[作成中]場合の数の基本ルール「えらび方」と「ならべ方」

中学受験生で「場合の数がわからない…」という方へ。

確かに、場合の数には非常に多くの種類の問題がありますね。しかし共通して使う「基本ルール」は3個ほどしかありません!

この基本ルールをしっかり憶えてから、各種の問題に取り組めば「場合の数がわからない!」ということはなくなります。

この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が場合の数で使う基本ルールを分かりやすく説明します。

記事を真似して例題を解けば基本ルールを定着できますよ♪

場合の数には二種類ある

場合の数には非常に多くの種類の問題がありますが、使うルールは大きく分けてこの2つです。

場合の数え方

●ならべ方(順列)
(例)ABCDE5人から3人を並べたイスに座らせる
(例)30人のクラスで委員長・副委員長・書紀を決める

●えらび方(組み合わせ)
(例)ABCDE5人から仲間を3人を選ぶ
(例)30人のクラスで代表を3人決める

問題を解く時は「えらび方」か「ならべ方」かを考えれば計算方法も決まります。

確認テスト
「ならべ方」か「えらび方」のどちらか答えなさい

(2021.3.28作成中)

構成を根本的に変えようか?・例を統一する「ABCDE5人」・説明する順番は「ABCDE全員並べかえ」→「ABCDEから3人選んで並べかえ」「ABCDEから3人選ぶだけ」。これが公式を説明しやすい小山田さんの体験で、試してみるか…(30分)

ならべ方

全員を並べかえる

何人かを並びかえるやり方が何通りあるか考えます。

例えば、横に並んだイスXYZにABC3人を座らせる場合を考えます

全員並び替えの例

誰がどのイスに座るか

書き出して調べる(樹形図)

XYZの順に誰が座るかを書き出して調べるやり方。

Xに座るのはABC3人のうち誰かなので3つの場合があります。

樹形図(1)

説明書き

XにAが座った場合、Yに座るのはBCのどちらかです。

樹形図(2)

説明書き

YにBが座った場合Zには自動的にCが座ります。

樹形図(3)

説明書き

一番上に、「ABC」と並んでおり、これは「XにA,YにB,ZにC」と座ったことを意味しています。

また一番上の段にイスの名が(X)(Y)(Z)と書いてあります。これを「項目名」と呼びます。この項目を書くのを忘れないようにして下さい。

同じ様に残りを全部書くとこうなります

完成した樹形図

全部で6通り

右端の「枝」の数が何通りかを示します。この場合は6通りです。

計算で出す

計算で出すこともできます。さっきの樹形図の「項目」ごとに何通りあるかを考えて、かけ算します。

Xに座るのはA,B,Cのいずれかで3通り、Yに座るのはXに座らなかった2人のいずれかで2通り、Zに座るのはXにもYにも座らなかった人で1通り

以上より、3×2×1=6通りです(樹形図と同じになりました)

小まとめ

全部ならべかえ

→N個のもの全部を並べかえる場合の数
=N×(N-1)×(N-2)…×1

(例)3個のモノを並べかえる
=3×2×1=6通り

◇樹形図で調べる

一部をならびかえる

さっきは全員を並び替えましたが、今度は何人かをえらんで並びかえます。

例えば、横に並んだイスXYZにABCDE5人から3人を座らせる場合を考えます

樹形図

項目を書いてXから書いていきます

一番上が出来ました。

図1:

説明書き

途中を省略する

同じ形と予想がつくので、人は書かずに枝の形だけを書きます。

図1:

説明書き

これで太い枝Aから出る細い枝は12本と分かるので、小計として12と書いておきます。

図1:

説明書き

Bの下はAを同じだろうと想像がつくので、枝の形すら書かずに小計だけを書きます。

図1:

説明書き

大きなカタマリが5つあって、それぞれに12本の枝があるのが分かります。

したがって12×5=60通り

図1:

説明書き

計算

5×4×3=60通り

小まとめ

ここまでのならべ方の求め方をまとめておきます。

全部ならべかえ

→N個のもの全部を並べかえる場合の数
=N×(N-1)×(N-2)…×1

(例)5個のモノ全部を並べかえる
=5×4×3×2×1=120通り

◇樹形図で調べる

一部ならべかえ

→N個からM個えらんで並べかえる場合
=N×(N-1)×…×(N-M+1)
=➀×(1)××(N-M+1)

(例)5個から3個えらんで並べかえる
=5×4×3=60通り
=➀ ② ③

◇樹形図で調べる

練習問題で定着♪

作成中

えらび方

今度はABCDE5人がイスでなくカーペットで休憩します。座る場所は自由なので、誰が座るかをえらべばOKです。

他の例。帽子をかぶる。

このように場所による区別や順番が無い場合が「えらび方」です。

1人選ぶ

1人だけ座れる場合、5通り

2人選ぶ

2人座れる場合

今度は「A」「B」「C」「D」「E」5人から2人を選ぶ場合を考えます。

左から右に向かって2人を選んでいきます(「A-B」はOKですが「B-A」はダメ!です)

樹形図

10通りと分かる

4+3+2+1=10通り になります。

ここまでの公式化

4種類から2種類選ぶと3+2+1=6通り
5種類から2種類選ぶと4+3+2+1=10通り なので

N個から2個選ぶ場合の数は、(N-1)+(N-2)+…+1 になると分かります。

2個のえらび方の公式(基本)

N個から2個選ぶ
→(N-1)+(N-2)+…+1 通り

(例1)5種類から2種類選ぶ
4+3+2+1=10通り

(例2)10種類から2種類選ぶ
9+8+7+…+3+2+1=45通り

3人以上選ぶ(裏技)

数え上げ

ABCDE5人から3人を選ぶ場合、同じように左から右へ選んでいきます(ABCは良いが、ACBやBCAはダメ)

((図))

大変ですね。

裏技

ちょっとした裏技が使える場合があります。

上の例で答えが10通りでしたが、これは「5人から2人を選ぶ」問題と答えが同じになっていました。

((図))

つまり「5人から休憩する3人を選ぶ」のと「5人から休憩しない2人を選ぶ」のは同じということです。

同様に「10人から6人選ぶ」と「10人から4人選ぶ」、「100人から99人選ぶ」と「100人から1人選ぶ」は等しくなるので、選ぶ人数が少ない方を求めれば良いのです。

この裏技を使えば、「3個以上を選ぶ」問題を「2個を選ぶ」問題にできることが結構あります。

確認テスト
8人から6人選ぶのは何通りあるか?
→( 「8人から6人選ぶ」は8-6=2なので「8人から2人選ぶ」と等しい )
→( 7+6+5+4+3+2+1=28通り )

小まとめ

ここまでの「えらび方」をまとめておきます。小4受験生まではこれだけでも良いでしょう。

えらび方(簡易版)

N個から1個選ぶ
N通り

(例)5種類から1個選ぶ→10通り

N個から2個選ぶ
→(N-1)+(N-2)+…+1 通り

(例1)5種類から2種類選ぶ
4+3+2+1=10通り

(例2)10種類から2種類選ぶ
9+8+7+…+3+2+1=45通り

N個からM個選ぶ(裏技)
→N-M=2なら、2個選ぶ公式が使える

(例1)5種類から3種類選ぶ
5-3=2なので、5個から2個選ぶのと同じ
4+3+2+1=10通り

(例2)10種類から8種類選ぶ
10-8=2なので、10個から2個選ぶのと同じ
9+8+7+…+3+2+1=45通り

3人以上選ぶ(計算)

上の裏技が使えない場合に計算で出す方法です。

例えばABCDEF6人から3人を座らせる場合です。

並べかえとの違い

ここで「一部ならべかえ」の公式を思い出します。こうでした。

一部ならべかえ

→N個からM個えらんで並べかえる場合
=N×(N-1)×…×(N-M+1)
=➀×(1)××(N-M+1)

(例)5個から3個えらんで並べかえる
=5×4×3=6通り
=➀ ② ③

◇樹形図で調べる
((樹形図))

この公式は使えません。

なぜなら60個のうち、同じ「組み合わせ」が入っているからです。

たとえば「ABC」の組み合わせを「ABC」「ACB」「BAC」「BCA」「CAB」「CBA」と6回数えています。

(図)

他の組み合わせも同じなので、結局「一部ならべかえ」は「えらび方」は6倍も数えてしまっている。

÷6すればよい。60を÷6した10通りが答えになります。

これは5人から2人を選ぶ場合も同様です。

5人から2人をえらんで並び替える「一部並び替え」は5×4=20通りですが

これは同じ組み合わせを2回ずつ数えている。

((図))

20÷2=10通りが正しい答え。

このように、

えらび方の公式(プロトタイプ)

「一部並べかえ」の答えを、
同じ組み合わせを重複して数えている回数で割る

(例)5個から2個えらぶ
→5個から2個えらんで並び替えの答え5×4を
重複カウントの回数2で割って、5×4÷2=10

(例)6個から3個えらぶ
→6個から3個えらんで並びかえの答え6×5×4を
重複カウントの回数6で割って、5×4÷2=10

重複カウントの回数

重複カウントは「全部ならびかえ」の答えと同じになります。

例えば2個選ぶ場合は、重複カウントは2個全部のならびかえの数なので、2×1=2回 です。

3個選ぶ場合は、重複カウントは3×2×1=6回

4個選ぶ場合は、重複カウントは4×3×2×1=24回

これらの数が公式の分母(割る数なので)になります。

公式化

結局、どのような場合でも使える「えらび方」の公式はこうなります。公式を憶えるというよりも、(例)から式を作ることができればOKです。

えらび方の公式(受験)

N個から2個えらぶ→N×(N-1)2 × 1
(例)ABCDE5人から2人えらぶ→5 × 42 × 1

N個から3個えらぶ→N×(N-1)×(N-2)3 × 2 × 1
(例)ABCDEF6人から3人えらぶ→6 × 5 × 43 × 2 × 1

N個から4個えらぶ→N×(N-1)×(N-2)×(N-3)× 3 × 2 × 1
(例)10人から4人えらぶ→10× 9 × 8 × 74 × 3 × 2 × 1

基本ルールのまとめ

基本ルールが出揃ったので、まとめておきます。

ならべ方

◆全部並べかえ
N個のもの全部を並べかえる場合の数
=N×(N-1)×(N-2)…×1

(例)3個のモノを並べかえる
=3×2×1=6通り

◆一部ならべかえ
N個からM個えらんで並べかえる場合
=N×(N-1)×…×(N-M+1)
=➀×(1)××(N-M+1)

(例)5個から3個えらんで並べかえる
=5×4×3=6通り
=➀ ② ③

えらび方

N個から2個えらぶ→N×(N-1)2 × 1
(例)ABCDE5人から2人えらぶ→5 × 42 × 1

N個から3個えらぶ→N×(N-1)×(N-2)3 × 2 × 1
(例)ABCDEF6人から3人えらぶ→6 × 5 × 43 × 2 × 1

N個から4個えらぶ→N×(N-1)×(N-2)×(N-3)× 3 × 2 × 1
(例)10人から4人えらぶ→10× 9 × 8 × 74 × 3 × 2 × 1

練習

 

えらび方

何種類かの物からのえらび方を数えます。例えば「イチゴ・マンゴー・チョコ・バニラ4種類の味のアイス」があるとします。

1個選ぶ

N種類から1個えらぶ場合のえらび方はN通りです(当然)

(例)4種類の味のアイスから1種類選ぶ場合のえらび方は4通りです。

2個選ぶ

えらび方の樹形図

例えば「イチゴ・マンゴー・チョコ・バニラ4種類の味のアイスから2種類選ぶ場合の数はいくつ?」を考えます。

2個づつの「組み合わせ」を作っていきますが、この時「左→右」の順を必ず守って下さい。「イチゴ&マンゴー」はOKですが「マンゴー&イチゴ」はNGです。

これは、同じ組み合わせを2回数えてしまわないための工夫です。(「イチゴ&マンゴー」と「マンゴー&イチゴ」は同じ組み合わせなので2回数えるのは間違い)

図を書いて組み合わせを数えると、3+2+1=6通りと分かります。

2個の組み合わせ

6通りです

この組み合わせの作り方でOKなのですが、よく使う図は下のような図で「樹形図」と言います。内容は上の図と全く同じです。

選び方の樹形図

木が並んでいるみたい

こちらの方が書きやすいですね。このような「だんだん小さくなっていくカタマリが横に並んでいる」図を「えらび方の樹形図」といいます。

今度は「A」「B」「C」「D」「E」5人から2人を選ぶ場合を考えます。

同じ様に左から右に向かって2人を選んでいきます(「A-B」はOKですが「B-A」はダメ!です)

樹形図

10通りと分かる

4+3+2+1=10通り になります。

ここまでの公式化

4種類から2種類選ぶと3+2+1=6通り
5種類から2種類選ぶと4+3+2+1=10通り なので

N個から2個選ぶ場合の数は、(N-1)+(N-2)+…+1 になると分かります。

えらび方の公式(簡易版)

N個から1個選ぶ
N通り

(例)5種類から1個選ぶ→10通り

N個から2個選ぶ
→(N-1)+(N-2)+…+1 通り

(例1)5種類から2種類選ぶ
4+3+2+1=10通り

(例2)10種類から2種類選ぶ
9+8+7+…+3+2+1=45通り

3個以上選ぶ

3個以上選ぶ場合は、いくつかの考え方があります。

地道に数え上げる

これは面倒くさいし、数えミスをしてしまう可能性が高いので避けたい…

裏技で出す

そこで、まず「裏技」が使えないか考えます。

例えば5個から好きなものを4個選んでと言われたら、いらない1個を指定しても同じなので、5個から1個のえらび方で5通りあると分かります。

同じ様に5個から3個選んで下さいと言われた時に、選ばない方の2個を指差しても同じなので、5個から2個のえらび方で4+3+2+1=10通りと分かります。

この「裏技」を使えば「1個選ぶ」「2個選ぶ」場合に直して計算することができます。

10個から8個選ぶ場合も、10個から2個選ぶ場合になおして、9+8+7+…+1=45通りと出せますね。

公式で出す

裏技が使えない場合、例えば「10個から4個選ぶ」場合は公式を使います(公立では高校に習います)

公式の導き方は後で説明します。

えらび方の公式(受験)

N個から2個えらぶ→N×(N-1)2 × 1
(例)5個から2個えらぶ→5 × 42 × 1

N個から3個えらぶ→N×(N-1)×(N-2)3 × 2 × 1
(例)6個から3個えらぶ→6 × 5 × 43 × 2 × 1

N個から4個えらぶ→N×(N-1)×(N-2)×(N-3)× 3 × 2 × 1
(例)10個から4個えらぶ→10× 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 1

この公式は受験学年(6年生)までに覚えれば大丈夫です。

場合の数の基本ルールその1「えらび方」は以上です。

ならべ方

基本ルール2は「ならべ方」です。いくつかの物の順番を変える場合の数を求めます

全部並べかえる

樹形図で求める

例えば「『コ』『ナ』『ミ』の3文字を並びかえて名前を考えると何通りあるか?」を考えます。

1文字目に使える文字は「コ」「ナ」「ミ」の3通り、1文字目に「コ」を選んだ場合2文字目は「ナ」「ミ」の2通り、1文字目に「コ」2文字目に「ナ」を選んだ場合3文字目は「ミ」の1通りになります。ここまでを図にするとこうなります

続けて最後まで書くと6通りと分かります

これを「並べ方の樹形図」と言います。上で書いた「えらび方の樹形図」と違って一つの大きな図になっているのが特徴です。

図1a:ならべ方の樹形図

「ならべ方の樹形図」は
大きな1つの樹
図1b:えらび方の樹形図

「えらび方の樹形図」は
だんだん小さくなっていく
樹がいくつか並んでいる

「並べ方の樹形図」を書くときは、項目(この場合は「1文字目」等)を必ず書きましょう

次に「横に並んだ4つのイスにABCD4人が座る場合の並び方は何通りあるか」考えます。

イスに「W」「X」「Y」「Z」と名前をつけて、樹形図を書いて調べるとこうなります。(項目としてWXYZを書きましょう)

((樹形図))

全部で24通りと分かりました。

数が多くなってくると全部書くのが難しくなるので、初めの方だけ丁寧に書き、同じ形が繰り返されるところは省略して数だけ書くと良いです。

((省略した樹形図))

計算で求める

図を書かずに計算で出すことも出来ます。

Wに座る人はABCDの4通り、Xに座る人はWに座った誰か以外の3人で3通り、Yに座る人はWXに座った二人以外の2人で2通り、Zに座るのは残った一人で1通りです。

いま出した「4通り」「3通り」「2通り」「1通り」をどうすれば樹形図で調べた答えである「24」通りになるでしょうか?

4×3×2×1=24 でかけ算ですね。つまりN個のもの全部を並べる場合の数は、N×(N-1)×(N-2)×…×1 で求めることができます。

全部並べかえ

N個全部を並べかえる
N×(N-1)×(N-2)×…×1 通り

(例1)5個全部を並べかえる
5×4×3×2×1=120 通り

選んで並び替え

例えば、ABCDE5人の中から3つのイスXYZに座ってもらいます。

樹形図で出す

項目としてXYZを書きましょう

(樹形図)

計算で出す

Xに座る人は5人の誰かで5通り、Yに座る人はXに座った誰か以外の4人で4通り、Zに座るのはXYに座った2人以外の3人で3通りです。

この数字をかけ算した 5×4×3=60通り が答えになります。

((樹形図))

このように、N個からA個選ぶ場合の数はN×(N-1)×…×(N-A+1) になります。(この形を覚える必要はありません。数字が入った例を覚えましょう)

選んで並べかえ

N個からA個えらんで並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1) 通り

(例1)5個から2個えらんで並べかえる
w
5×4=60 通り

(例1)7個から3個えらんで並べかえる
w ② ③
7×5=210 通り

もっと詳しい説明を見たい、いろんな問題を解きたい人は参考記事「場合の数の基本ルール」内の「ならべ方」を見て下さい。

条件にそって並べる

となりあわせ

 

交互に並ぶ

 

両端に

 

丸く並べる(円順列)

 

丸く並べる場合

まっすぐ並べる場合の式を、並べる個数で割る

全部を丸く並べ替え

円形のテーブルに座るように丸く並ぶ場合は注意が必要です。例えば3人が丸く並ぶ場合、下のような3つの並び方は回転しているだけで「●→○→⦿」という同じ並び方です(現実では「この席だとテレビが見えない」とか「この席だとエアコンの風が冷たい」とかで違いがありますw)。

図1:3人が丸く並ぶ

同じ並び(●→○→⦿)が3つできてしまう。

つまり円形に3個並べると同じ形が3個できてしまうのです。そこで、3個の並べ方の公式「3×2×1」をさらに3で割った「3×2×13」を計算します。この式は約分すると「2×1」になり2通りが答えになります。

4個を丸く並べると「4×3×2×14=3×2×1」、5個を丸く並べると「5×4×3×2×15=4×3×2×1」になります。公式にすると…

全部を丸く並べかえ

N個全部を丸く並べかえる
N×(N-1)×(N-2)×…×1 ÷N 通り
→(N-1)×(N-2)×…×1 通り

(例1)5個全部を並べかえる
4×3×2×1=24 通り

えらんで丸く並べ替え

全部ではなく選んで並べ替える場合も最後に割り算をするのは同じです。例えば5人から3人選んで丸テーブルに座ってもらう場合、5人から3人選ぶ並び替え「5×4×3」を3で割るので「5×4」で20通りになります。

これは公式にしづらいですが…こんな感じですね。

選んで丸く並べかえ

N個からA個えらんで丸く並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1)÷A 通り

(例1)5個から3個えらんで丸く並べかえる
w ② ③
5×3=20 通り

(例1)7個から3個えらんで丸く並べかえる
w ② ③
7×5÷3=70 通り

数珠順列

さらに裏返したものも同じと数える場合があります(数珠(じゅず)順列と呼びます)

数珠順列では重複カウントが2倍になるので、円順列からさらに÷2します

数珠順列の場合

3つの並びかえで
重複が6通りもできる

数珠(じゅず)順列

~反対向きも同じに数える

N個全部を数珠順列にする
N×(N-1)×(N-2)×…×1 ÷N÷2 通り
→(N-1)×(N-2)×…×1 ÷2通り

(例1)5個全部を並べかえる
4
×3×2×1÷2=12 通り

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

7人から4人選んで丸テーブルに座らせる
→( 7P4÷4=7×6×5×44=7×6×5=210通り )

確認テスト(タッチで解答表示)

7人全員を丸テーブルに座らせる
→( (7-1)!=6×5×4×3×2×1=720通り )

応用問題(場所の指定)

応用テスト(タッチで解答表示)

ABCDEFの6人が円に並ぶ場合、AとBが向かい合うのは何通りあるか
→AとBを向かいに座らせる(AとBを固定)のは( 1 )通り
→残った4席にCDEFを座らせるのは( 4!=24通り(円順列ではない) )
→答えは( 1×24=24通り )

応用テスト(タッチで解答表示)

男子ABC女子XYZ合計6人が円に並ぶ場合、男女が交互に並ぶのは何通りあるか?
→男子ABC3人を円に並べるのは( (3-1)!=2通り )
→次にそのスキマ3箇所に女子を並べるのは( (円順列ではない) 3!=6通り )
→答えは( 2×6=12通り )

場合の数同士の関係(和と積の法則)

問題を解いていて場合の数が2つ出た場合に、その2つの数字をどうすれば答えになるのか迷うことがあります。

2つの場合の数の関係を考えて、「そして」や「かつ」ならかけ算(積)にします。上で出てきたならべ方がこちらでした。2つの場合の数が「あるいは」や「または」なら足し算(和)にします。

たとえば、長ズボンが3通り、半ズボンが2通りある場合の服装の場合の数を考えると、長ズボン「または」半ズボンを履きますね?よって和:3+2=5通りになります。

一方、長ズボンが3種類・くつが2種類の場合は、長ズボン「そして」くつを履きますね?よって服装の場合の数は積:3×2=6通りになります。

樹形図を想像しても良いでしょう。

最初の場合はこういう図になります。

((図))

項目が(ズボン)一つしかありません。

二番目の場合はこういう図になります。項目が(ズボン)と(くつ)と二つ並んでいます。

((図))

このような場合は積(かけ算)になると覚えても良いでしょう。

確認テスト

(2021.3.28作成中)

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