[作成中]周期算のまとめ(公式、問題、応用)【中学受験

周期算の基本

例えば、白と黒の石が図のように並んでいる場合

○●●○○●●○○●…

((図))

よく見ると石が4個ずつの並び(周期=パターン)を繰り返しているのが分かる。

○●●○/○●●○/○●…

((区切った図))

また、数字が図のように並んでいる場合も

314314314314314314

((図))

数字が3個ずつの並びを繰り返している。

314/314/314/314/314/314

((区切った図))

このパターンを利用するのが周期算です。並びを見たら周期に区切れないか考えて区切ってみましょう。

 

碁石の並び

上で上げた碁石の並びで9番目の石が何色か考えます。

○●●○○●●○○●●…
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪

実際に書いてあるので見ると…黒です。

これを計算で出すにはどうすればよいか

位置を探る

まず9番目の石が周期との関係でどのような位置にあるのかを求めます。

9番目までに「○●●○」の周期がいくつ出てくるか割り算で計算すると9÷4=2…1なので、「○●●○」の周期が2個出てきます。あまりの1は、2周期の後に1個あるという意味で、これが9番目になります。

1●○/○2●○/3
①②③④/①②③④/
○●●○/○●●○/○…
①②③④/⑤⑥⑦⑧/⑨

つまり9番目の石は第3グループの1番目です。そして、どのグループでも1番目は黒なので9番も黒と分かります。

このように周期算で何番目かを指定されたら、まず割り算で位置を探ります。

では100番目の石は?

 

このように余りが0の場合は周期の最後ということです。

(公式)

中学受験の周期算で使う3つの番号。周期番号・周期内番号・通し番号

◆最初からN番目の数の位置は?
→N÷A=B…C の時
第B周期の後のC個目=第(B+1)周期のC番目
C=0の時は、第B周期の最後

色別の石の数合計

位置を探ることができれば色んな問題を解けます。

例えば、11番目までの石すべてを取ると黒石は何個あるでしょうか?

 

 

色別の順番から通番を求める

上の問題とは逆向きの問題も解けます。

例えば黒い石だけを集めた時に20番目になる黒い石は、はじめから何番目か

 

 

周期算の公式

ここまでで何度も出てきた計算を公式にしておきましょう。

➀はじめから何番目→何周期の何番目
➁何周期の何番目→はじめから何番目

この2つです。

周期算の要素の位置

1つの周期にAコの数が入っている時

◆最初からN番目の数の位置は?
→N÷A=B…C の時
第B周期の後のC個目=第(B+1)周期のC番目
C=0の時は第B周期の最後

(例1)1つの周期に5個の数がある時、最初から34番目の数の位置?
→34÷5=6…4 → 第6周期の後の4個目=第7周期の4番目

(例2)1つの周期に6個の数がある時、最初から30番目の数の位置?
→30÷6=5…0 → 第5周期の最後(余り0は最後)

◆第P周期のQ番目の数は最初から何番目?
→(P-1)×A+Q 番目

(例3)1つの周期に5個の数がある時、第8周期の2番目は最初から何番目?
→(8-1)×5+2=37番目

(例4)1つの周期に6個の数がある時、第4周期の後ろから2番目の数は最初から何番目?
→後ろから2番目は後ろに1個あるので前から6-1=5番目
→(4-1)×6+5=23番目

記号・文字の並び

 

 

数字の並び

数字の並びも考え方は同じです。

N番目の数を求める

碁石の「N番目の石の色を求める」のと同じやり方です。

例えば「269269…」という数字の並びの17番目の数を求める場合、1周期の個数が3個なので、17÷3=5…2 で位置を探って第6周期の2番目と分かります。

周期の2番目なので「6」になります。

N番目の数を求める

(例)「2,6,9,2,6,9…」の17番目を求める
1周期に3の数があるので17÷3=52で、5周期の後の2個目(第6周期の2番目)と分かる。
→周期の2番目なので「6」

Nを1周期の個数(A)で割った答えがB,余りCの時、N番目の数はB個の周期が出た後のC個目=第(B+1)周期のC番目。

N番目までの合計を求める

碁石や記号には無かった問題です。

例えば「269269…」という数字の並びを17番目まで合計したらいくつになるか?

まず17番目の数字の位置を探って、17÷3=5…2 で第6周期の2番目。

この問題では1周期の合計は17です。そして第1周期から第5周期の合計が17×5=85になります。

第6周期は「⑯2」と「⑰6」の2個しかないので合計は8です。

全部を合計すると85+8=93になります

N番目までの合計

(例)「269269…」を17番目まで合計すると?
→1周期「2,6,9」の合計が17
→17番目の数の位置は 17÷3=5…2 で5周期の後の2番目

→5周期までの合計は17×5=85
→6周期の合計は⑯2+⑰6=8
→合計は85+8=93

(問題を解く手順)

  1. 1周期の合計を出しておく(S)
  2. N番目の数の位置(第B周期の後C個目)を探る。
  3. 第B周期までの合計をS×Bで求める
  4. 最後の周期の合計を足し算で求める
  5. 全部を合計する

 

合計からN番を求める

上とは反対の問題で、例えば「269269…」という数字の並びをはじめから合計して になるのは何番目か?

 

循環小数の並び

1/3は小数に直すと割り切れずに「0.333…」と同じ数が並びます。また1/7も「0.142857142857…」と「142857」という5個の数字が繰り返し並びます。

このような数を「循環小数」といいます。この数の並びを周期算の問題にすることがあります。

 

累乗の一の位の並び

3、3×3、3×3×3、3×3×3、3×3×3×3、3×3×3×3×3 という数の並びを計算して並べ直すと、3,9,27,81,243,729 になります。

さらに一の位だけを並べ直すと、3,9,7,1,3,9…と「3971」という4個の数字が繰り返し並びます。この数の並びも周期算として出題されます。

ちなみに、3×3×3のように同じ数を何回かかけた数を「累乗」と言います。この問題は「3の累乗の一の位の周期算」です。

 

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