中学受験】つるかめ算とは？問題と解き方を分かりやすく図解【小学生

0-0:つるかめ算の例

1個80円の肉まんと1個100円のピザまんを合計20個買ったら1860円だった。
肉まんとピザまんをそれぞれ何個ずつ買ったか？

1-1:つるかめ算(置き換え法)

解説

➊「仮の合計」を出す
20個全部が肉まんだとすると100×20=2000円(仮の合計)になるはず

➋「合計との差」を出す
実際は1860円なので2000-1860=140円の差(合計の差)がある

➌「一個の差」を出す
ここで肉まん20個のうち1個をピザまんに変えると100-80=20円安くなる(1個の差)ので、合計も2000円から20円安くなって1980円になる。

❹「何個取り替えるか」を出す
何個ピザまんに変えれば良いか考えると、合計の差140円を1個の差20円で割った7個と分かる。
つまりピザまんが7個で肉まんは20-7=13個になる。

実際に計算して確かめると、ピザまん80円×7個+肉まん100円×13個=560円+1300円=1860円になっている。

3-1:弁償算(マイナスつるかめ)

❶仮の合計を出す
全問正解の場合100×20=2000円になり(仮の合計)

❷仮合計と実際の差を出す
仮合計(2000円)と実際(1350円)との合計の差は650円。

❸プラスとマイナスの1個の差を出す
このクイズでは正解(プラス100)と不正解(マイナス30)との1個の差が100+30=130円の差がある(100-30でないことに注意)

❹マイナスの個数を求める
合計の差650÷1個の差130=5で不正解(マイナス)は5問と分かる。

4-1:個数取り違えの例

90円のピザまんと120円の肉まんを合計20個買うのに、ピザまんと肉まんの買う個数を予定と逆にしてしまったので、予定よりも180円高くなってしまった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買う予定だったか

4-1:つるかめ取り違え

➊合計代金の差を出す
予定と実際の合計代金差は180円

➋単価の差を出す
ピザまんと肉まんの単価の差は30円(1つ取り違えると30円の差がでる)。

➌個数の差を出す
180÷30=6でピザまんと肉まんの個数の差は4個。

また、予定よりも高くなっているのは、予定では単価が低い方=ピザまんの方が多かったから。

問題文に合計は20個と書いてあるので、和が20個、差が6個(ピザまんの方が多い)です。

➍和差算を行う
和20差6で和差算を行い、ピザまん13個,肉まん7個

1-1:サブタイトル

解説

一番最初の置き換え法を思い出して、全部アンパンの場合の品目ごとの金額の差を出してみると

アンパンの代金:80×20=1600\
クリームパン〃:100×0=0\
代金の差は1600\　と分かります(仮の代金差)

次にアンパン1個をクリームパンに変えると、アンパンの代金が80円減ってクリームパンの代金が100円増えるので、代金の差は180円減少して1420円になります。

このように、クリームパンを1個増やすと代金差は180円減るので、仮の代金差1600円から実際の代金差700円へと900円減らすためには900÷180=5個クリームパンにすれば良いと分かります。

X-1:3量のつるかめ(拘束型)

解説

まず単純に図を書くと「3段のL字形」ができます。

このうち左のL字形の部分を平均の考え方で平らにならします。

左のL字の合計を比の数字(➀：➀)を使って求めると、➀×2+➀×4=⑥です。これを長方形にすると全体の面積⑥÷横幅の②=3が高さになります。

これで三段だったL字形を二段に変えることが出来ます。

これで出来た面積図は「3本足の何かとクワガタが合計10匹で足の合計は36本」のつるかめ算になっています。

つるかめ算の面積図法でを解くと「3本足の何か」は8匹と分かります(この半分の4が鶴と亀の数)

始めの3段L字形に戻すと、鶴亀クワガタの数が全部分かりました。

X-2:3量のつるかめ(拘束型)

解説

単純に図を書くと全体が三段のL字型になってしまします。

しかし、平均の考え方でAとBの二段のL字型を長方形に直すと、全体が二段のL字型になるので、つるかめ算で解くことが出来ます。

つるかめ算を解いたらAとBも求めて、A10,B20,C6と分かります。

X-3:3量のつるかめ(拘束型)

解説

図を書くと三段のL字型になっていますが

三段のL字型の図の横の長さが「3」となっている部分(面積3×4=12)をそっくり削り取り

オレンジ色の2段Lを平均して長方形にすると、「3本足の何か」とクワガタが合計17匹、足の数の合計60本という通常のつるかめ算と同じになります。

これを解くと、クワガタ3匹、3本足の何か14匹とわかります。

これを最初の3段L字形に戻すと、鶴は7匹、亀は7＋3=10匹と分かります♪

以上より、鶴7,亀10,クワガタ3と分かりました

X-5:3量のつるかめ(拘束型)

解説

3段のL字形を書きます。ガムとチョコの代金が等しいので、PとQの面積が等しくなります

ここで、面積が等しい2つの長方形の縦の比と横の比は逆になるので、縦の比が200:300=2:3より横の比は➂：➁になると分かります。

これを利用して、ガムとチョコの部分を平らにならすと、横⑤、縦24円の長方形になり

共通の上キャプション

図a

aの注釈

→

図b

bの注釈

共通の下注釈

2段のつるかめで解くことが出来ます。

アメが8個なので、⑤=20個になり、ガム➂=12個、チョコ➁=8個と分かりました。

Y-1:いもづる算

一見すると「つるかめ算」のようですが、みかんとりんごの個数が合計が分かりません。

このような問題を「いもづる算」と言います。

まず、みかんをx個、りんごをy個買ったとして、関係を式にすると「60x+110y=1000」になります。

この式の数字を全部10で割る(0をとる)と「6x+11y=100」になります。

この式「6x+11y=100」が成立するようなxとyを見つければ答えになります。

これらは計算でサッと出すことはできません…表を書いて、ありえる組み合わせを全部見つけます(面倒くさいですが…)。

この表は、かけられる数が多い文字(ここではy)に数字を1から順に入れたときにxが決まるかを調べる作業をそのまま項目にしています。

左から2番目の列は、y=1の時に11y=11になるので、これと合わせて100になる6x=89と分かりますが、その場合x=14.~という小数になってしまい不適切」ということを表しています。

y=2の時も同様に考えるとx=13が見つかりますが、その後はy=8まで答えが見つかりません。

ここで表全体を眺めると、y=2からy=8までの間に5列があるのが見えます。これは次の5列も答えが見つからないことを示してくれています。

したがって、その後はy=9を調べずに、5列を間にしたy=14を調べます。これが不適切なので調べは終了でｓ．

結局(x=13,y=2)(x=2,y=8)という2つの組み合わせが見つかり、これが答えになります。

この「いもづる算」は調べないと分からないので、受験算数でも一番面倒くさい部類に入ります。

Z-1:真の3量のつるかめ算

解説

まず問題文をそのまま面積図にすると、幅が10の3段のL字形ができます(図1左)。

この3段L字で、高さが2より低い長方形(面積は2×10=20)を切り落として、亀とクワガタだけのL字型(左右の高さは2と4になる)を取り出します(図1→)。

このL字型の面積は38-210=18になるので、亀の数をP,クワガタの数をQとすると、「2×P+4×Q=18」という式が成り立つ。L字形の横幅は分からないので、ここからはさっきの「いもづる算」と同じになります。

まず「2×P+4×Q=18」の全体を2で割って簡単にすると「1×P+2×Q=9」になる。このあとは足の数が多いクワガタが1,2,3…と調べて表にしていく。

Q(クワガタ)=1の時のP(亀)を求めてみると「1×P+2×1=9」よりPは7、鶴は10-(1+7)=2

Q(クワガタ)=2の時は「1×P+2×2=9」よりP(亀)は5、鶴は10-(2+5)=3

Q(クワガタ)=3の時は「1×P+2×3=9」よりP(亀)は3、鶴は10-(3+3)=4

Q(クワガタ)=4の時は「1×P+2×4=9」よりP(亀)は1、鶴は10-(4+1)=5

Q(クワガタ)=5の時は「1×P+2×5=9」よりP(亀)は0になって不適当で、ここで調べ終了

答えは鶴は2,3,4,5の3通り(面倒くさい！)

Z-2:真の3量のつるかめ算

解説

三段のL字型の下を横幅いっぱいの長方形の形で切り取り、二段のL字型にすると、二量のいもづる算になる。

表を書いて調べると、(X,Y,Z)の組み合わせは5通りあると分かります。