中学受験】場合の数パターン別の公式・問題の解き方のコツ総まとめ(カード等)【小学生

場合の数の記事一覧

●場合の数のまとめ(この記事)

基本ルール(ならべ方・えらび方)

●色玉の問題

[作成中]数字カードの問題

●金額の問題

●経路・道順の問題

●地図の塗り分け問題

●試合数の問題

中学受験生で「場合の数」が苦手な方、あなたは「場合の数って色んな問題があって訳が分からない!」と悩んでいませんか?

実は、あなたの感じ方は正解です。「場合の数」は他の分野の問題と比べると、本当に色んな種類の問題・解き方があるんです…

しかし、安心して下さい!問題の種類はたくさんあっても、共通して使う公式は実は3~4個しかないんですよ!

だから、色んな問題の解き方をバラバラに覚えるのではなく、まずは基本公式をしっかり使えるようにして、それから「数字カード」などのタイプ別問題にいきましょう。

そして、それぞれの問題が「どの基本公式を使うのか」が分かるようにしていけば、解ける問題がどんどん増えていくのです。

この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が基本公式の覚え方から応用問題での使い方までネット上で一番分かりやすく解説します!

記事を読んで公式を憶え、例題を真似して問題を解けば「場合の数」が苦手ではなくなっているでしょう。

この記事は長いので、目次をクリックして読みたい場所に飛んで下さい。

場合の数の基本ルール

場合の数には非常に多くの種類の問題があるが、使うルールは大きく分けてこの2つだけ。

場合の数え方

●ならべ方(順列)
(例)〃リレーの選手を走る順に3人決める

●えらび方(組み合わせ)
(例)30人のクラスで掃除当番を3人決める

基本的に順番を気にするかしないかで区別する。
数字カードを2枚引いて2ケタの整数を作る→ならべ方
数字カードを2枚引く→えらび方

順番でなく「位置」や「地位」でも同じ
10人から1等・2等・3等の当選者を決める→ならべ方
10人から当選者3人を決める→えらび方

ならべ方

いくつかの物の順番を変える場合の数。
「全部ならべかえ」と「一部ならべかえ」がある。

全部を並べかえる

用意された物や人の全部を並べかえる場合の数

全部並べかえ

N個全部を並べかえる
N×(N-1)×(N-2)×…×1 通り

(例1)5全部を並べかえ
5
×4×3×2×1=120 通り

確認テストをどうぞ

1-1-1:全部ならべかえ

以下の問いに答えなさい。
『コ』『ナ』『ミ』の3文字を並びかえて作れる名前は何通りあるか?
解説

公式「N×(N-1)×(N-2)×…×1 通り」のNを3にして、3x2x1=6通り

6通り

これは1文字目,2文字目,3文字目の場合の数のかけ算で、樹形図を書いても同じ計算になる

(1)の樹形図

樹形図は項目を書くと良い
ABCD4人が横一列に並んで写真をとる。並び方は全部で何通りあるか
解説

公式「N×(N-1)×(N-2)×…×1 通り」のNを4にするので、4x3x2x1=24通り

24通り

これは立つ位置を「ア」「イ」「ウ」「エ」としたときの場合の数のかけ算で、樹形図を書いても同じ計算になる

(2)の樹形図

ものが多い樹形図は
後半を省略して書く

例えば「『コ』『ナ』『ミ』の3文字を並びかえて名前を考えると何通りあるか?」を考えます。

1文字目に使える文字は「コ」「ナ」「ミ」の3通り、1文字目に「コ」を選んだ場合2文字目は「ナ」「ミ」の2通り、1文字目に「コ」2文字目に「ナ」を選んだ場合3文字目は「ミ」の1通りになります。ここまでを図にするとこうなります

図1:

1文字目を「コ」にすると
「コナミ」と「コミナ」の2通り

続けて最後まで書くと6通りと分かります

図2:

1文字目を「ナ」にした場合と
「ミ」にした場合もそれぞれ2通り

これを「並べ方の樹形図」と言います。上で書いた「えらび方の樹形図」と違って一つの大きな図になっているのが特徴です。

図1a:ならべ方の樹形図

「ならべ方の樹形図」は
大きな1つの樹
図1b:えらび方の樹形図

「えらび方の樹形図」は
だんだん小さくなっていく
樹がいくつか並んでいる

「並べ方の樹形図」を書くときは、項目(この場合は「1文字目」等)を必ず書きましょう

次に「横に並んだ4つのイスにABCD3人が座る場合の並び方は何通りあるか」考えます。イスにWXYZと名前をつけて、図を書いて調べるとこうなります。

((樹形図))

全部で24通りと分かりました。

数が多くなってくると全部書くのが難しくなるので、初めの方だけ丁寧に書き、同じ形が繰り返されるところは省略して数だけ書くと良いです。

図を書かずに計算で出すことも出来ます。

Wに座る人はABCDの4通り、Xに座る人はWに座った誰か以外の3人で3通り、Yに座る人はWXに座った二人以外の2人で2通り、Zに座るのは残った一人で1通りです。

いま出した「4通り」「3通り」「2通り」「1通り」をどうすれば樹形図で調べた答えである「24」通りになるでしょうか?

4×3×2×1=24 でかけ算ですね。つまりN個のもの全部を並べる場合の数は、N×(N-1)×(N-2)×…×1 で求めることができます。

もっと詳しい説明を見たい、いろんな問題を解きたい人は「場合の数の基本ルール」を見て下さい。

一部並び替え

用意された物から何個か選んで並べかえる場合の数です。

一部並べかえ

N個からA個えらんで並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1) 通り

(例1)5個から2個えらんで並べかえる
w
5×4=60 通り

(例1)7個から3個えらんで並べかえる
w ② ③
7×5=210 通り

この公式は形を覚えるというよりも、数字が入った例から式を作れればOKです。

確認テストをどうぞ

1-1-2:一部ならべかえ

以下の問いに答えなさい。
5人の中から3人をイスXYZに座らせる方法の数を求めよ
解説

5人から3人えらんで並べかえるので

w ② ③

5×3=60 通り

60通り

樹形図を書いても同じ結果になる

(1)の図

項目(X)(Y)(Z)の下に書く
後半は省略するのがコツ
20人から会長1人・副会長1人を選ぶ場合の数を求めよ
解説

20人から2人えらんで並べかえるので

w  

20×19=380 通り

380通り

このような単純な問題は樹形図を書かずに計算で出しても良い

例えば、6人の中から3人選んで3つのイスXYZに座ってもらいます。Xに座る人は6人の誰かで6通り、Yに座る人はXに座った誰か以外の5人で5通り、Zに座るのはXYに座った2人以外の4人で4通りです。

この数字をかけ算した 6×5×4=120通り が答えになります。

((樹形図))

もっと詳しい説明を見たい、いろんな問題を解きたい人は「場合の数の基本ルール」を見て下さい。

えらび方

何種類かの物から選ぶ場合の数。4年生まではこちらができるように

えらび方(4年生まで)

N個から1個選ぶ→N通り

5種類から1個選ぶ→5通り

N個から2個選ぶ→(N-1)+(N-2)+…+1 通り

5種類から2種類選ぶ→4+3+2+1=10通り

N個からM個選ぶ(裏技)
NM=2なら、2個選ぶ公式が使える

5種類から3種類選ぶ
53=2なので、5個から2個選ぶのと同じ
4+3+2+1=10通り

5年生以降はこちらを覚えておけば受験もOK

えらび方(5年以降)

N個から1個選ぶ→N通り
(例)5種類から1個選ぶ→5通り

N個から2個選ぶ→N×(N-1)2 × 1
(例)5個から2個選ぶ→5 × 42 × 1=10通り

N個から3個選ぶ→N×(N-1)×(N-2)3 × 2 × 1
(例)6個から3個選ぶ→6 × 5 × 43 × 2 × 1=20通り

N個から4個選ぶ→N×(N-1)×(N-2)×(N-3)× 3 × 2 × 1
(例)10個から4個選ぶ→10× 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 1=210通り

N個からM個選ぶ→N個から(NM)個選ぶのと同じ
(例)100個から97個選ぶ→100個から(10097)=3個選ぶのと同じ

テストで確認♪

1-2-1:えらび方

以下の問いに答えなさい。
10種類の味のアイスから2種類の味を選ぶ方法は何通りあるか
解説

10個から2個選ぶので、10 × 92 × 1=45通り

4年までの公式では、9+8+7+…+1=45(ちょっと面倒…)

45通り
12人から当選者8人を選ぶ場合の数
解説

12個から8個選ぶ→12個から(128)=4個選ぶのと同じ

12個から4個選ぶ→12× 11 × 10 × 94 × 3 × 2 × 1=495通り

495通り

N個から1個選ぶ

当然、N通りあります。

(例)4種類の味のアイスから1種類選ぶ場合は4通りです。

N個から2個選ぶ

例えば「イチゴ・マンゴー・チョコ・バニラ4種類の味のアイスから2種類選ぶ場合の数はいくつ?」を考えます。

2個づつの「組み合わせ」を作っていきますが、この時「左→右」の順を必ず守って下さい。「イチゴ&マンゴー」はOKですが「マンゴー&イチゴ」はNGです。

これは、同じ組み合わせを2回数えてしまわないための工夫です。(「イチゴ&マンゴー」と「マンゴー&イチゴ」は同じ組み合わせなので2回数えるのは間違い)

図を書いて組み合わせを数えると、3+2+1=6通りと分かります。

図1:

組み合わせを数えているところ

この組み合わせの作り方でOKなのですが、よく使う図は下のような図で「樹形図」と言います。内容は上の図と全く同じです。

「イチゴ・マンゴー・チョコ・バニラ」の頭文字をつなげて「イマチバ」「マチバ」「チバ」の順に書いていきます

図2:

左から右へ小さくなっていく

こちらの方が書きやすいですね。

このような「だんだん小さくなっていくカタマリが横に並んでいる」図を「えらび方の樹形図」といいます。

今度は「イチゴ・マンゴー・チョコ・バニラ・ミント5種類から2個えらぶ場合」を考えます。

「イマチバミ」「マチバミ」「チバミ」「バミ」と書くと樹形図ができます

図3:

5個から2個えらぶと
4+3+2+1=10通り

4+3+2+1=10通り になります。

公式化する♪

4種類から2種類選ぶと3+2+1=6通り
5種類から2種類選ぶと4+3+2+1=10通り なので

N個から2個選ぶ場合の数は、(N-1)+(N-2)+…+1 になると分かります。

2個えらぶ場合の数

N個から2個選ぶ
→(N-1)+(N-2)+…+1 通り

(例1)5種類から2種類選ぶ
4+3+2+1=10通り

(例2)10種類から2種類選ぶ
9+8+7+…+3+2+1=45通り

N個から3個以上選ぶ

書き出す

2個選ぶ場合と同様に、樹形図を書いて出すことができます

例えば「イチゴ・マンゴー・チョコ・バニラ・ミント5種類から3個えらぶ場合」は、「イマチバミ」の順に3個セットで「イマチ」「イマバ」「イマミ」「イチバ」「イチミ」「イバミ」…と書いていきます。

チゴ・ンゴー・ョコ・ニラ・ント
から3個えらぶ

6+3+1=10通り

しかし、選ぶもとの数が増えると、樹形図を書くのは大変です。

裏技で出す

実は、先程の「5種類から3個選ぶ」のは選ばない方の2個を選ぶ、つまり「5種類から3個選ぶ」と同じなのです。

5個から3個えらぶのと2個えらぶのは同じ
5個から3個を選ぶ
6+3+1
5個から2個を選ぶ

6+3+14+3+2+1
両方とも10通り!

これは5個から選ぶときだけでなく、6個から選ぶのも7個から選ぶのでも同じになります。

例えば10個から8個選ぶ場合は、10個から2個選ぶのと同じで 9+8+7+…+1=45通り になります(少し面倒くさいですが…)

3個以上選ぶ場合の裏技

●N個から(N-2)個えらぶ場合
→N個から2個選ぶのと同じ

(例1)5個から3個選ぶ場合
→5個から2個選ぶのと同じ
4+3+2+1=10通り

(例2)10個から8個選ぶ場合
→10個から2個選ぶのと同じ
9+8+7+…+1=45通り

公式で出す

今の裏技を使えない場合や、3個に限らず、どういう場合にでも使える便利な公式です(公立では高校に習います)

えらび方の公式

N個から2個選ぶ→N×(N-1)2 × 1
(例)5個から2個選ぶ→5 × 42 × 1

N個から3個選ぶ→N×(N-1)×(N-2)3 × 2 × 1
(例)6個から3個選ぶ→6 × 5 × 43 × 2 × 1

N個から4個選ぶ→N×(N-1)×(N-2)×(N-3)× 3 × 2 × 1
(例)10個から4個選ぶ→10× 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 1

この公式は受験学年(6年生)までには覚えましょう

もっと詳しい説明を見たい、いろんな問題を解きたい人は「場合の数の基本ルール」を見て下さい。

場合の数同士の関係(和と積の法則)

問題を解いていて場合の数が2つ出た場合に、2つの数をどうするか。それが「和と積の法則」

和と積の法則

場合の数が2つ出てきた場合

●両立しない場合(または)→たし算する

(例)長ズボン3種類と半ズボン2種類
→全部で3+2=5通りのファッション

●両立する場合(そして)→かけ算する

(例)長ズボン3種類と上着4種類
→全部で3×4=12通りのファッション

「和」
項目が1つ
「積」

項目が2つ

テストで確認して下さい

1-3:和と積の法則

以下の服で作れるファッションは何通りあるか
長ズボン3種類,半ズボン2種類,上着4種類
解説

長ズボン3通りと半ズボン2通りは同時に着れないので(和)ズボン全部で2+3=5通り

上着は4通り

ズボンと上着は同時に着れるので(積)、5×4=20通り

20通り
長ズボン3種類,半ズボン2種類,上着4種類,サングラス2種類(但し、サングラスはかけなくても良い)
ヒント

サングラスには「かけない」という種類もあると考える

解説

ズボンは3+2=5通り、上着は4通り

サングラスは「かけない」「サングラス1」「サングラス2」の3通り

ズボン・上着・サングラスは同時に着れるので(積)、5x4x3=60通り

60通り

樹形図をイメージできるとベター

(2)の樹形図

サングラスに「かけない」
があることに注意する

もっと詳しい説明を見たい、いろんな問題を解きたい人は場合の数の基本ルール」内の「和と積の法則」を見て下さい。

爽茶そうちゃ
場合の数の基本ルールは以上です。
市販の問題集を利用したい人向けに、記事の一番最後でオススメ問題集を紹介しています。

並べ方の拡張ルール

基本ルールを少し変えた並べ方

条件にそって並べる

条件を指定された場合、条件に沿うように計算を2回(以上)行って、和積の法則の「積」でかけ算して答えを出します

両端を指定

手順は「(両端を決める→)❶両端を並べかえる→❷残りを並べかえる→❸積を求める」(前後しても同じ)

2-1-1:両端指定

男子A,B,Cと女子D,Eの計5人が横一列に並んで座る。女子が両端になる並び方は何通りあるか
解説

❶両端の並べ替え
両端へのDEの座り方は「D…E」と「E…D」の2通り

❷残りの並べ替え
残り3席へのABCの座り方(3個の全部並べかえ)が3x2x1=6通り。

❸積
全部で2×6=12通り

12通り

樹形図はこんな感じ

樹形図

項目は(両端)(左から2)(3)(4)になる
後半は省略して計算で出す

交互に並ぶ

手順は「①2種類の物(男女など)の配置を決める→❷1種類の並べ替え→❸もう1種類の並べ替え→❹積を求める」です。

配置が1通りしか無い場合①は必要なし

2-1-2:交互に並ぶ

以下の場合に、男女が交互に横一列に並ぶ方法は何通りあるか。
男子A,B,Cと女子D,Eの計5人が並ぶ
解説

①配置
男女の並び方は「男女男女男」しかない

❷1種類目の並べ替え
男3人の並び方(3個の全部並べかえ)が3x2x1=6通り

❸もう1種類の並べ替え
女2人の並び方は2×1=2通り。

❹積
全部で6×2=12通り

12通り
男子A,B,Cと女子D,E,Fの計6人
ヒント

(1)との違いを考える

解説

①配置
男女の並び方は「男女男女男女」と「女男女男女男」の2通りある

❷1種類目の並べ替え
男3人の並び方(3個の全部並べかえ)が3x2x1=6通り

❸もう1種類の並べ替え
女3人の並び方は3x2x1=6通り。

❹積
全部で2x6x6=72通り

72通り

隣り合う

隣り合うよう指定された2人(ペア)を1人と考えるのがコツ

手順は「❶2人を1人と考えて全部並べかえ→❷2人の並び替え→❸積」です

2-1-3:誰かがとなり合う

男子A,B,Cと女子D,Eの計5人が横一列に並んで座る。
女子が隣り合う並び方は何通りあるか
解説

❶DEをまとめて[X]として「ABCX」4人の並べかえと考えると4x3x2x1=24通り。

❷さらに[X]の中で「DE」と「ED」の2通り

❸合計24×2=48通り

48通り
BとD、CとEがとなり合う並び方は何通りあるか
ヒント

ペアを2つ作ると…

解説

❶BDを[X]、CEを[Y]として「AXY」3人の並べかえと考えると3x2x1=6通り。

❷さらに[X]と[Y]の中でそれぞれ2通り

❸合計6x2x2=24通り

24通り

となり合わない

並び方には「となり合う並び方」と「となり合わない並び方」のどちらかしかないので、「並び方全部」から「隣り合う並び方」を引けば「となり合わない並び方」が出る

2-1-4:となり合わない

男子A,B,Cと女子D,Eの計5人が横一列に並んで座る。女子がとなり合わない並び方は何通りか
解説

●無条件で5人が並ぶと(5個の全部並べかえ)5x4x3x2x1=120通り

●女子がとなり合う並び方は(4x3x2x1)x2=48通り(上の「練習2-1-3」参照)

●となり合わないのは、12048=72通り

72通り

詳しい解説が読みたい・もっと問題を解きたい人は「並べ方の拡張」を見て下さい

丸く並べる(円順列)

円順列

3つのものを丸く並べると
重複が3通りできる

普通の並べかえの答えを重複数で割らないといけない

丸く並べかえ(円順列)

N全部を丸く並べかえる
N×(N-1)×(N-2)×…×1 ÷N 通り

(例1)5個全部を並べかえる
x4×3×2×1÷5=24 通り

N個からAえらんで丸く並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1)÷A 通り

(例1)7個から3個えらんで丸く並べかえる
w ② ③
7×5÷3=70 通り

問題をどうぞ

2-2:円順列

男子A,B,Cと女子D,E,Fの6人が丸テーブルに座る
座り方は全部で何通りか?
解説

6人座る=同じ並びが6通りできるので、6人全部並び替えを6で割ります。

6x5x4x3x2x1÷6=120通り

120通り
6人から3人を選んで丸テーブルに座らせると、座り方は全部で何通りか?
解説

3人座る=同じ並びが3通りできるので、一部並べかえを3で割ります。

6x5x4÷3=40通り

40通り
男女が交互になるように6人が座る方法は何通りあるか
ヒント

円順列の割り算は1回だけでOK

解説

男子3人を円に並べるのは(3個の円順列)3x2x1÷3=2通り。

男子の間に女子3人を並べるのは3x2x1=6通り(これは円順列ではありません)

合計2×6=12通り

12通り

詳しい解説が読みたい・もっと問題を解きたい人は「並べ方の拡張」を見て下さい

丸くつなげる(数珠順列)

円順列
同じ並びが3個できる
数珠順列

同じ並びが6個できる

石のように裏表がないものを丸くつなげる(数珠のように)場合は、回転と裏返しで同じ並びが円順列の2倍できるので、円順列をさらに÷2する

丸くつなげる(数珠順列)

~反対向きも同じに数える

N個全部を数珠順列にする
N×(N-1)×(N-2)×…×1 ÷N÷2 通り

(例1)5個全部を並べかえる
5x4x3x2x1÷5÷2=12通り

N個からAえらんで丸く並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1)÷A÷2 通り

(例1)7個から3個えらんで丸く並べかえる
w ② ③
7×5÷3÷2=35通り

練習問題をどぞ

2-3:数珠順列

ネックレスの作り方について問いに答えなさい(ネックレスには裏表がないとする)。
種類が異なる7個の宝石でのネックレスの作り方は何通りあるか?
解説

7x6x5x4x3x2x1÷7÷2=360通り

360通り
種類が異なる10個の宝石から5個選ぶネックレスの作り方は何通りあるか
解説

10x9x8x7x6÷5÷2=3024通り

3024通り

詳しい解説が読みたい・もっと問題を解きたい人は「並べ方の拡張」を見て下さい

[作成中]重複ある場合の数(色玉)

色のついた玉をあれこれする問題。基本ルールを使う練習に良いです。

色玉のえらび方

各色1つずつ球がある場合

単純な選び方の問題になる

えらび方の公式

N個から2個選ぶ→N×(N-1)2 × 1
(例)5個から2個選ぶ→5 × 42 × 1

N個から3個選ぶ→N×(N-1)×(N-2)3 × 2 × 1
(例)6個から3個選ぶ→6 × 5 × 43 × 2 × 1

N個から4個選ぶ→N×(N-1)×(N-2)×(N-3)× 3 × 2 × 1
(例)10個から4個選ぶ→10× 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 1

同じ色の球がある場合

数え方に注意が必要で、えらび方の「小さくなっていく数本の樹形図」を書いて調べる

 

色玉のならべ方

色がバラバラの場合

単純な並べ替えの問題になる

 

同じ色の玉がある場合

並べ方の「一本の大きな樹形図」を書いて調べる

 

爽茶そうちゃ
色玉の問題は以上です。
市販の問題集を利用したい人向けに、記事の一番最後でオススメ問題集を紹介しています。

[作成中]図形の問題

図形のえらび方

点を選んで図形を作る問題

 

線を選んで三角形を作る問題

 

図形のならべ方

 

 

図形の数え方

 

 

爽茶そうちゃ
図形と場合の数は以上です。
市販の問題集を利用したい人向けに、記事の一番最後でオススメ問題集を紹介しています。

数字カードの問題

個別ページを作成中。あちらに加筆する

数字が書かれたカードをあれこれする問題

カードのえらび方

和指定

「1から9まで書かれた数字カード9枚から和が7になるようなカードを2枚選べ」など

規則正しく数え上げていくと、(1,6)(2,5)(3,4)の3通り

「1から5まで書かれた数字カード9枚から和が3の倍数になるものを3枚選ぶ」だと(1,2,3)(1,3,5)(2,3,4)の3通り。これは「整数を作る問題」の「3の倍数を作る問題」で使います。

積指定

「1から6まで書かれた数字カードから積が6の倍数になるようなカードを2枚選べ」など

これも規則正しく数えていくと(1,6)(2,3)(2,6)(3,4)(3,6)(4,6)(5,6)の7通り。

「1から6まで書かれた数字カードから積が奇数になるようなカードを2枚選べ」のように偶数・奇数が条件の場合、かけ算の中に一つでも偶数が交じると答えも偶数になるのに注意します。

よって積が奇数になるには「1」「3」「5」だけでかけ算を作らないといけないので(1,3)(1,5)(3,5)の3通りと分かります。

「積が偶数になる」という条件の場合は、6枚のカードから2枚えらんで出来る組み合わせの合計(5+4+3+2+1=)15通りから奇数だけでできる3通りを引いて12通りと求めます。

カードのならべ方(整数を作る問題)

数字カードを選んで並べ替えることで整数を作ります。「1」と「3」を選んでも、順番によって「31」「13」二種類の整数が出来ます。

単純なパターン

「1から5の数字カードから3枚えらんで3ケタの整数を作る」などの問題は5個から3個えらんで並びかえるだけなので「選んで並べかえる公式」そのままで5×4×3=60 通りと解けますが、樹形図も書いてみます。

((樹形図))

整数を作る時は(百)(十)(一)とくらいを項目として必ず書きましょう。

「0」カードがある場合

「0から5の数字カードから3枚えらんで3ケタの整数を作る」のように「0」がある場合は要注意です。

百の位には「0」が来れないので5通り、十の位には百の位で使った数以外の5通り…と考えると5×5×4=100通りと分かりますが、慣れるまでは樹形図を書いて確かめましょう。

((樹形図))

ダブりのカードがある場合

同じ数のカードが2枚以上ある場合は単純な計算で求めるのは難しいです。サッと樹形図を書いて調べましょう。

「1,1,2,3,4」から3枚選んで3ケタの整数を作る場合はこうなります。

((樹形図))

これに「0」のカードが入ってくるとややこしくなるので落ち着いて調べましょう。

偶数・奇数を作る

偶数か奇数かは一の位で決まるので、まず一の位から考えます。

例えば「1から5の数字カード5枚から3枚えらんで3ケタの偶数を作る」場合は、まず一の位に来るのは2か4の2通り、百の位は一の位に使った数以外の4通り、十の位にくるのは残りの3通りなので2×4×3=24通りです。

この場合も「0」のカードが入ると面倒くさくなります。樹形図を書いて調べましょう。樹形図の項目は(百)(十)(一)ではなく(一)(百)(十)とします。

「0から5の数字カード6枚から3枚えらんで3ケタの偶数を作る」場合はこうなります。

((樹形図))

中学受験生は4年生のうちに書けるようにしておきましょう。

3の倍数を作る

3の倍数になる条件は「各位の和が3の倍数になる」なので、数の並べ替えをする前に「各位の和が3の倍数になる」組み合わせを選ばないといけません。

従って2ステップで解くことになります。
①和が3の倍数になる組み合わせを選ぶ
②選んだ組み合わせそれぞれで整数を作って合計

「1から5の数字カード5枚から3枚えらんで3ケタの3の倍数を作る」場合はこうなります。

①1から5の数字カード5枚のうち、和が3の倍数になる3つの数の組み合わせは(1,2,3)(1,3,5)(2,3,4)(3,4,5)の4つです。
②4つの組み合わせはそれぞれ並べ替えで3×2×1=6通りの整数ができるので、6通り×4つの組み合わせ=24通りです。

0が入ると多少面倒くさくなりますが、はじめの2つか3つの組み合わせを試すと後は数えなくても予想ができます。

「0から4の数字カード5枚から3枚えらんで3ケタの3の倍数を作る」場合はこうなります。

①和が3の倍数になる3つの数の組み合わせは(0,1,2)(0,2,4)(1,2,3)(2,3,4)の4つです。
②(1,2,3)(2,3,4)は3数の並べ替えで3×2×1=6通りの整数が作れますが、(0,1,2)(0,2,4)は0があるので2×2×1=4つしか整数を作れません。合計すると6+6+4+4=20通りです。

6の倍数を作る

6の倍数は2の倍数(一の位が偶数)と3の倍数(各位の和が3の倍数)の2つの条件を満たさないといけません。

問題を解く時は2ステップで解きます。
①和が3の倍数になる組み合わせを選ぶ
②選んだ組み合わせそれぞれで偶数を作って合計

「0から4の数字カード5枚から3枚えらんで3ケタの6の倍数を作る」場合はこうなります。

①和が3の倍数になる3つの数の組み合わせは(0,1,2)(0,2,4)(1,2,3)(2,3,4)の4つです。
②4つの組み合わせそれぞれで出来る偶数を数え上げます。(0,1,2)で出来る偶数は「102」「120」「210」の3つ、(0,2,4)で出来る偶数は「204」「240」「402」「420」の4つ、(1,2,3)で出来る偶数は「132」「312」の2つ、(2,3,4)で出来る偶数は「234」「324」「342」「432」の4つ、これらを合計すると3424=13通りです。

いや~面倒くさいですね(汗)

カードの並べ方(小数を作る問題)

小数点のカードが混じっている場合、小数も作れます。

小数点カードを含む並べ替え

4枚のカードを並べ替えて作れる数は?

関連記事「小数の応用問題」中の「小数点のあるカードの並べ替え」を見て下さい。

爽茶そうちゃ
数字カードの問題は以上です。
市販の問題集を利用したい人向けに、記事の一番最後でオススメ問題集を紹介しています。

[作成中]「ゲーム」の問題

サイコロ・コイン・ジャンケンなどの場合の数

サイコロ

2つ以上のサイコロを振って出る目で条件に合う場合の数を数えます。

2つの場合

注意するのは、2つのサイコロの目を区別することです。

例えば「大小2つのサイコロを振って目の和が4になるのは何通りか」の場合、(1,3)(2,2)の2通りではなく、「1,3」「2,2」「3,1」の3通りになります。

6×6表の利用

サイコロ2つの問題では数え上げる以外にも「6×6の表(ひょう)」がオススメです。

((6×6表))

大小2つのサイコロを振って目の和が4になるのは何通りか上の問題の場合はこうなります。

((書き込んだ6×6表))

6表を書くことに慣れれば、数え上げるよりも早く確実に解けますよ。

3つの場合

サイコロの数が3つ以上の場合は、上で見た「数字カードで3の倍数の整数を作る」問題のように、❶まず組み合わせを求めて❷それぞれを並べ替える、という2ステップで解きます。

例えば「大中小3つのサイコロを振って目の和が6になるのは何通りか」の場合
❶和が6になる組み合わせは(1,1,4)(1,2,3)(2,2,2)です。
❷それぞれの組み合わせを大中小に並べ替えると、(1,1,4)からは「1,1,4」「1,4,1」「4,1,1」の3通り、(1,2,3)からは3つの並び替えで6通り、(2,2,2)からは「2,2,2」のみ1通りが出来るので、これを合計して3+6+1=10通りになります。

ゲームの問題

すごろくのように、サイコロの目でコマをすすめるような問題。

かなり複雑な問題もあります。

(作成中)

コイン

サイコロの場合と違って目が2つしかありません。解き方も同じです。

「少なくとも~」

よく出題される形式で注意するものは「少なくとも1枚は表」「少なくとも1枚は裏」というような条件指定です。これらの場合は「全部裏の場合」や「全部表の場合」が何通りか出して使います。

例えば「ABCDE5枚のコインを投げて少なくとも1枚は表が出ているのは何通りか」の場合は「全部裏の場合」を使います。
5枚のコインが全部裏になるのは1通りです。5枚のコインを投げた場合の数は全部で2×2×2×2×2=32通りなので、この32通りから「全部裏」の1通りを引いた31通りが答えになります。

「少なくとも2枚が表」の場合は全ての場合から「全部裏」の場合と「1枚だけ裏」の場合を引けば答えになります。

(作成中)

ジャンケン

2人以上でジャンケンをした勝ち負けの場合の数を求めます。

注意するのは3人のアイコの場合です。「全員が同じ手(全員グー,全員チョキ,全員パー)」の場合以外に「全員が違う手(グーとチョキとパー)」を数え忘れないことです。

(問題作成中)

「道」の問題

経路の問題

3地点以上を結ぶ様々な経路を考えて行き方や往復の仕方を計算する問題で、それぞれの経路の道の数をかけ合わせると答えになります。

基本

「A町→B町→C町と移動する。AB間には道が3つ、BC間には道が2つある場合、全部で何通りの行き方があるか」という問題の場合、3×2=6通りです。

往復の仕方の数

大抵の問題で「行きに使った道は通れない」という制限があります。そういう場合、帰りは道の数が-1されます。

「A町→B町→C町→B町→A町と往復する。AB間には道が3つ、BC間には道が2つある場合、全部で何通りの行き方があるか。ただし行きに通った道は帰りには使えない」という問題の場合、3(行きのAB)×2(行きのBC)×2(帰りのCB)×1(帰りのBA)=12通りです。

複雑な経路の問題

途中で二又に別れたり、別れた先で又別れたりという複雑な経路の場合は、道に名前をつけて樹形図を書くのが確実です。

(問題作成中)

道順の問題

スタート地点から碁盤の目のような町(条坊制の平城京・平安京をイメージ)を通ってゴールまで行く道順が何通りあるか数える問題

基本的な考え方

一番単純な正方形で左下のA地点から右上のB地点まで行く方法が何通りあるか考えます。

図1:

説明書き

Bに行くにはA→P→BとA→Q→Bの2つの経路しかありません。

そしてA→P、P→B、A→Q、Q→B全部道は1つしかありません。ここで、上で見た経路の問題を思い出すと、A→P→Bは1×1=1通り、A→Q→Bも1×1=1通りしか無いことが分かります。

この2つを足してAからBへの行き方は1+1=2通りになります。

図1:

説明書き

今の考え方をもっと単純に分かりやすく書くとこうなります。

まず左上の点Xと右下の点Yへの行き方はそれぞれ1通りしかないので「1」と書きます

図1:

説明書き

この2つの「1」を右と上にBに向けて合わせると1+1=2になります。これがAからBへの行き方の個数になります。

図1:

説明書き

単純な形

今の考え方でもう少し大きな町を移動してみます。

図1:

説明書き

まずAから右と上に真っ直ぐ行った点は全て1通りなので「1」と書きます

図1:

説明書き

次に、さっきの正方形の右上にあたる点へ左と下から1を2つ合流させて1+1=2の「2」を記入します。

図1:

説明書き

さらに、今書いた「2」を1と合流させて1+2=3の「3」を記入します

図1:

説明書き

これを繰り返してBまで数字を記入します

図1:

説明書き

35通りと分かりました。

ゲーム感覚で面白く解けると思います。

不規則な形

一部が欠けたり…

図1:

説明書き

一部の区画が大きかったり…

図1:

説明書き

上のような不規則な形でも同じルールで出せます。

試しにやってみましょう(答えだけ示します)。

欠け形

一部が欠けた条坊制
問題
解答

PとQへの行き方が増えない
答えは33通り

不均等形

不均等な条坊制
問題
解答

PQRへの行き方が増えない
答えは22通り

中継地の指定

今まではAからBに行く全ての方法を出していましたが、「Cを通って行く方法を求めなさい」というような指定がある場合です。

図1:

Cにコンビニでもある感じ?

ここでも経路の問題と同じ考えを使えば解けますね。A→Cの行き方とC→Bの行き方を求めて、かけ合わせれば良いのです。

図2:

A→C:6、C→B:3なので
A→C→B:6×3=18通り

A→Cが6通り、C→Bが3通りなので、A→C→Bは6×3=18通りです

通行禁止地点

例えば、「AからBまで図のXを通らずに行く方法は何通りか」という場合です。

図1:

Xは通行禁止

上の方の「コイン」の問題(「少なくとも1枚が表」)で使った「全部の場合の数ー反対の条件の場合の数」の考え方を使います。

つまり、全部の場合からXを通る場合の数を引いて答えを出すのです。

Xを通る行き方はA→C→D→Bになります。

そしてA→Cは6通り(図1)、P→Cは1通り、D→Bは2通り(図2)なので、A→C→D→Bは6×1×2=12通りと分かります。

Xを通る場合の数

A→C→D→Bは6×1×2=12通り

全部の場合の数は35通りなので、35ー12=23通りが答えになります。

全体像
全部の場合
35通り
ダメな場合

12通り
35-12=23通り

塗り分け問題

塗り分け問題の解き方

大きく2つの場合に分ける

旗や地図を2色3色で塗り分ける場合の数を出す問題。今までの知識を総動員して解く問題です。

考えることが多くて頭がゴチャゴチャするので、考える手順を決めておくと安心して解けます。

塗り分けのルール

大きく2つの場合に分けて考えます

全区画をちがう色で塗り分ける場合

区画数と準備した色数が等しい

まず、旗の区画(色を塗る場所)と準備した色の数が全く同じ場合、例えば「図のような旗を青,白,赤の3色で塗り分ける方法は全部で何通りあるか」を考えましょう。

三色旗

三つの区画に分かれた旗

これは3つの色を並びかえる場合の数(「全部の並べかえ」)と同じですね。

全部並べかえ

N個全部を並べかえる
N×(N-1)×(N-2)×…×1 通り

(例1)5個全部を並べかえる
5×4×3×2×1=120 通り

この問題ではN=3なので、3×2×1=6通りになります。

三区画の旗を3色で塗り分ける

3色全部の並び替えなので
3 x 2 x 1 =6 通り
色の数が多い場合

色の数が区画の数より多い場合、例えば「図のような旗を青,白、赤,黒のうち3色で塗り分ける方法は全部で何通りあるか」を考えます。

三色旗

三つの区画に分かれた旗

4色のうち3色を選んで塗るので、これは4個から3個を選んで並びかえることになります。

選んで並べかえ

N個からA個えらんで並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1) 通り

(例1)5個から2個えらんで並べかえる
w
5×4=60 通り

(例1)7個から3個えらんで並べかえる
w ② ③
7×5=210 通り

この問題はN=4,A=3なので、4×3×2=24通りです。

同じ色で塗る区画がある場合

今までは区画を全部違う色で塗っていましたが、いくつかの区画を同じ色で塗らないといけない場合、例えば「図のような旗を赤・青・緑・紫のうち3色で塗り分ける方法は全部で何通りあるか」を考えます。

同じ色で塗る区画がある例

4区画の旗を3色で塗るので、
2区画は同じ色で塗ることになる。

この場合は2段階で処理をするのがポイントです。

まず、4つの区画を3色で塗るので同じ色で塗る区画をどこにするか(配色パターン)が何通りあるか考えます。

この旗の場合は「上下を同じ色で塗り左右は別の色にする」のと「左右を同じ色で塗り上下は別の色にする」の2通りあります。

塗り分けパターン

同じ色にする区画の選び方が2通りある

次に準備した4色から使う3色を決めて塗り分けます。これは4個から3個えらんで並べかえなので、4×3×2=24通りです。

配色パターンが2通りで塗り分けが24通りなので、合計で2×24=48通りになります。

これで塗り分け問題の解き方が分かってきましたね。色数が少ない場合2ステップになります。

地図や旗の塗り分け問題
  1. 同じ色で塗る区画がある場合は、塗り分けパターン(配色パターン)を決める
  2. 実際に塗り分ける
    (「選んで並べかえ」か「全部並べかえ」)
  3. ➀と②の数をかけ合わせる

では、このルールを使って旗や地図を塗り分けていきましょう

2区画の旗や地図

図1:

二色旗の例

2区画の場合、同じ色で塗る区画はないので、単純な並べ方の計算一発で答えが出る

2色で塗り分け

例えば、赤と白の2色で並べ変える場合、2個の全部並べ替えなので、2×1=2通り

二色旗を二色で塗り分け

区画に名前をつけて項目にする
3色以上で塗り分け

3色の場合、3色から2色選んで並べ替えなので、3×2=6通り

4色の場合、4色から2色選んで並べ替えなので、4×3=通り

3区画の旗や地図

図1:

説明書き

2色で塗る(同じ色で塗る区画がある)場合は、2段階の計算になる。

川の字形

上の例で出したいわゆる「三色旗」

与えられた3色で塗る

例えば、赤・青・白の3色で塗る場合は、基本ルールの「全部並べ替え」なので3x2x1=6通り

三区画の旗を3色で塗り分ける

3色全部の並び替えなので
3 x 2 x 1 =6 通り
多色から3色選んで塗る

例えば、赤・青・白・黒の4色から3色選んで塗る場合は、基本ルールの「選んで並べ替え」で4x3x2=24通り

与えられた2色で塗る

例えば「赤」「白」二色で塗る場合

区画の数(3)より少ない色(2)で塗るので、同じ色で塗る区画があり、2段階の計算をしないといけない。

①まず同じ色で塗る区画のデザインが何通りあるか考えます。この場合は1通りしかありません

三色旗(川)の同色区画

アとウを同色にする
というパターンしかない

②赤と白2色の並べ替えは2×1=2通り

➂ ①と②を掛け合わせて1x2=2通りと分かります

三色旗(川)を2色で塗る

2通り
多色から2色選んで塗る

この場合も2段階の計算をする

例えば「赤」「青」「白」3色から2色選んで塗る場合
①まず同じ色で塗る区画のデザインは1通り

三色旗の同色区画

このパターンしかない

②さらに3色から2色えらんで並べ替えは3×2=6通り

①と②をかけ合わせて1x6=6通り

4色から2色選んで塗る場合は、①同色にする区画は同じく1通り、②4色から2色を選んで並べ替えに4×3=12通り、➂掛け合わせて1x12=12通り

5色から2色選んで塗る場合は、1x(5×4)=20通り

Tの字形

((画像))

Tの字のような旗は3色でないと塗り分けられないので、同じ色で塗る区画を考えることはないのでラクチンです

多色から3色選んで塗る

例えば4色から3色選んで塗る場合は、基本ルールの「選んで並べ替え」で4x3x2=24通り

5色から3色選んで塗る場合は5x4x3=60通り

6色から3色選んで塗る場合は6x5x4=120通り

与えられた3色で塗る

基本ルールの「全部並べかえ」で3x2x1=6通り

変則形

2色で塗り分けられる(同じ色で塗る区画がある)場合は「川」と同じ計算に、3色必要な場合は「T」と同じ計算になる。

(例1)

例えば、このような旗は2色では塗り分けられないので「Tの字」と同じ計算になります。

(例2)

このような旗は2色で塗り分けられるので「川の字」と同じ計算になります。

 

ここから先も考え方は同じです。区画が増えると「同じ色で塗る区画のデザイン」が増えるのが面倒くさいです…

4区画の旗や地図

同色区画のパターン数が増えて複雑になってきます

十字形

十字で分けたような旗。

四色(十字)旗

区画に名前を付けておく
4色で塗る

4つ全部並べかえなので4x3x2x1=24通り

多色から4色選んで塗る

例えば5色から4色選んで塗るときは、5個から4個選んで並べかえと同じなので、5x4x3x2=120通り

3色で塗る

区画(4)より塗る色(3)が少ないので2段階で解く

①同色にする区画のパターンは2つ

四色旗を3色で塗るときの
同色区画のパターン
図a

2パターンある

②3色を並べかえるので、3x2x1=6通り

➂ ①と②をかけ合わせて2×6=12通り

多色から3色選んで塗る

例えば5色から3色選んで塗り分ける場合

①同色区画のパターンは2通り②5色から3色えらぶのに5x4x3=60通り➂かけ合わせて2×60=120通り

2色で塗る

区画数より塗色数が少ないので2段階で解く

①同色区画のパターンは1通り

四色旗を2色で塗るときの
同色区画のパターン
図a

1パターンしかない

②2色の並べかえは2×1=2通り

➂掛け合わせて1×2=2通り

 

多色から2色選んで塗る

例えば5色から2色選んで塗り分ける場合

①同色区画のパターンは1通り②5色から2色えらんで並べかえに5×4=20通り➂掛け合わせて1×20=20通り

川形

 

川+α形

 

変則形

 

5区画以上の旗や地図

同色パターンがさらに増えて面倒になります

図1:

説明書き

 

確認テスト(2020.5.9作成中)

分ける問題

人を部屋(組)に分ける、物を山分けするなど

2つに分ける

不均等に分ける場合

単純な選び方の問題になる

例えば、5人の生徒ABCDEを2人部屋と3人部屋に分ける場合。5人から2人部屋に行く生徒2人を選べばよいので、5個から2個のえらび方になる。

4+3+2+1=10通り。または5×42×1=10通り

均等に分ける場合

この場合、単純な選び方だと同じ分け方を2回数えてしまっている。

例えば4人の生徒ABCDを2部屋に分ける場合、(A,B)を選ぶ場合と(C,D)を選ぶ場合は変わらないはずなのに2通りと数えているので正しい答えの2倍になっている。

そこで、(4個から2個選ぶ場合の数)÷2=(3+2+1)÷2=3通り が答えになる。

 

3つに分ける

完全に不均等に分ける場合

単純にえらび方を積にすればOK

例えば6人の生徒ABCDEFを3人部屋、2人部屋、1人部屋に分ける場合。一人部屋に泊まる生徒のえらび方が6通り、二人部屋に泊まる生徒の選び方が残り5人から2人を選ぶので 4+3+2+1=10通り、残りは自動で3人部屋に泊まるので1通り。この3つの場合の数をかけ合わせて(積の法則)、6×10×1=60通り

一部不均等に分ける場合

単純なえらび方の積だと2倍多く数えてしまう

例えば5人の生徒ABCDEを2人部屋、2人部屋、1人部屋に分ける場合。一人部屋に泊まる生徒のえらび方が5通り、二人部屋に泊まる生徒の選び方が4人から2人を選ぶので 3+2+1=6通り、残りは自動でもう1つの二人部屋に泊まるので1通り…だが、4人から2人を選ぶ時に同じ選び方を2回数えている(例えばABCDの(A,B)と(C,D))ので、選び方の積を÷2しないと正しい答えにならないので、5×6×1÷2=15通り

均等に選ぶ場合

単純なえらび方の積だと6倍も多く数えてしまう

例えば6人の生徒ABCDEFを2人部屋、2人部屋、2人部屋に分ける場合。えらび方の積は、6人から2人選ぶ(15通り)×4人から2人えらぶ(6通り)×2人から2人えらぶ(1通り)になるが、これだと同じ分け方例えば(A,B)(C,D)(E,F)を6通り数えてしまっている。

(A,B)(C,D)(E,F)、(A,B)(E,F)(C,D)、(C,D)(A,B)(E,F)、(C,D)(E,F)(A,B)、(E,F)(A,B)(C,D)、(E,F)(C,D)(A,B)

よって、えらび方の積を÷6しないと正しい答えにならないので、15×6×1÷6=15通り になる。

金額の問題(作成中)

お金が好きな人は多いでしょう♪

決まった金額を作る問題

例えばこんな問題です。

 

作れる金額を求める問題

選んで使う場合

 

全て使う場合

例えばこんな問題です。

 

試合の数

多くのチームで試合をして順位を決めるには、大きく分けて2つの形式がある。

リーグ戦(総当り戦)…サッカーのワールドカップの予選
トーナメント戦(勝ち抜き戦)…ワールドカップの決勝大会

リーグ戦

Nチームでのリーグ戦(総当り戦)の試合数=N個から2個のえらび方

5チームのリーグ戦なら、5個から2個のえらび方
→4+3+2+1=10 または 5C2=5×42×1=10試合

トーナメント戦

Nチームでのトーナメント戦(勝ち抜き)の試合数=N-1

1試合するごとに1チーム消えて、これを残り1チームまで行うから

16チームでのトーナメント戦なら、16-1=15試合

試合数を求める

●A人(チーム)のリーグ戦
(A人から2人を選ぶ場合の数)
→(A-1)+(A-2)+…+1 または AC2=A×(A-1)2×1

(例)5チームのリーグ戦
→4+3+2+1=10 または 5C2=5×42×1=10試合

●A人のトーナメント戦
(1試合で1人が消える)
→ (A-1)試合

(例)16人のトーナメント戦→16-1=15試合

問題を解いてみましょう

X-1:試合数を求める

あるサッカー大会では予選と本戦で優勝を決める。
予選はリーグ戦で、ABC地区では4チームから2チームが、D地区では6チームから3チームが選ばれる。
本戦は各地区の代表がトーナメントで戦う。優勝が決まるまで全部で何試合あるか(引き分けや再試合は無かったとする)
ヒント

あせらず予選の試合数と決勝の試合数を出しましょう♪

解説

ABC地区の予選リーグは、4チームから2チームの選び方で3+2+1=6試合ずつ。D地区では6チームから2チームの選び方で5+4+3+2+1=15試合。予選の合計試合数は6×3+15=33試合。

決勝トーナメントは2+2+2+3=9チームでのトーナメントなので、9-1=8試合

合計して33+8=41試合

41試合
試合数を求めるは以上です♪

確からしさ(確率)

確からしさとは

「全部の場合」に対する「条件を満たす場合」の割合を「確からしさ」と言う

例えば、サイコロを1個振った時に偶数の目が出る確からしさ(確率)

サイコロを1個振るとき場合の数は全部で「1」「2」「3」「4」「5」「6」の6通りあります。

そのうち、問題文の条件「偶数」を満たす場合の数は「2」「4」「6」の3通りです。

したがって、サイコロを1個降った時に偶数の目が出る確からしさは36約分して12になります。(百分率にすると12×100=50%です。)

このように「確からしさ」とは「全部の場合の数」を分母に、「条件を満たす場合の数」を分子にした分数になります。

確からしさ

~全部の場合に対する条件を満たす場合の割合
=条件を満たす場合の数全部の場合の数

(例)サイコロを1個ふった時に偶数の目が出る確からしさ
→全部の場合は6通り、条件を満たすのは3通り
→確からしさは36=12

問題を解いてみましょう

X-1:試合数を求める

コインを2枚同時に投げた場合、次の問いに答えよ。
裏が2枚出る確からしさは?
解説

コインを3枚投げて出る目の全部の場合の数は(表、表)(表、裏)(裏、表)(裏、裏)の4通り

「確からしさ」では「えらび方」と違って(表、裏)と(裏、表)を別々に数えます

一方、条件を満たすのは(裏、裏)の1通り

よって確からしさは14

14

少なくとも1枚表が出る確からしさは?
ヒント

(ここにヒントが入ります)

解説

少なくとも1枚表が出るのは(表、表)(表、裏)(裏、表)の3通り

よって確からしさは34

34
別解

「少なくとも」と言われたら、全部の場合からダメな場合を引いても同じです。

この場合、全部の場合4通りからダメな場合(裏、裏)の1通りを引いても 4-1=3通り と同じになりました♪

このやり方だと、全部の場合の数が多いときがラクに答えが出せるのでオススメです

次はコインを増やしましょう

X-1:確からしさ(コイン)

コインを3枚同時に投げた場合、次の問いに答えよ。
表が2枚出る確からしさは?
解説

全部の場合は、(数え上げても良いですが)計算で出すとコインAが表と裏の2通りxコインBも2通りxCも2通り=8通りになる

条件を満たすのは(表、表、裏)(表、裏、表)(裏、表、表)の3通り

よって確からしさは38になる

38
少なくとも1枚表が出る確からしさは?
ヒント

「少なくとも」と言われたら?

解説

「条件を満たす場合」を「全部の場合」から「ダメな場合」を引いて求める。

「ダメな場合」は全部裏の(裏、裏、裏)の1通りなので、条件を満たすのは8-1=7通り

よって確からしさは78になる

78
表が出ているとき、裏も出ている確からしさは?
ヒント

問題文の前半の条件で「全部の場合」が減ります

解説

「表が出ているとき」なので全部裏の1通りを除いた7通りが「全部の場合」になる

さらに「裏も出ている」という条件は「少なくとも1枚は裏」と同じなので、全部の場合7通りからダメな場合(全部表)1通りを引いた6通りが「条件を満たす場合」になる

「全部の場合」が7,「条件を満たす場合」が6なので、確からしさは67になる

67
「確からしさ」の問題は以上です。

その他の問題

 

 

場合の数のまとめは以上です!

オススメ教材

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●小6受験生には「算数ベストチェック」(日能研)が薄くて良いですが、詳しい説明が欲しい人には「中学入試 塾技100(算数)」がオススメ(→教材の比較ページ)

お知らせ

2022年春

解答解説にミスがございました。大変失礼致しました!コチラです。
誤:「15×6×1÷2=45通り」→正:「15×6×1÷6=15通り」

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小学生の歴史学習ために年表教材を作りました。「歴史年表をダウンロード」を御覧ください。

中学受験でお悩みの方へ

そうちゃ
いつもお子様のためにがんばっていただき、本当にお疲れさまです

受験に関する悩みはつきませんね。「中学受験と高校受験とどちらがいいの?」「塾の選び方は?」「途中から塾に入っても大丈夫?」「塾の成績・クラスが下がった…」「志望校の過去問が出来ない…」など

様々なお悩みへのアドバイスを記事にまとめたので参考にして下さい。

自分だけで悩んでいると煮詰まってしまい、事態を改善できないかもしないこともあるでしょう…

そんな時は、講師経験20年の「そうちゃ」に相談してみませんか?対面/オンラインの授業/学習相談を受け付けているので、ご利用下さい。

最後まで読んでいただきありがとうございました♪
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