50番目の石の位置を探ります。

50÷4=122 なので12周期の後の2個目つまり第13周期の2番目です。

50番目の石の位置
1
➀②➂④/
○●●○/
➀②➂④/
12
/➀②➂④/
/○●●○/
/㊽㊽㊽/
13

○●
50÷4=12…2なので
第13グループの2番目

ここで、一つの周期(グループ)の中に黒い石は2個ずつあるので、第12周期までの黒い石は全部で2×12=24個あるのが分かります。

さらに第13周期は2番目までしか石が無く黒い石は1個しかありません。

通し番号50番目までの黒石の様子
1
➀②➂④/
●●○/
黒石2個   /
12
/➀②➂④/
/○●●○/
黒石2個   /
13


黒石1個
黒石の数は2×12+1=25個

これを合計して、黒い石は24+1=25あると分かりました!

確認テスト

確認テスト(タッチで解答表示)
○●●○○●●○●●…という石の並びがある時

65番目までの石すべてを取ると黒石は何個あるか?
→( 65番目の位置を求めると、65÷4=16…1なので、17周期の1番目の白石 )
→( 各周期の●を計算すると、1周期に●は2個あるので、16周期までに黒石は2×16個、17周期は1番目の白石で終わるので黒石は出てこない )
→(合計すると、2×16+0=32 )

100番目までの石すべてを取ると白石は何個あるか?
→( 100÷4=25…0なので、100番目の石は25周期の最後(4番目))
→( 1周期に白石は2個あるので全部で2×25=50 )

色別の順番から通番を求める

上の問題とは逆向きの問題も解けます。

例えば「黒い石だけを集めた時に16番目になる黒い石は、はじめから何番目か」

黒い石は1周期に2個づつあるので、黒い石だけを考えれば1周期2個の周期算と考えれば良いですね。

16番目の黒い石の位置を探ると、16÷2=8…0なので8周期の「最後の黒い石」と分かります。

16番目の黒い石
1
➀②➂④/
○●●○/
➀②➂④/
7
/➀②➂④/
/○●●○/
/㊽㊽㊽/
8
➀②
○●●
㉙㉚
16÷2=8…0 より
8周期の「最後の黒い石」と分かる。

そして8周期の「最後の黒い石」は…白い石も混ぜて数えた時は8周期の3番目(7周期の後の3個目)なので、はじめから数えると(4×7)+3=31番目になります。

確認テスト

 

色の差の問題

今度は周期を変えてみます。

((図))

この周期の 番目までの石を足すと、黒石と白石の数の差は何個になるでしょうか?

1周期に含まれる黒石は3個、白石は2個なので、1周期ごとに黒石が1個多くなっていきます。

そして、 番目の石は ÷ = … で、第 グループの 番目にあります。

((図))

グループの合計では1× = 個だけ黒石が多くなっていて、最後の グループでは黒石が 多いので、結局黒石が 個多いと分かりました。

((図))

周期算の公式

ここまでで何度も出てきた計算(公式)を確認します。

➀はじめから何番目→何周期の何番目
➁何周期の何番目→はじめから何番目

この2つです。

周期算の要素の位置

1つの周期にAコの数が入っている時

◆最初からN番目の数の位置は?
→N÷A=B…C の時
第B周期の後のC個目=第(B+1)周期のC番目
C=0の時は第B周期の最後

(例1)1つの周期に5個の数がある時、最初から34番目の数の位置?
→34÷5=6…4 → 第6周期の後の4個目=第7周期の4番目

(例2)1つの周期に6個の数がある時、最初から30番目の数の位置?
→30÷6=5…0 → 第5周期の最後(余り0は最後)

◆第P周期のQ番目の数は最初から何番目?
→(P-1)×A+Q 番目

(例3)1つの周期に5個の数がある時、第8周期の2番目は最初から何番目?
→(8-1)×5+2=37番目

(例4)1つの周期に6個の数がある時、第4周期の後ろから2番目の数は最初から何番目?
→後ろから2番目は後ろに1個あるので前から6-1=5番目
→(4-1)×6+5=23番目

記号・文字の並び

ここまでは白石黒石の2種類しか並んでいませんでしたが、記号や文字を使うと3種類以上になって少し面倒くさいですが、やり方は変わりません。

例として、5文字のアルファベット「CYCLE」を並べた周期算を考えてみましょう(cycleは英語で周期の意味)。

「CYCLE」の並び

CYCLE/CYCLE/CYCLE

5個ずつの周期で
1周期にCが2個入っている

Q1.初めから82個目の文字は何か?
→82÷5=16…2より、初めから84個目の文字は第16周期の後の2個目(第17周期の2番目)。
→各周期の2個目はいつも「Y」なので、84個目も「Y」

 

Q2.82個目の文字までの中に「C」は何個あるか?
→82個目の文字は第16周期の後の2個目(第17周期の2番目)の「Y」
→1周期に「C」は2個あり、第16周期までに2×16=32個あるが、最後の第17周期は2番目で終わっているので「C」は1個だけ。
→合計で「C」は32+1=33個ある

 

Q3.23個目の「C」は初めから数えると何番目か?
→23÷2=11…1なので、23個目の「C」は第11周期の後1つ目の「C」(12周期の1つ目の「C」)
→周期の1つ目の「C」は他の文字を混ぜても周期の1番目の文字
→第11周期の後1つ目の「C」は初めから数えると5×11+1=56番目になる。

23個目の「C」
1
➀②➂④➄/
C Y C L E/
➀②➂④➄/
11
/➀②➂④➄/
/C Y C L E/
/㊽㊽㊽55/
12

C
56
23÷2=11…1 より
12周期の1番目の「C」

確認テスト
2021.1.22作成中

数字の並び

数字の並びも考え方は同じですが、数字同士を計算できるので複雑な問題も出題されます。

N番目の数を求める

碁石の「N番目の石の色を求める」のと同じやり方です。

例えば「269269…」という数字の並びの17番目の数を求める場合、1周期の個数が3個なので、17÷3=5…2 で位置を探って第6周期の2番目と分かります。

周期の2番目なので「6」になります。

N番目の数を求める

(例)「2,6,9,2,6,9…」の17番目を求める
1周期に3の数があるので17÷3=52で、5周期の後の2個目(第6周期の2番目)と分かる。
→周期の2番目なので「6」

Nを1周期の個数(A)で割った答えがB,余りCの時、N番目の数はB個の周期が出た後のC個目=第(B+1)周期のC番目。

N番目までの合計を求める

碁石や記号には無かった問題です。

例えば「269269…」という数字の並びを17番目まで合計したらいくつになるか?

まず17番目の数字の位置を探って、17÷3=5…2 で第6周期の2番目。

この問題では1周期の合計は17です。そして第1周期から第5周期の合計が17×5=85になります。

第6周期は「⑯2」と「⑰6」の2個しかないので合計は8です。

全部を合計すると85+8=93になります

N番目までの合計

(例)「269269…」を17番目まで合計すると?
→1周期「2,6,9」の合計が17
→17番目の数の位置は 17÷3=5…2 で5周期の後の2番目

→5周期までの合計は17×5=85
→6周期の合計は⑯2+⑰6=8
→合計は85+8=93

(問題を解く手順)

  1. 1周期の合計を出しておく(S)
  2. N番目の数の位置(第B周期の後C個目)を探る。
  3. 第B周期までの合計をS×Bで求める
  4. 最後の周期の合計を足し算で求める
  5. 全部を合計する

合計からN番を求める

上とは反対の問題で、例えば「269269…」という数字の並びをはじめから合計して になるのは何番目か?

 

循環小数の並び

1÷3を計算すると(または13を小数に直すと)、割り切れずに「0.333…」と同じ数が並びます。

また1÷7を計算すると(または17を小数に直すと)「0.142857142857…」と「142857」という6個の数字が繰り返し並びます。

このような数を「循環小数」といいます。この数の並びを使った周期算の確認問題をどうぞ。

確認テスト(タッチで解答表示)

1÷7を計算をした時、小数第32位の数字は何ですか?
→( 1÷7=0.142857142857…でこれは1周期に6個の数を含む数の並びになっている。)
→( 32番目の数は、32÷6=5…2なので5周期の後の2個目、つまり6周期の2番目の数「4」と分かる。)

累乗の一の位の並び

3、3×3、3×3×3、3×3×3、3×3×3×3、3×3×3×3×3 という数の並びを計算して並べ直すと、3,9,27,81,243,729 になります。

さらに一の位だけを並べ直すと、3,9,7,1,3,9…と「3971」という4個の数字が繰り返し並びます。この数の並びも周期算として出題されます。

ちなみに、3×3×3のように同じ数を何回かかけた数を「累乗」と言います。この問題は「3の累乗の一の位の周期算」です。

確認テスト(タッチで解答表示)

8を2014回かけた数の一の位は?
→( 8,4,2,6,8,4,2,6…という4個周期になるので、
2014番目は 2014÷8=504…2より、505周期の後の2番目と分かるから「4
)

日付の並び(カレンダー)

日付は一週間7日を周期とした並びになっています。これを利用して周期算の問題が作れます。

ここで気を付けてほしいのは、日にちの数え方には二種類あると言うこと

◯日目と□日後の関係

◆「日後」=(間の数)=「日目」-1

◇「日目」=(木の数)=「日後」+1

●2つを互いに変えられるようにする
今日から10日目=今日の9日後
今日の7日(一週間)後=今日から8日目

植木算の前後の「数え方」の単元でカレンダーの問題を学んだ時は○「日後」を使いました。(日付の計算は「日後」を使ったほうが簡単なので。詳しくは「日歴算の解き方」を見てください。)

ところが単なる日付計算でなく「曜日ごとに異なった作業があるような問題」では周期算で「日目」を使うほうが簡単です。

算数が得意な人は、この機会に「日目」のやり方に統一しても良いでしょう。

例題1
Aさんは130ページの問題集を買ってきて、9/1(月)から月・木には3ページ、土曜日には5ページ進めていきます。

(1)9/10には何ページ進んでいますか?
→1週間に3+3+5=11ページ進みます。
→9/10は9/1から数えて、10-1=9日後=10日目です。
→10日目の周期上の位置は10÷7=1…3 より1週間の後の3日目つまり水曜日
→1週間で11ページ進み、さらに水曜日までに月曜の3ページ進むので、合計11+3=14ページ進んでいる(先が長い!…)

(2)50ページが終わるのは何月何日の何曜日ですか?
→50÷11=4…6なので、4週で44ページ終わらせた次の週に6ページ終わらせれば良い。
→6ページ終わらせるには月・木の3+3でちょうど終わるので、50ページが終わるのは4週の後の木曜日。
→4週の後の木曜日は、7×4+月花水木の4=32日目=31日後
→9/1の31日後の日付を求める。9月の残りが29日なので31-29=2より、10/2と分かり、これは木曜日であった。

(3)問題集が終わるのは何月何日の何曜日ですか?
→130÷11=11…9より、11週の翌週の土曜日に終わるのが分かる。
→11週の翌週の土曜日は7×11+6=83日目=82日後
→9/1の82日後は、82=29+31+22 より11/22(土)と分かる

 

例題2
Aさんの倉庫は工場で出来た製品を保管しています。月曜から金曜は1日8個の製品が倉庫に入ってきます。水曜に16個、金曜日に20個の製品を販売店に出荷します。現在のの日付は4月6日の月曜日で、倉庫の中は空っぽです。

Q1.来週の月曜日の朝には倉庫に製品が何個ありますか?
→倉庫には、1週間で8×5=40個の製品が入ってきて、16+20=36個の製品が出ていくので、40-36=4個の製品がたまっていきます。
→来週の月曜の「朝」はまだ製品が来ていないので、今週増えた4個の製品が倉庫にあります。

Q2.4/30に倉庫には製品が何個ありますか?
→今日が4/1なので4/30は30日目。
→30日目の周期上の位置を探ると、30÷7=4…2より5週目の2日目(つまり火曜日)と分かる。
→4個づつ4週荷物が増えるので5周目のはじめには荷物が16個たまっている。
→5周目の月曜と火曜は8個づつ製品が入ってくる(出荷はしない)ので16個増える。
→合計して16+16=32個が倉庫の中にあると分かる

Q3.このペースで行くと、倉庫の中の製品が50個になるのは何月何日の何曜日ですか?

爽茶そうちゃ
周期算は以上です。
問題を解きたい人へ
●周期算だけを練習したい場合は「周期算」(サイパー算数)が定評があります。
●周期算だけでなく算数全体の復習をしたい場合、小4受験生には「算数の基本問題4年」(日能研)が、小5受験生には「算数の基本問題(小5)」(日能研)がオススメ(どちらにも周期算があります)、小6受験生には厚めですが「中学入試 塾技100(算数)」がオススメです(「算数ベストチェック」(日能研)には周期算はありません)。

おしらせ

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そうちゃ
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最後まで読んでいただきありがとうございました♪この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです!
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