中学受験】つるかめ算とは?問題と解き方を分かりやすく図解【小学生

つるかめ算の記事一覧

面積図を使わない方法(置き換え法)

面積図を使う方法
◆個数の取り違え ◆マイナスあり(弁償算)
◆三量のつるかめ算(拘束式)
◇いもづる算 ◆三量のつるかめ算(非拘束式)

「つるかめ算って何?」どうやるの?」という小学校低学年の方から、小学生から「受験に向けて応用問題を解きたい」という中学受験生の方まで、全員お任せ下さい。

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」がつるかめ算の基礎から応用まで分かりやすく説明します。

目次をクリックすると好きな箇所にジャンプできます。

つるかめ算とは

ニ種類以上の物の単価と合計個数・合計金額から、各種類ごとの個数を求める問題です。(参考:ウィキペディアの説明)

0-1:つるかめ算の例
1個80円の肉まんと1個100円のピザまんを合計20個買ったら1860円だった。
肉まんとピザまんをそれぞれ何個ずつ買ったか?

ここでは「肉まん」「ピザまん」という二種類のモノの単価「80円」「100円」合計個数「20個」合計金額「1860円」から、「肉まん」「ピザまん」それぞれの個数を求めます。

つるかめ算の解き方には大きく2つ「面積図を使う」と「面積図を使わない=置き換え法」があります。

「面積図」が有名なのですが「置き換え法」も重要なので、中学受験生は両方できないといけません。

基本解法(置換え法=差集め算)

表を用いたりして解く(置き換え法)。実質的に「差集め算」の考え方を用いている。

つるかめ算(置換法)

AB二種類の品物を買うときの手順

  1. 全部Aとして「仮の合計」を計算する
  2. 仮の合計と実際の合計との「合計の差」を出す
  3. AとBの「1個の差」を出す
  4. 「合計の差」「1個の差」で割ってBの数を求める

例題をどうぞ

1-1:(置き換え法)
1個80円のピザまんと1個100円の肉まんを合計20個買ったら1860円だった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買ったか
➊「仮の合計」を出す
20個全部が肉まんだとすると100×20=2000円(仮の合計)になるはず

全て肉まん 実際
ピザまん
(金額)
0個
(0円)
?
肉まん
(金額)
20個
(2000円)
20-?
合計金額 2000円
(仮の合計)
1860円
➋「合計との差」を出す
実際は1860円なので2000-1860=140円の差(合計の差)がある
➌「一個の差」を出す
ここで肉まん20個のうち1個をピザまんに変えると100-80=20円安くなる(1個の差)ので、合計も2000円から20円安くなって1980円になる。

全て肉まん 1個ピザまん 実際
ピザまん
(金額)
0個
(0円)
1個
(80円)
?
肉まん
(金額)
20個
(2000円)
19個
(1900円)
20-?
合計金額 2000円 1980円 1860円
❹「何個取り替えるか」を出す
何個ピザまんに変えれば良いか考えると、合計の差140円1個の差20円で割った7個と分かる。
つまりピザまんが7個で肉まんは20-7=13個になる。

全て肉まん 1個ピザまん 実際
ピザまん
(金額)
0個
(0円)
1個
(80円)
7個
(560円)
肉まん
(金額)
20個
(2000円)
19個
(1900円)
13個
(1300円)
合計金額 2000円 1980円 1860円
実際に計算して確かめると、ピザまん80円×7個+肉まん100円×13個=560円+1300円=1860円になっている。
ピザまん:13,肉まん:7

「つるかめ表」

コンパクトな計算表「つるかめ表」を作ってみた。


単価の差
20円
ピザまん
(80円)
肉まん
(100円)
合計
金額
全て
肉まん
0個
(0円)
20個
(2000円)
仮の合計
2000円
実際の
買い方
?個
()
20-?個
()
実際の合計
1860円
↖ 合計の差 ↗
140円

テスト版

かめ表 全て
肉まん
実際の
買い方


単価の差
20円

ピザまん
80円
0個
(0円)

合計の差
÷
単価の差
肉まん
100円
20個
(2000円)
20-?
合計
代金
仮の
合計
2000円
実際の
合計
1860円
合計の差
140円

確認テストをどうぞ

(作成中)

詳しくは「面積図を使わずにつるかめ算を解く」を見て下さい。

基本解法(面積図)

「L字型の面積図」を用いる

計算そのものは面積図を使わない解法と全く同じです。

 

確認テストをどうぞ

 

詳しくは「面積図でつるかめ算を解く」を見て下さい。

マイナスがある場合(弁償算)

弁償算(置換法)

AB二種類の品物を買うときの手順

  1. 全部プラスとして「仮の合計」を計算する
  2. 仮の合計と実際の合計との「合計の差」を出す
  3. プラスとマイナスの「1個の差」を出す
  4. 「合計の差」「1個の差」で割ってマイナスの数を求める

「クイズに正解するとお金をもらえるが、不正解だと罰金をとられる」というようにプラスとマイナスがある場合。

「置き換え法=差集め算」の考えで、全部プラスの場合の仮の合計を出し、実際の合計との合計の差を出す。それをプラスとマイナスの1個の差で割るとマイナスの個数が出る。

例えば「クイズに正解すると100円もらえるが、不正解だと30円の罰金になる20問のクイズで1350円もらえた場合、何問正解したか?」

全問正解の場合100×20=2000円になり(仮の合計)、これと実際の合計(1350円)との合計の差650円

このクイズでは正解(プラス100)と不正解(マイナス30)との1個の差が100+30=130円の差がある。

合計の差650÷1個の差130=5で不正解(マイナス)は5問と分かる。

弁償算の線分図

1つの差150×不正解の数=合計の差650

確認テストをどうぞ

(20201223作成中)

個数の取り違え

実際に買った品目ごとの個数が予定と逆だった場合です。

3-1:(個数取り違え)
80円のピザまんと100円の肉まんを合計10個買うのに、ピザまんと肉まんの買う個数を予定と逆にしてしまったので、予定よりも80円高くなってしまった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買う予定だったか

面積図を使わず「置き換え法=差集め算」的に解くのが簡単なことが多い。

予定と実際の合計差を単価の差で割ると個数の差が出ます。個数の和は問題に書いてあるので、個数の和と差が分かります。

和と差を使って「和差算」で個数を出します。

つるかめ算(個数とり違え)
  1. 予定の合計代金と実際の合計代金の「合計の差」を出す
  2. AとBの値段の「1個の差」を出す
  3. 「合計の差」÷「1個の差」でAとBの「個数の差」が出る(和は問題に書いてある)
  4. AとBの「個数の差」と「和」で和差算を行う

例題をどうぞ

3-1:(つるかめ取り違え)
80円のピザまんと100円の肉まんを合計10個買うのに、ピザまんと肉まんの買う個数を予定と逆にしてしまったので、予定よりも80円高くなってしまった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買う予定だったか

➊合計の差を出す
予定と実際の合計差は80円

➋単価の差を出す
ピザまんと肉まんの単価の差は20円。

➌個数の差を出す80÷20=4でピザまんと肉まんの個数の差は4個。また、予定よりも高くなっているのは、予定では単価が低い方=ピザまんの方が多かったから。
問題文に合計は10個と書いてあるので、和が10個、差が4個(ピザまんの方が多い)です。

➍和差算を行う
和10差4で和差算を行い、ピザまん7個,肉まん3個と分かります。

❹和差算を行う
肉まん
ピザまん
測定線

4

10
小(肉まん)=(和10ー差4)÷2=3 と分かる
「つるかめ取り違え」は最後は和差算になる
ピザまん:7,肉まん:3

確認テストをどうぞ

(作成中)

 

 

3量のつるかめ算

3種類の物のつるかめ算「3量のつるかめ算」にはニ種類ある。

拘束型3量のつるかめ算

3種類の個数がバラバラでなく条件がついている場合(拘束式)は、2種類のつるかめ算に直して解くことができる。

比(倍)の条件

比または倍の条件の場合は平均を使います。

例えば「鶴と亀とクワガタが合計10匹、鶴と亀は同じ数いる。足の合計が36本の時、クワガタは何匹いるか」の場合

まず単純素直に図を書くと「3段のL字形」ができます。このうち左のL字形の部分を平均の考え方で平らにならします。

((図))

左のL字の合計を比の数字(➀:➀)を使って求めると、➀×2+➀×4=⑥です。

((図))

これを長方形にすると全体の面積⑥÷横幅の②=3が高さになります。

((図))

三段だったL字形が二段のL字型になりました。「3本足の動物とクワガタが合計10匹で足の合計は36本」のつるかめ算と考えて、クワガタは2匹と分かる。

((図))

差の条件

差の条件がある場合は全部の個数と全部の合計を減らします。

例えば「鶴と亀とクワガタが合計20匹、亀は鶴より3個多い、足の合計が48本の時、クワガタは何個いるか?」の場合

((三段のL字形))

三段のL字型の図の横の長さが「3」となっている部分(面積3×4=12)をそっくり削り取ると

(())

「鶴と亀とクワガタが合計が(20-3=)17匹、足の合計が(48-12=)36本、鶴と亀の数は等しい。」という上で解いた問題と同じになります。

((図))

これを解いてクワガタは2匹と分かります。

比(倍)と差の組み合わせ

上の2つの解き方を組み合わせます。

 

 

非拘束型の3量つるかめ

つるかめ算の最終形態。3種類の個数がバラバラの場合

面積図と「いもづる算」を使って解き、答えが何通りかあることも多い面倒な問題。

いもづる算

 

 

3量のつるかめ算へ

例えば「鶴と亀とクワガタが合計10匹、足の合計が38本の時、鶴は何匹いるか」の場合

(図)

まず面積図の2の高さより下を切り落として亀とクワガタだけのL字型(左右の高さは2と4)にすると、L字型の面積は38-2×10=18になる。亀の数をP,クワガタの数をQとすると、「2×P+4×Q=18」という式が成り立つ。

(図)

次に「2×P+4×Q=18」の全体を2で割って簡単にすると「1×P+2×Q=9」になる。このあとは足の数が多いクワガタが1,2,3…と調べて表にしていく。

Q(クワガタ)=1の時のP(亀)を求めてみると「1×P+2×1=9」よりPは7、鶴は10-(1+7)=2

Q(クワガタ)=2の時は「1×P+2×2=9」よりP(亀)は5、鶴は10-(2+5)=3

Q(クワガタ)=3の時は「1×P+2×3=9」よりP(亀)は3、鶴は10-(3+3)=4

Q(クワガタ)=4の時は「1×P+2×4=9」よりP(亀)は1、鶴は10-(4+1)=5

Q(クワガタ)=5の時は「1×P+2×5=9」よりP(亀)は0になって不適当で、ここで調べ終了

答えは鶴は2,3,4,5の3通り(面倒くさい!)

爽茶そうちゃ
つるかめ算のまとめは以上です
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中学受験でお悩みの方へ

そうちゃ
いつもお子さんのためにがんばっていただき、ありがとうございます。
受験に関する悩みはつきませんね。
「中学受験と高校受験とどちらがいいの?」「塾の選び方は?」「途中から塾に入っても大丈夫?」「塾の成績・クラスが下がった…」「志望校の過去問が出来ない…」など
様々なお悩みへのアドバイスを記事にまとめたので参考にして下さい。

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最後まで読んでいただきありがとうございました♪この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです!
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