つるかめ算の総合案内(学び方)

つるかめ算の記事一覧

面積図を使わない方法(置き換え法)

面積図を使う方法
◆個数の取り違え ◆マイナスあり(弁償算)
◆三量のつるかめ算(拘束式)
◇いもづる算 ◆三量のつるかめ算(非拘束式)

つるかめ算とは

ニ種類以上の物の単価と合計個数から、各種類ごとの個数を求める問題です。(参考:ウィキペディアの説明)

例えば「1個80円のピザまんと1個100円の肉まんを合計20個買ったら1860円だった。ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買ったか」というような問題です。

有名な「面積図を使う解法」だけでなく「面積図を使わない解法=置き換え法」も重要で、両方できるようにしましょう。

基本解法(置換え法=差集め算)

表を用いたりして解く(置き換え法)。実質的に「差集め算」の考え方を用いている。

つるかめ算(置換法)

AB二種類の品物を買うときの手順

  1. 全部Aとして仮の合計を計算する
  2. 仮の合計と実際の合計との「合計の差」を出す
  3. AとBの「一匹の差」を出す
  4. 「合計の差」「一匹の差」で割ってBの数を求める

「1個80円のピザまんと1個100円の肉まんを合計20個買ったら1860円だった。ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買ったか」の場合

20個全部が肉まんだとすると100×20=2000円(仮の合計)になるはずなのに実際は1860円で140円の差(合計の差)がある。

ここで肉まん20個のうち1個をピザまんに変えると100-80=20円安くなる(1個の差)ので、合計も2000円から20円安くなって1980円になる。

何個ピザまんに変えれば良いか考えると、合計の差140円1個の差20円で割った7個と分かる。つまりピザまんが7個で肉まんは20-7=13個になる。
(実際に計算して確かめると、ピザまん80円×7個+肉まん100円×13個=560円+1300円=1860円になっている)

全て肉まん 1個
ピザまん
正しい
場合
ピザまん
(金額)
0個
(0円)
1個
(80円)
7個
(560円)
肉まん
(金額)
20個
(2000円)
19個
(1900円)
13個
(1300円)
合計金額 2000 1980 1860円

詳しくは「面積図を使わずにつるかめ算を解く」を見て下さい。

基本解法(面積図)

「L字型の面積図」を用いる

 

詳しくは「面積図でつるかめ算を解く」を見て下さい。

個数の取り違え

実際に買った品目ごとの個数が予定と逆だった場合。

例えば「80円のピザまんと100円の肉まんを合計10個買うのに、ピザまんと肉まんの買う個数を予定と逆にしてしまったので、予定よりも80円高くなってしまった。ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買う予定だったか」という問題。

面積図を使わず「置き換え法=差集め算」的に解くのが簡単なことが多い。

予定と実際の合計差を単価の差で割り個数の差を出す。個数の和と差が分かるので、最終的には和差算で解く。

例の場合、予定と実際の合計差は80円で、ピザまんと肉まんの単価の差は20円。80÷20=4でピザまんと肉まんの個数の差は4個で、予定よりも高くなった→予定ではピザまんの方が多かった

これでピザまんと肉まんの和が10個、差が4個(ピザまんの方が多い)ので、和差算でピザまん7個,肉まん3個と分かる。

マイナスがある場合(弁償算)

「クイズに正解すると5点プラス、不正解だと2点マイナス」というようにマイナスがある場合。

「置き換え法=差集め算」の考えで、全部プラスの場合との合計差をプラスとマイナスの差で割るとマイナスの個数が出る。

例えば「クイズに正解すると5点プラス、不正解だと2点マイナスになる10問のテストで29点だった場合、何問正解したか?」

全問正解の場合50点なので合計差は50-29=21点。正解と不正解の場合の差が5+2=7点なので、不正解は21÷7=3問と分かる

 

3量のつるかめ算(拘束式)

3種類の物のつるかめ算にはニ種類ある。

3種類の個数がバラバラでなく条件がついている場合(拘束式)は、2種類のつるかめ算に直して解くことができる。

例えば「鶴と亀とクワガタが合計10匹、鶴と亀は同じ数いる。足の合計が36本の時、クワガタは何匹いるか」の場合

鶴1匹と亀1匹の足は合計6本で平均すると1匹3本なので「3本足の動物とクワガタが合計10匹で足の合計は36本」のつるかめ算と考えて、クワガタは2匹と分かる。

 

3量のつるかめ算(非拘束式)

つるかめ算の最終形態。3種類の個数がバラバラの場合

面積図と「いもづる算」を使って解き、答えが何通りかあることも多い面倒な問題。

例えば「鶴と亀とクワガタが合計10匹、足の合計が38本の時、鶴は何匹いるか」の場合

(図)

まず面積図の2の高さより下を切り落として亀とクワガタだけのL字型(左右の高さは2と4)にすると、L字型の面積は38-2×10=18になる。亀の数をP,クワガタの数をQとすると、「2×P+4×Q=18」という式が成り立つ。

(図)

次に「2×P+4×Q=18」の全体を2で割って簡単にすると「1×P+2×Q=9」になる。このあとは足の数が多いクワガタが1,2,3…と調べて表にしていく。

Q(クワガタ)=1の時のP(亀)を求めてみると「1×P+2×1=9」よりPは7、鶴は10-(1+7)=2

Q(クワガタ)=2の時は「1×P+2×2=9」よりP(亀)は5、鶴は10-(2+5)=3

Q(クワガタ)=3の時は「1×P+2×3=9」よりP(亀)は3、鶴は10-(3+3)=4

Q(クワガタ)=4の時は「1×P+2×4=9」よりP(亀)は1、鶴は10-(4+1)=5

Q(クワガタ)=5の時は「1×P+2×5=9」よりP(亀)は0になって不適当で、ここで調べ終了

答えは鶴は2,3,4,5の3通り(面倒くさい!)

爽茶そうちゃ
つるかめ算のまとめは以上です
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