中学受験】つるかめ算とは？問題と解き方を分かりやすく図解【小学生

「つるかめ算って何？」どうやるの？」という小学校低学年の方から、小学生から「受験に向けて応用問題を解きたい」という中学受験生の方まで、全員お任せ下さい。

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」がつるかめ算の基礎から応用まで分かりやすく説明します。

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つるかめ算とは

ニ種類以上の物の単価と合計個数・合計金額から、各種類ごとの個数を求める問題です。(参考:ウィキペディアの説明)

0-1:つるかめ算の例

1個80円の肉まんと1個100円のピザまんを合計20個買ったら1860円だった。
肉まんとピザまんをそれぞれ何個ずつ買ったか？

ここでは「肉まん」「ピザまん」という二種類のモノの単価「80円」「100円」合計個数「20個」合計金額「1860円」から、「肉まん」「ピザまん」それぞれの個数を求めます。

つるかめ算の解き方には大きく2つ「面積図を使う」と「面積図を使わない＝置き換え法」があります。

「面積図」が有名なのですが「置き換え法」も重要なので、中学受験生は両方できないといけません。

基本解法(置換え法=差集め算)

表を用いたりして解く(置き換え法)。実質的に「差集め算」の考え方を用いている。

例題をどうぞ

1-1:(置き換え法)

1個80円のピザまんと1個100円の肉まんを合計20個買ったら1860円だった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買ったか

➊「仮の合計」を出す
20個全部が肉まんだとすると100×20=2000円(仮の合計)になるはず

	全て肉まん		…	実際
ピザまん (金額)	0個 (0円)			?
肉まん (金額)	20個 (2000円)			20-?
合計金額	2000円 (仮の合計)			1860円

➋「合計との差」を出す
実際は1860円なので2000-1860=140円の差(合計の差)がある

➌「一個の差」を出す
ここで肉まん20個のうち1個をピザまんに変えると100-80=20円安くなる(1個の差)ので、合計も2000円から20円安くなって1980円になる。

	全て肉まん	1個ピザまん	…	実際
ピザまん (金額)	0個 (0円)	1個 (80円)		?
肉まん (金額)	20個 (2000円)	19個 (1900円)		20-?
合計金額	2000円	1980円		1860円

❹「何個取り替えるか」を出す
何個ピザまんに変えれば良いか考えると、合計の差140円を1個の差20円で割った7個と分かる。
つまりピザまんが7個で肉まんは20-7=13個になる。

	全て肉まん	1個ピザまん	…	実際
ピザまん (金額)	0個 (0円)	1個 (80円)		7個 (560円)
肉まん (金額)	20個 (2000円)	19個 (1900円)		13個 (1300円)
合計金額	2000円	1980円		1860円

実際に計算して確かめると、ピザまん80円×7個+肉まん100円×13個=560円+1300円=1860円になっている。

ピザまん:13,肉まん:7

「つるかめ表」

コンパクトな計算表「つるかめ表」を作ってみた。

↗
単価の差
20円
↘

ピザまん
(80円)

肉まん
(100円)

合計
金額

全て
肉まん

0個
(0円)

20個
(2000円)

仮の合計
2000円

…

…

…

…

実際の
買い方

?個
()

20-?個
()

実際の合計
1860円

↖ 合計の差 ↗
140円

テスト版

つるかめ表		全て 肉まん	実際の 買い方
↗ 単価の差 20円 ↘	ピザまん 80円	0個 (0円)	？個 合計の差 ÷ 単価の差
	肉まん 100円	20個 (2000円)	20-?個
	合計 代金	仮の 合計 2000円	実際の 合計 1860円
		↖合計の差↗ 140円

確認テストをどうぞ

(作成中)

詳しくは「面積図を使わずにつるかめ算を解く」を見て下さい。

基本解法(面積図)

「L字型の面積図」を用いる

計算そのものは面積図を使わない解法と全く同じです。

 

確認テストをどうぞ

 

詳しくは「面積図でつるかめ算を解く」を見て下さい。

マイナスがある場合(弁償算)

「クイズに正解するとお金をもらえるが、不正解だと罰金をとられる」というようにプラスとマイナスがある場合。

「置き換え法＝差集め算」の考えで、全部プラスの場合の仮の合計を出し、実際の合計との合計の差を出す。それをプラスとマイナスの1個の差で割るとマイナスの個数が出る。

例えば「クイズに正解すると100円もらえるが、不正解だと30円の罰金になる20問のクイズで1350円もらえた場合、何問正解したか？」

全問正解の場合100×20=2000円になり(仮の合計)、これと実際の合計(1350円)との合計の差は650円。

このクイズでは正解(プラス100)と不正解(マイナス30)との1個の差が100+30=130円の差がある。

合計の差650÷1個の差130=5で不正解(マイナス)は5問と分かる。

確認テストをどうぞ

(20201223作成中)

個数の取り違え

実際に買った品目ごとの個数が予定と逆だった場合です。

3-1:(個数取り違え)

80円のピザまんと100円の肉まんを合計10個買うのに、ピザまんと肉まんの買う個数を予定と逆にしてしまったので、予定よりも80円高くなってしまった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買う予定だったか

面積図を使わず「置き換え法=差集め算」的に解くのが簡単なことが多い。

予定と実際の合計差を単価の差で割ると個数の差が出ます。個数の和は問題に書いてあるので、個数の和と差が分かります。

和と差を使って「和差算」で個数を出します。

例題をどうぞ

3-1:(つるかめ取り違え)

80円のピザまんと100円の肉まんを合計10個買うのに、ピザまんと肉まんの買う個数を予定と逆にしてしまったので、予定よりも80円高くなってしまった。
ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買う予定だったか

➊合計の差を出す
予定と実際の合計差は80円

➋単価の差を出す
ピザまんと肉まんの単価の差は20円。

➌個数の差を出す80÷20=4でピザまんと肉まんの個数の差は4個。また、予定よりも高くなっているのは、予定では単価が低い方=ピザまんの方が多かったから。
問題文に合計は10個と書いてあるので、和が10個、差が4個(ピザまんの方が多い)です。

➍和差算を行う
和10差4で和差算を行い、ピザまん7個,肉まん3個と分かります。

❹和差算を行う

肉まん

ピザまん

測定線

差
4

和
10

小(肉まん)=(和10ー差4)÷2=3 と分かる

「つるかめ取り違え」は最後は和差算になる

ピザまん:7,肉まん:3

確認テストをどうぞ

(作成中)

 

 

3量のつるかめ算

3種類の物のつるかめ算「3量のつるかめ算」にはニ種類ある。

拘束型3量のつるかめ算

3種類の個数がバラバラでなく条件がついている場合(拘束式)は、2種類のつるかめ算に直して解くことができる。

比(倍)の条件

比または倍の条件の場合は平均を使います。

例えば「鶴と亀とクワガタが合計10匹、鶴と亀は同じ数いる。足の合計が36本の時、クワガタは何匹いるか」の場合

まず単純素直に図を書くと「3段のL字形」ができます。このうち左のL字形の部分を平均の考え方で平らにならします。

((図))

左のL字の合計を比の数字(➀：➀)を使って求めると、➀×2+➀×4=⑥です。

((図))

これを長方形にすると全体の面積⑥÷横幅の②=3が高さになります。

((図))

三段だったL字形が二段のL字型になりました。「3本足の動物とクワガタが合計10匹で足の合計は36本」のつるかめ算と考えて、クワガタは2匹と分かる。

((図))

差の条件

差の条件がある場合は全部の個数と全部の合計を減らします。

例えば「鶴と亀とクワガタが合計20匹、亀は鶴より3個多い、足の合計が48本の時、クワガタは何個いるか？」の場合

((三段のL字形))

三段のL字型の図の横の長さが「3」となっている部分(面積3×4=12)をそっくり削り取ると

(())

「鶴と亀とクワガタが合計が(20-3=)17匹、足の合計が(48-12=)36本、鶴と亀の数は等しい。」という上で解いた問題と同じになります。

((図))

これを解いてクワガタは2匹と分かります。

比(倍)と差の組み合わせ

上の2つの解き方を組み合わせます。

 

 

非拘束型の3量つるかめ

つるかめ算の最終形態。3種類の個数がバラバラの場合

面積図と「いもづる算」を使って解き、答えが何通りかあることも多い面倒な問題。

いもづる算

 

 

3量のつるかめ算へ

例えば「鶴と亀とクワガタが合計10匹、足の合計が38本の時、鶴は何匹いるか」の場合

(図)

まず面積図の2の高さより下を切り落として亀とクワガタだけのL字型(左右の高さは2と4)にすると、L字型の面積は38-2×10=18になる。亀の数をP,クワガタの数をQとすると、「2×P+4×Q=18」という式が成り立つ。

(図)

次に「2×P+4×Q=18」の全体を2で割って簡単にすると「1×P+2×Q=9」になる。このあとは足の数が多いクワガタが1,2,3…と調べて表にしていく。

Q(クワガタ)=1の時のP(亀)を求めてみると「1×P+2×1=9」よりPは7、鶴は10-(1+7)=2

Q(クワガタ)=2の時は「1×P+2×2=9」よりP(亀)は5、鶴は10-(2+5)=3

Q(クワガタ)=3の時は「1×P+2×3=9」よりP(亀)は3、鶴は10-(3+3)=4

Q(クワガタ)=4の時は「1×P+2×4=9」よりP(亀)は1、鶴は10-(4+1)=5

Q(クワガタ)=5の時は「1×P+2×5=9」よりP(亀)は0になって不適当で、ここで調べ終了

答えは鶴は2,3,4,5の3通り(面倒くさい！)

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