中学受験】つるかめ算とは?問題と解き方を分かりやすく図解【小学生

つるかめ算の記事一覧

○つるかめ算まとめ(この記事)

面積図を使わない方法(置き換え法)

面積図を使う方法

◆個数の取り違え ◆マイナスあり(弁償算)

◆三量のつるかめ算(拘束式)

◇いもづる算 ◆三量のつるかめ算(非拘束式)

「つるかめ算って何?」どうやるの?」という小学校低学年の方から、「受験に向けて応用問題を解きたい」という中学受験生の方まで、全員お任せ下さい。

つるかめ算は他の分野にもつながる「解法の宝庫」で、マスターすれば受験算数全体の実力アップ間違いなし

この「まとめ記事」では、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」がつるかめ算の基礎から応用まで分かりやすく説明します。

記事を読んで分からない項目は「個別記事」を読んで下さい。

目次をクリックすると好きな箇所にジャンプできます。

お詫び(2021,7,4)
例題X-3(拘束型の3量つるかめ)の問題・解答が誤っておりました。大変失礼しました。以後このようなことが無いよう注意致します…
(dom様にご指摘いただきました。ありがとうございました)

つるかめ算とは

ニ種類以上の物の単価と合計個数・合計金額から、各種類ごとの個数を求める問題です。(参考:ウィキペディアの説明)

0-0:つるかめ算の例

1個80円の肉まんと1個100円のピザまんを合計20個買ったら1860円だった。
肉まんとピザまんをそれぞれ何個ずつ買ったか?

ここでは「肉まん」「ピザまん」という二種類のモノの単価「80円」「100円」と合計個数「20個」と合計金額「1860円」という4つの数値から、「肉まん」「ピザまん」それぞれの個数を求めます

つるかめ算の解き方には大きく2つ「面積図を使う」と「面積図を使わない=置き換え(おきかえ)法」があります。

つるかめ算の2つの解法
置き換え法
このような表を
使います
&
面積図

緑色のL字形が
面積図です

「面積図」が有名なのですが「置き換え法」も重要なので、中学受験生は両方できるようにして下さい。

基本解法1:置換え法

表を用いたりして解く方法。

実質的に「差集め算」の考え方を用いている。

つるかめ算(置換法)

AB二種類の品物を買うときの手順

  1. 全部Aとして「仮の合計」を計算する
  2. 仮の合計と実際の合計との「合計の差」を出す
  3. AとBの「1個の差」を出す
  4. 「合計の差」「1個の差」で割ってBの数を求める

例題をどうぞ

1-1:(置き換え法)
1個80円のピザまんと1個100円の肉まんを合計20個買ったら1860円だった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買ったか
➊「仮の合計」を出す
20個全部が肉まんだとすると100×20=2000円(仮の合計)になるはず

全て肉まん 実際
ピザまん
(金額)
0個
(0円)
?
肉まん
(金額)
20個
(2000円)
20-?
合計金額 2000円
(仮の合計)
1860円
➋「合計との差」を出す
実際は1860円なので2000-1860=140円の差(合計の差)がある
➌「一個の差」を出す
ここで肉まん20個のうち1個をピザまんに変えると100-80=20円安くなる(1個の差)ので、合計も2000円から20円安くなって1980円になる。

全て肉まん 1個ピザまん 実際
ピザまん
(金額)
0個
(0円)
1個
(80円)
?
肉まん
(金額)
20個
(2000円)
19個
(1900円)
20-?
合計金額 2000円 1980円 1860円
❹「何個取り替えるか」を出す
何個ピザまんに変えれば良いか考えると、合計の差140円1個の差20円で割った7個と分かる。
つまりピザまんが7個で肉まんは20-7=13個になる。

全て肉まん 1個ピザまん 実際
ピザまん
(金額)
0個
(0円)
1個
(80円)
7個
(560円)
肉まん
(金額)
20個
(2000円)
19個
(1900円)
13個
(1300円)
合計金額 2000円 1980円 1860円
実際に計算して確かめると、ピザまん80円×7個+肉まん100円×13個=560円+1300円=1860円になっている。
ピザまん:13,肉まん:7

「つるかめ表」

コンパクトな計算表「つるかめ表」を作ってみた。


単価の差
20円
ピザまん
(80円)
肉まん
(100円)
合計
金額
全て
肉まん
0個
(0円)
20個
(2000円)
仮の合計
2000円
実際の
買い方
?個
()
20-?個
()
実際の合計
1860円
↖ 合計の差 ↗
140円

テスト版

かめ表 全て
肉まん
実際の
買い方


単価の差
20円

ピザまん
80円
0個
(0円)

合計の差
÷
単価の差
肉まん
100円
20個
(2000円)
20-?
合計
代金
仮の
合計
2000円
実際の
合計
1860円
合計の差
140円

確認テストをどうぞ

(作成中)

詳しくは「面積図を使わずにつるかめ算を解く」を見て下さい。

基本解法2:面積図

「L字型の面積図」を用います。

つるかめ算の面積図解法

(例)鶴と亀が合わせて10匹、足が合計26本の時、
亀は何匹いるか?

  1. L字の面積図を書き、大きな長方形の面積を出す
  2. 長方形L字欠けの面積を出す
  3. 欠けの面積÷縦で横の長さを求め
    問いに答える(終了)

計算そのものは面積図を使わない解法と全く同じです。

確認テストをどうぞ

 

詳しくは「面積図でつるかめ算を解く」を見て下さい。

爽茶そうちゃ
ここから先は、つるかめ算の応用問題を見ていきます。

マイナスがある場合(弁償算)

弁償算(置換法)

AB二種類の品物を買うときの手順

  1. 全部プラスとして「仮の合計」を計算する
  2. 仮の合計と実際の合計との「合計の差」を出す
  3. プラスとマイナスの「1個の差」を出す
  4. 「合計の差」「1個の差」で割ってマイナスの数を求める

「クイズに正解するとお金をもらえるが、不正解だと罰金をとられる」というようにプラスとマイナスがある場合。

「置き換え法=差集め算」の考えで、全部プラスの場合の仮の合計を出し、実際の合計との合計の差を出す。それをプラスとマイナスの1個の差で割るとマイナスの個数が出る。

3-1:弁償算(マイナスつるかめ)

クイズに正解すると100円もらえるが、不正解だと30円の罰金になる20問のクイズで1350円もらえた場合、何問正解したか?

全問正解の場合100×20=2000円になり(仮の合計)、これと実際の合計(1350円)との合計の差650円

このクイズでは正解(プラス100)と不正解(マイナス30)との1個の差が100+30=130円の差がある。

合計の差650÷1個の差130=5で不正解(マイナス)は5問と分かる。

弁償算の線分図

1つの差150×不正解の数=合計の差650
5

確認テストをどうぞ

(20201223作成中)

個数の取り違え

2種類のモノを買うのに、買う個数を逆にしてしまった場合です。

まず、取り違えで代金に差が発生する仕組みを理解して下さい。

2種類のモノを同じ数買う場合は取り違えも代金の差も発生しません。

よってアメとガムの個数の違い(差)に注目する必要があります。

例えば、30円アメ12個と50円のガム8個を買う予定で、個数を逆にしてしまった場合を考えます。

下のような線分図にしてみます。

30円のアメ12個と
50円のガム8個を買う場合

個数を取り違えると
アメとガムの単価の差(20円)と
アメとガムの個数の差(4個)をかけ合わせた
20×4=80円の差が生じる

個数が等しい(アメ8個とガム8個の)部分は、個数を逆にしても(アメ8個とガム8個なので)値段は変わりません。

個数が多いアメ4個の部分がチョコに変わることで、アメとチョコの1個の値段差20円×個数が多い4個分=80円の代金の差が発生します。

つまり「予定と実際の代金の差」は「単価の差」×「個数の差」と等しくなります。(「置き換え法=差集め算」的に考えています)

公式にすると次のようになります。一番上を憶えましょう。

個数の取り違え

→個数の差で「予定と実際の代金の差」が発生する

●予定と実際の代金の差=個数の差×単価の差

○個数の差=代金の差÷単価の差

○単価の差=代金の差÷個数の差

一番上の式から、予定と実際の合計差を単価の差で割ると個数の差が出ると分かります。

また問題文に「合計○個」の形で書いてある個数の和と合わせて、個数の和と差が分かります。

この「和と差」を使って「和差算」でそれぞれの個数を出します

以上より、取り違え問題を解く手順は次のようになります。

つるかめ算(個数とり違え)
  1. 予定の合計代金と実際の合計代金の「合計の差」を出す
  2. AとBの「単価の差」を出す
  3. 「合計の差」÷「単価の差」でAとBの「個数の差」が出る(和は問題に書いてある)
  4. AとBの個数の「差」と「和」で和差算を行う

この手順で問題を解いてみます。

4-1:つるかめ取り違え

90円のピザまんと120円の肉まんを合計20個買うのに、ピザまんと肉まんの買う個数を予定と逆にしてしまったので、予定よりも180円高くなってしまった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買う予定だったか

➊合計の差を出す
予定と実際の合計差は180円

➋単価の差を出す
ピザまんと肉まんの単価の差は30円(1つ取り違えると30円の差がでる)。

➌個数の差を出す180÷30=6でピザまんと肉まんの個数の差は4個。

また、予定よりも高くなっているのは、予定では単価が低い方=ピザまんの方が多かったから。

問題文に合計は20個と書いてあるので、和が20個、差が6個(ピザまんの方が多い)です。

➍和差算を行う
和20差6で和差算を行い、ピザまん13個,肉まん7個

❹和差算
肉まん
?
ピザまん
?
180÷30

6個

「つるかめ取り違え」は最後は和差算になる
小(肉まん)=(和20ー差6)÷2=7 と分かる
ピザまん13個,肉まん7

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

35円の桜アメと50円の梅アメを合計23個買い、レジに行って1000円札を出した。おつりが5円もらえる予定だったが、アメの個数を逆にしてしまったので40円足りなくなってしまった。それぞれ何個ずつ買う予定だったか
→( 予定と実際の代金の差は5+40=45円 )
→( 桜と梅の単価の差は15円 )
→( 桜と梅の個数の差は45÷15=3個(実際が高くなったので予定では安い桜が多い)、和は23個 )
→( 和23差3の和差算を解いて、小(梅)=10,大(桜)=13 )

くわしい解説を読みたい・もっと問題を解きたい人は個別記事「つるかめ算個数取り違えの問題」を見て下さい。

3量のつるかめ算

今まで扱っていた品物は「あんまんと肉まん」「ガムとアメ」のように二種類でした。これを三種類!にするのが「3量のつるかめ算」です

「3量のつるかめ算」には、「偽の3量のつるかめ」と「真の~」のニ種類あります。

「偽の~」は普通の(二量の)つるかめ算に直して解けますが、「真の~」は特別な解き方をしないといけません。

3量のつるかめ算

●偽の3量のつるかめ算
→2量のつるかめ算に直せる

●真の3量のつるかめ算
→直せない

偽の3量つるかめ(拘束型3量)

「偽の~」とは3種類の個数がバラバラに決まるのでなく条件がついている場合(拘束式)で、2種類のつるかめ算に直して解くことができる。

比(倍)の条件

比または倍の条件の場合は平均を使います。

X-1:3量のつるかめ(拘束型)

鶴と亀とクワガタが合計10匹、鶴と亀は同じ数いる。足の合計が36本の時、クワガタは何匹いるか
(解説)

まず単純に図を書くと「3段のL字形」ができます。

問題文から出来る面積図

3段のL字形をしている

このうち左のL字形の部分を平均の考え方で平らにならします。

左のL字の合計を比の数字(➀:➀)を使って求めると、➀×2+➀×4=⑥です。これを長方形にすると全体の面積⑥÷横幅の②=3が高さになります。

ツルとカメのL字を長方形にする

L字の面積(6)=長方形の面積(6)÷ヨコ2=タテ3

これで三段だったL字形を二段に変えることが出来ます。

3段から2段へ直す全体像

こんな感じ

これで出来た面積図は「3本足の何かとクワガタが合計10匹で足の合計は36本」のつるかめ算になっています。

2段L字

これで解けそうです

つるかめ算の面積図法でを解くと「3本足の何か」は8匹と分かります(この半分の4が鶴と亀の数)

2段L字形を解く

大きな長方形(60)-L字形(36)=欠け形(24)
欠けのヨコ=24÷3=8(「三本足の何か」の数)

始めの3段L字形に戻すと、鶴亀クワガタの数が全部分かりました。

3段L字形に戻した所

全部の数が分かりました。
4匹,亀4匹,クワガタ2

他の例

X-2:3量のつるかめ(拘束型)

60円のA、90円のB、110円のCを合わせて36個買ったら3060円だった。BがAの2倍あるとき、それぞれいくつずつ買ったか?
(解説)

単純に図を書くと全体が三段のL字型になってしまします。

しかし、平均の考え方でAとBの二段のL字型を長方形に直すと、全体が二段のL字型になるので、つるかめ算で解くことが出来ます。

図1:

全体像

つるかめ算を解いたらAとBも求めて、A10,B20,C6と分かります。

A10個,B20個,C6

差の条件

差の条件がある場合は、差の部分を削り取って全部の個数と全部の合計を減らします。

X-3:3量のつるかめ(拘束型)

鶴と亀とクワガタが合計20匹いて、亀は鶴より3匹多い。足の合計が72本の時、鶴、亀、クワガタはそれぞれ何匹いるか?
(解説)

図を書くと三段のL字型になっていますが

図1:

説明書き

三段のL字型の図の横の長さが「3」となっている部分(面積3×4=12)をそっくり削り取り

図1:

説明書き

オレンジ色の2段Lを平均して長方形にすると、「3本足の何か」とクワガタが合計17匹、足の数の合計60本という通常のつるかめ算と同じになります。

図1:

説明書き

これを解くと、クワガタ3匹、3本足の何か14匹とわかります。

図1:

説明書き

これを最初の3段L字形に戻すと、鶴は7匹、亀は7+3=10匹と分かります♪

図1:

説明書き

以上より、鶴7,亀10,クワガタ3と分かりました

7匹,亀10匹,クワガタ3

比(倍)と差の組み合わせ

上の2つの解き方を組み合わせます。

 

拘束型の3量のつるかめ算は以上です。

3量のつるかめ算(拘束型)

→3量のうち2量が特別な関係にある場合は
普通のつるかめ算に直せる

例:つる,かめ,クワガタが合計10匹、足の数は合計36本
で、つるとかめの数は同じ(←特別な関係)

  1. 全体を3段のL字形の面積図で書く
  2. 特別な関係がある2量のL字形を長方形にして
    全体を2段のL字形に直す

    つるとかめのL字を長方形に
  3. 普通のつるかめ算として解く
  4. 元の3段に戻して、問いに答える

    大きな長方形(60)-L字形(24)で出した欠け(24)
    の横の長さ(8)が半分がツルとカメの数になる

真の(非拘束型の)3量つるかめ

つるかめ算の最終形態。三種類の個数がバラバラに決まる場合です。

面積図と「いもづる算」を使って解き、答えが何通りかあることも多い面倒な問題。

いもづる算

3量のつるかめを解く前に、下のような「いもづる算」が解けるようにならないといけない。

Y-1:いもづる算

60円のみかんと110円のりんごを何個かずつ買ったら、ちょうど1000円になった。みかんとりんごをそれぞれ何個買ったか?

一見すると「つるかめ算」のようですが、みかんとりんごの個数が合計が分かりません。

図1:面積図

「いもづる算」は「つるかめ算」と違い
個数の合計が分からない。

このような問題を「いもづる算」と言います。

まず、みかんをx個、りんごをy個買ったとして、関係を式にすると「60x+110y=1000」になります。

この式の数字を全部10で割る(0をとる)と「6x+11y=100」になります。

図2:関係式を簡単にする

60,110,1000を全部10で割る

この式「6x+11y=100」が成立するようなxとyを見つければ答えになります。

これらは計算でサッと出すことはできません…表を書いて、ありえる組み合わせを全部見つけます(面倒くさいですが…)。

この表は、かけられる数が多い文字(ここではy)に数字を1から順に入れたときにxが決まるかを調べる作業をそのまま項目にしています。

図3:表を書いて調べる

y=1の時に「6x+11y=100」を成立させるxは存在しない。
一方、y=2の時にはx=13なら「6x+11y=100」が成立する

左から2番目の列は、y=1の時に11y=11になるので、これと合わせて100になる6x=89と分かりますが、その場合x=14.~という小数になってしまい不適切」ということを表しています。

y=2の時も同様に考えるとx=13が見つかりますが、その後はy=8まで答えが見つかりません。

ここで表全体を眺めると、y=2からy=8までの間に5列があるのが見えます。これは次の5列も答えが見つからないことを示してくれています。

したがって、その後はy=9を調べずに、5列を間にしたy=14を調べます。これが不適切なので調べは終了でs.

結局(x=13,y=2)(x=2,y=8)という2つの組み合わせが見つかり、これが答えになります。

りんご13みかん2個,りんご2みかん8個,

この「いもづる算」は調べないと分からないので、受験算数でも一番面倒くさい部類に入ります。

いもづる算
  1. 個数をPQとして、関係式を作る
  2. 関係式の数字を同じ数で割れるなら
    割って簡単にする
  3. 表を作り、数が大きい文字から
    1,2,3…と入れていく
  4. もう一方の文字が自然数で出たら
    それが解答セット
  5. 設問に答える形で解答する

いもづる算が出来るようになったら、やっと「真の3量のつるかめ算」へ!

3量のつるかめ算へ

面積図を切り取って「いもづる算」にして解きます。

Z-1:真の3量のつるかめ算

鶴と亀とクワガタが合計10匹、足の合計が38本の時、鶴は何匹いるか
(解説)

まず問題文をそのまま面積図にすると、幅が10の3段のL字形ができます(図1左)。

この3段L字で、高さが2より低い長方形(面積は2×10=20)を切り落として、亀とクワガタだけのL字型(左右の高さは2と4になる)を取り出します(図1→)。

図1:L字を切り出す。

説明書き

このL字型の面積は38-210=18になるので、亀の数をP,クワガタの数をQとすると、「2×P+4×Q=18」という式が成り立つ。L字形の横幅は分からないので、ここからはさっきの「いもづる算」と同じになります。

まず「2×P+4×Q=18」の全体を2で割って簡単にすると「1×P+2×Q=9」になる。このあとは足の数が多いクワガタが1,2,3…と調べて表にしていく。

図2:L字でいもづる算

式を簡単にした後、表を使って調べていく

Q(クワガタ)=1の時のP(亀)を求めてみると「1×P+2×1=9」よりPは7、鶴は10-(1+7)=2

Q(クワガタ)=2の時は「1×P+2×2=9」よりP(亀)は5、鶴は10-(2+5)=3

Q(クワガタ)=3の時は「1×P+2×3=9」よりP(亀)は3、鶴は10-(3+3)=4

Q(クワガタ)=4の時は「1×P+2×4=9」よりP(亀)は1、鶴は10-(4+1)=5

Q(クワガタ)=5の時は「1×P+2×5=9」よりP(亀)は0になって不適当で、ここで調べ終了

答えは鶴は2,3,4,5の3通り(面倒くさい!)

2または3または4または5

もう一つの例

Z-2:真の3量のつるかめ算

60円のX,90円のY,110円のZをあわせて36個買ったら代金が3060円だった。どれも少なくとも1個は買う時、買い方は全部で何通りあるか
(解説)

三段のL字型の下を横幅いっぱいの長方形の形で切り取り、二段のL字型にすると、二量のいもづる算になる。

図1:

全体像

表を書いて調べると、(X,Y,Z)の組み合わせは5通りあると分かります。

5通り

確認テストをどうぞ

(2021.3.17作成中)

爽茶そうちゃ
つるかめ算のまとめは以上です
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