中学受験】つるかめ算とは？問題と解き方を分かりやすく図解【小学生

0-0:つるかめ算の例

1個80円の肉まんと1個100円のピザまんを合計20個買ったら1860円だった。
肉まんとピザまんをそれぞれ何個ずつ買ったか？

3-1:弁償算(マイナスつるかめ)

全問正解の場合100×20=2000円になり(仮の合計)、これと実際の合計(1350円)との合計の差は650円。

このクイズでは正解(プラス100)と不正解(マイナス30)との1個の差が100+30=130円の差がある。

合計の差650÷1個の差130=5で不正解(マイナス)は5問と分かる。

4-1:つるかめ取り違え

➊合計の差を出す
予定と実際の合計差は180円

➋単価の差を出す
ピザまんと肉まんの単価の差は30円(1つ取り違えると30円の差がでる)。

➌個数の差を出す180÷30=6でピザまんと肉まんの個数の差は4個。

また、予定よりも高くなっているのは、予定では単価が低い方=ピザまんの方が多かったから。

問題文に合計は20個と書いてあるので、和が20個、差が6個(ピザまんの方が多い)です。

➍和差算を行う
和20差6で和差算を行い、ピザまん13個,肉まん7個

X-1:3量のつるかめ(拘束型)

(解説)

まず単純に図を書くと「3段のL字形」ができます。

このうち左のL字形の部分を平均の考え方で平らにならします。

左のL字の合計を比の数字(➀：➀)を使って求めると、➀×2+➀×4=⑥です。これを長方形にすると全体の面積⑥÷横幅の②=3が高さになります。

これで三段だったL字形を二段に変えることが出来ます。

これで出来た面積図は「3本足の何かとクワガタが合計10匹で足の合計は36本」のつるかめ算になっています。

つるかめ算の面積図法でを解くと「3本足の何か」は8匹と分かります(この半分の4が鶴と亀の数)

始めの3段L字形に戻すと、鶴亀クワガタの数が全部分かりました。

X-2:3量のつるかめ(拘束型)

(解説)

単純に図を書くと全体が三段のL字型になってしまします。

しかし、平均の考え方でAとBの二段のL字型を長方形に直すと、全体が二段のL字型になるので、つるかめ算で解くことが出来ます。

つるかめ算を解いたらAとBも求めて、A10,B20,C6と分かります。

X-3:3量のつるかめ(拘束型)

(解説)

図を書くと三段のL字型になっていますが

三段のL字型の図の横の長さが「3」となっている部分(面積3×4=12)をそっくり削り取り

オレンジ色の2段Lを平均して長方形にすると、「3本足の何か」とクワガタが合計17匹、足の数の合計60本という通常のつるかめ算と同じになります。

これを解くと、クワガタ3匹、3本足の何か14匹とわかります。

これを最初の3段L字形に戻すと、鶴は7匹、亀は7＋3=10匹と分かります♪

以上より、鶴7,亀10,クワガタ3と分かりました

Y-1:いもづる算

一見すると「つるかめ算」のようですが、みかんとりんごの個数が合計が分かりません。

このような問題を「いもづる算」と言います。

まず、みかんをx個、りんごをy個買ったとして、関係を式にすると「60x+110y=1000」になります。

この式の数字を全部10で割る(0をとる)と「6x+11y=100」になります。

この式「6x+11y=100」が成立するようなxとyを見つければ答えになります。

これらは計算でサッと出すことはできません…表を書いて、ありえる組み合わせを全部見つけます(面倒くさいですが…)。

この表は、かけられる数が多い文字(ここではy)に数字を1から順に入れたときにxが決まるかを調べる作業をそのまま項目にしています。

左から2番目の列は、y=1の時に11y=11になるので、これと合わせて100になる6x=89と分かりますが、その場合x=14.~という小数になってしまい不適切」ということを表しています。

y=2の時も同様に考えるとx=13が見つかりますが、その後はy=8まで答えが見つかりません。

ここで表全体を眺めると、y=2からy=8までの間に5列があるのが見えます。これは次の5列も答えが見つからないことを示してくれています。

したがって、その後はy=9を調べずに、5列を間にしたy=14を調べます。これが不適切なので調べは終了でｓ．

結局(x=13,y=2)(x=2,y=8)という2つの組み合わせが見つかり、これが答えになります。

この「いもづる算」は調べないと分からないので、受験算数でも一番面倒くさい部類に入ります。

Z-1:真の3量のつるかめ算

(解説)

まず問題文をそのまま面積図にすると、幅が10の3段のL字形ができます(図1左)。

この3段L字で、高さが2より低い長方形(面積は2×10=20)を切り落として、亀とクワガタだけのL字型(左右の高さは2と4になる)を取り出します(図1→)。

このL字型の面積は38-210=18になるので、亀の数をP,クワガタの数をQとすると、「2×P+4×Q=18」という式が成り立つ。L字形の横幅は分からないので、ここからはさっきの「いもづる算」と同じになります。

まず「2×P+4×Q=18」の全体を2で割って簡単にすると「1×P+2×Q=9」になる。このあとは足の数が多いクワガタが1,2,3…と調べて表にしていく。

Q(クワガタ)=1の時のP(亀)を求めてみると「1×P+2×1=9」よりPは7、鶴は10-(1+7)=2

Q(クワガタ)=2の時は「1×P+2×2=9」よりP(亀)は5、鶴は10-(2+5)=3

Q(クワガタ)=3の時は「1×P+2×3=9」よりP(亀)は3、鶴は10-(3+3)=4

Q(クワガタ)=4の時は「1×P+2×4=9」よりP(亀)は1、鶴は10-(4+1)=5

Q(クワガタ)=5の時は「1×P+2×5=9」よりP(亀)は0になって不適当で、ここで調べ終了

答えは鶴は2,3,4,5の3通り(面倒くさい！)

Z-2:真の3量のつるかめ算

(解説)

三段のL字型の下を横幅いっぱいの長方形の形で切り取り、二段のL字型にすると、二量のいもづる算になる。

表を書いて調べると、(X,Y,Z)の組み合わせは5通りあると分かります。