中学受験】場合の数(えらび方、ならべ方、数字カード、道順、色分け等)

「場合の数って何?」という低学年の方から「場合の数が苦手!」という中学受験生の方まで、まかせて下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」がネット上で一番分かりやすく説明します!

「場合の数」は本当にいろんなタイプの問題があるので、バラバラに覚えるのは難しいです。まずは「基本ルール」を理解して公式を使えるようにしましょう。それから「数字カード」などのタイプ別問題がどの「基本ルール」を使うのか分かるように訓練する、というのが確実な学び方です。

場合の数の基本ルール

場合の数え方

●えらび方(組み合わせ)
(例)30人のクラスで掃除当番を3人決める

●ならべ方(順列)
(例)〃リレーの選手を走る順に3人決める

「えらび方」

何種類かの物から選ぶパターンを数えます。

N個から1個選ぶ

当然、N通りあります。

(例)4種類の味のアイスから1種類選ぶ場合は4通りです。

N個から2個選ぶ

例えば「イチゴ・マンゴー・チョコ・バニラ4種類の味のアイスから2種類選ぶ場合の数はいくつ?」を考えます。

2個づつの「組み合わせ」を作っていきますが、この時「左→右」の順を必ず守って下さい。「イチゴ&マンゴー」はOKですが「マンゴー&イチゴ」はNGです。

これは、同じ組み合わせを2回数えてしまわないための工夫です。(「イチゴ&マンゴー」と「マンゴー&イチゴ」は同じ組み合わせなので2回数えるのは間違い)

図を書いて組み合わせを数えると、3+2+1=6通りと分かります。

この組み合わせの作り方でOKなのですが、よく使う図は下のような図で「樹形図」と言います。内容は上の図と全く同じです。

こちらの方が書きやすいですね。このような「だんだん小さくなっていくカタマリが横に並んでいる」図を「えらび方の樹形図」といいます。

今度は「イチゴ・マンゴー・チョコ・バニラ・ミント5種類から2個えらぶ場合」を考えると

((樹形図))

4+3+2+1=10通り になります。

公式化

4種類から2種類選ぶと3+2+1=6通り
5種類から2種類選ぶと4+3+2+1=10通り なので

N個から2個選ぶ場合の数は、(N-1)+(N-2)+…+1 になると分かります。

2個えらぶ場合の数

N個から2個選ぶ
→(N-1)+(N-2)+…+1 通り

(例1)5種類から2種類選ぶ
4+3+2+1=10通り

(例2)10種類から2種類選ぶ
9+8+7+…+3+2+1=45通り

N個から3個以上選ぶ

裏技で出す

例えば5個から3個選んで下さいと言われた時に、選ばない方の2個を指差してもOKですね?

このように、N個から(N-2)個選ぶ場合はN個から2個選ぶのと同じになります。

ですから、10個から8個選ぶ場合も、10個から2個選べばOKです。ちょっと面倒くさいですが、9+8+7+…+1で出せますね。

公式で出す

3個に限らず、選ぶ時にいつでも使える便利な公式です(公立では高校に習います)

えらび方の公式

N個から2個選ぶ→N×(N-1)2 × 1
(例)5個から2個選ぶ→5 × 42 × 1

N個から3個選ぶ→N×(N-1)×(N-2)3 × 2 × 1
(例)6個から3個選ぶ→6 × 5 × 43 × 2 × 1

N個から4個選ぶ→N×(N-1)×(N-2)×(N-3)× 3 × 2 × 1
(例)10個から4個選ぶ→10× 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 1

この公式は受験学年(6年生)までに覚えれば大丈夫です。

もっと詳しい説明を見たい、いろんな問題を解きたい人は参考記事「場合の数の基本ルール」内の「えらび方」を見て下さい。

ならべ方

いくつかの物の順番を変える場合の数を求めます

全部並べかえる

例えば「『コ』『ナ』『ミ』の3文字を並びかえて名前を考えると何通りあるか?」を考えます。

1文字目に使える文字は「コ」「ナ」「ミ」の3通り、1文字目に「コ」を選んだ場合2文字目は「ナ」「ミ」の2通り、1文字目に「コ」2文字目に「ナ」を選んだ場合3文字目は「ミ」の1通りになります。ここまでを図にするとこうなります

続けて最後まで書くと6通りと分かります

これを「並べ方の樹形図」と言います。上で書いた「えらび方の樹形図」と違って一つの大きな図になっているのが特徴です。

図1a

「ならべ方の樹形図」は
大きな1つの樹
図1b

「えらび方の樹形図」は
だんだん小さくなっていく
樹がいくつか並んでいる

「並べ方の樹形図」を書くときは、項目(この場合は「1文字目」等)を必ず書きましょう

次に「横に並んだ4つのイスにABCD3人が座る場合の並び方は何通りあるか」考えます。イスにWXYZと名前をつけて、図を書いて調べるとこうなります。

((樹形図))

全部で24通りと分かりました。

数が多くなってくると全部書くのが難しくなるので、初めの方だけ丁寧に書き、同じ形が繰り返されるところは省略して数だけ書くと良いです。

図を書かずに計算で出すことも出来ます。

Wに座る人はABCDの4通り、Xに座る人はWに座った誰か以外の3人で3通り、Yに座る人はWXに座った二人以外の2人で2通り、Zに座るのは残った一人で1通りです。

いま出した「4通り」「3通り」「2通り」「1通り」をどうすれば樹形図で調べた答えである「24」通りになるでしょうか?

4×3×2×1=24 でかけ算ですね。つまりN個のもの全部を並べる場合の数は、N×(N-1)×(N-2)×…×1 で求めることができます。

全部並べかえ

N個全部を並べかえる
N×(N-1)×(N-2)×…×1 通り

(例1)5個全部を並べかえる
5×4×3×2×1=120 通り

選んで並べかえる

例えば、6人の中から3人選んで3つのイスXYZに座ってもらいます。

Xに座る人は6人の誰かで6通り、Yに座る人はXに座った誰か以外の5人で5通り、Zに座るのはXYに座った2人以外の4人で4通りです。

この数字をかけ算した 6×5×4=120通り が答えになります。

((樹形図))

このように、N個からA個選ぶ場合の数はN×(N-1)×…×(N-A+1) になります。(この形を覚える必要はありません。数字が入った例を覚えましょう)

選んで並べかえ

N個からA個えらんで並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1) 通り

(例1)5個から2個えらんで並べかえる
w
5×4=60 通り

(例1)7個から3個えらんで並べかえる
w ② ③
7×5=210 通り

もっと詳しい説明を見たい、いろんな問題を解きたい人は参考記事「場合の数の基本ルール」内の「ならべ方」を見て下さい。

丸く並べる(円順列)

丸く並べる場合

まっすぐ並べる場合の式を、並べる個数で割る

全部を丸く並べ替え

円形のテーブルに座るように丸く並ぶ場合は注意が必要です。例えば3人が丸く並ぶ場合、下のような3つの並び方は回転しているだけで「●→○→⦿」という同じ並び方です(現実では「この席だとテレビが見えない」とか「この席だとエアコンの風が冷たい」とかで違いがありますw)。

図1:3人が丸く並ぶ

同じ並び(●→○→⦿)が3つできてしまう。

つまり円形に3個並べると同じ形が3個できてしまうのです。そこで、3個の並べ方の公式「3×2×1」をさらに3で割った「3×2×13」を計算します。この式は約分すると「2×1」になり2通りが答えになります。

4個を丸く並べると「4×3×2×14=3×2×1」、5個を丸く並べると「5×4×3×2×15=4×3×2×1」になります。公式にすると…

全部を丸く並べかえ

N個全部を丸く並べかえる
N×(N-1)×(N-2)×…×1 ÷N 通り
→(N-1)×(N-2)×…×1 通り

(例1)5個全部を並べかえる
4×3×2×1=24 通り

えらんで丸く並べ替え

全部ではなく選んで並べ替える場合も最後に割り算をするのは同じです。例えば5人から3人選んで丸テーブルに座ってもらう場合、5人から3人選ぶ並び替え「5×4×3」を3で割るので「5×4」で20通りになります。

これは公式にしづらいですが…こんな感じですね。

選んで並べかえ

N個からA個えらんで丸く並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1)÷A 通り

(例1)5個から3個えらんで丸く並べかえる
w ② ③
5×3=20 通り

(例1)7個から3個えらんで丸く並べかえる
w ② ③
7×5÷3=70 通り

数珠順列

また、裏返したものも同じと数える(数珠順列)場合、重複カウントが2倍になるので、円順列さらに÷2します

数珠順列の場合

r=3の時、重複が6通り

確認テスト(タッチで解答表示)

7人から4人選んで丸テーブルに座らせる
→( 7P4÷4=7×6×5×44=7×6×5=210通り )

確認テスト(タッチで解答表示)

7人全員を丸テーブルに座らせる
→( (7-1)!=6×5×4×3×2×1=720通り )

応用問題(場所の指定)

応用テスト(タッチで解答表示)

ABCDEFの6人が円に並ぶ場合、AとBが向かい合うのは何通りあるか
→AとBを向かいに座らせる(AとBを固定)のは( 1 )通り
→残った4席にCDEFを座らせるのは( 4!=24通り(円順列ではない) )
→答えは( 1×24=24通り )

応用テスト(タッチで解答表示)

男子ABC女子XYZ合計6人が円に並ぶ場合、男女が交互に並ぶのは何通りあるか?
→男子ABC3人を円に並べるのは( (3-1)!=2通り )
→次にそのスキマ3箇所に女子を並べるのは( (円順列ではない) 3!=6通り )
→答えは( 2×6=12通り )

場合の数同士の関係(和と積の法則)

問題を解いていて場合の数が2つ出た場合に、その2つの数字をどうすれば答えになるのか迷うことがあります。

2つの場合の数の関係を考えて、「そして」や「かつ」ならかけ算(積)にします。上で出てきたならべ方がこちらでした。2つの場合の数が「あるいは」や「または」なら足し算(和)にします。

たとえば、長ズボンが3通り、半ズボンが2通りある場合の服装の場合の数を考えると、長ズボン「または」半ズボンを履きますね?よって和:3+2=5通りになります。

一方、長ズボンが3種類・くつが2種類の場合は、長ズボン「そして」くつを履きますね?よって服装の場合の数は積:3×2=6通りになります。

樹形図を想像しても良いでしょう。

最初の場合はこういう図になります。

((図))

項目が(ズボン)一つしかありません。

二番目の場合はこういう図になります。項目が(ズボン)と(くつ)と二つ並んでいます。

((図))

このような場合は積(かけ算)になると覚えても良いでしょう。

爽茶そうちゃ
場合の数の基本ルールは以上です。
市販の問題集を利用したい人向けに、記事の一番最後でオススメ問題集を紹介しています。

色玉の問題

色のついた玉をあれこれする問題。基本ルールを使う練習に良いです。

色玉のえらび方

 

色玉のならべ方

 

 

爽茶そうちゃ
色玉の問題は以上です。
市販の問題集を利用したい人向けに、記事の一番最後でオススメ問題集を紹介しています。

図形の問題

図形のえらび方

点を選んで図形を作る問題

 

線を選んで三角形を作る問題

 

図形のならべ方

 

 

図形の数え方

 

 

爽茶そうちゃ
図形と場合の数は以上です。
市販の問題集を利用したい人向けに、記事の一番最後でオススメ問題集を紹介しています。

数字カードの問題

数字が書かれたカードをあれこれする問題

カードのえらび方

和指定

「1から9まで書かれた数字カード9枚から和が7になるようなカードを2枚選べ」など

規則正しく数え上げていくと、(1,6)(2,5)(3,4)の3通り

「1から5まで書かれた数字カード9枚から和が3の倍数になるものを3枚選ぶ」だと(1,2,3)(1,3,5)(2,3,4)の3通り。これは「整数を作る問題」の「3の倍数を作る問題」で使います。

積指定

「1から6まで書かれた数字カードから積が6の倍数になるようなカードを2枚選べ」など

これも規則正しく数えていくと(1,6)(2,3)(2,6)(3,4)(3,6)(4,6)(5,6)の7通り。

「1から6まで書かれた数字カードから積が奇数になるようなカードを2枚選べ」のように偶数・奇数が条件の場合、かけ算の中に一つでも偶数が交じると答えも偶数になるのに注意します。

よって積が奇数になるには「1」「3」「5」だけでかけ算を作らないといけないので(1,3)(1,5)(3,5)の3通りと分かります。

「積が偶数になる」という条件の場合は、6枚のカードから2枚えらんで出来る組み合わせの合計(5+4+3+2+1=)15通りから奇数だけでできる3通りを引いて12通りと求めます。

カードのならべ方(整数を作る問題)

数字カードを選んで並べ替えることで整数を作ります。「1」と「3」を選んでも、順番によって「31」「13」二種類の整数が出来ます。

単純なパターン

「1から5の数字カードから3枚えらんで3ケタの整数を作る」などの問題は5個から3個えらんで並びかえるだけなので「選んで並べかえる公式」そのままで5×4×3=60 通りと解けますが、樹形図も書いてみます。

((樹形図))

整数を作る時は(百)(十)(一)とくらいを項目として必ず書きましょう。

「0」カードがある場合

「0から5の数字カードから3枚えらんで3ケタの整数を作る」のように「0」がある場合は要注意です。

百の位には「0」が来れないので5通り、十の位には百の位で使った数以外の5通り…と考えると5×5×4=100通りと分かりますが、慣れるまでは樹形図を書いて確かめましょう。

((樹形図))

ダブりのカードがある場合

同じ数のカードが2枚以上ある場合は単純な計算で求めるのは難しいです。サッと樹形図を書いて調べましょう。

「1,1,2,3,4」から3枚選んで3ケタの整数を作る場合はこうなります。

((樹形図))

これに「0」のカードが入ってくるとややこしくなるので落ち着いて調べましょう。

偶数・奇数を作る

偶数か奇数かは一の位で決まるので、まず一の位から考えます。

例えば「1から5の数字カード5枚から3枚えらんで3ケタの偶数を作る」場合は、まず一の位に来るのは2か4の2通り、百の位は一の位に使った数以外の4通り、十の位にくるのは残りの3通りなので2×4×3=24通りです。

この場合も「0」のカードが入ると面倒くさくなります。樹形図を書いて調べましょう。樹形図の項目は(百)(十)(一)ではなく(一)(百)(十)とします。

「0から5の数字カード6枚から3枚えらんで3ケタの偶数を作る」場合はこうなります。

((樹形図))

中学受験生は4年生のうちに書けるようにしておきましょう。

3の倍数を作る

3の倍数になる条件は「各位の和が3の倍数になる」なので、数の並べ替えをする前に「各位の和が3の倍数になる」組み合わせを選ばないといけません。

従って2ステップで解くことになります。
①和が3の倍数になる組み合わせを選ぶ
②選んだ組み合わせそれぞれで整数を作って合計

「1から5の数字カード5枚から3枚えらんで3ケタの3の倍数を作る」場合はこうなります。

①1から5の数字カード5枚のうち、和が3の倍数になる3つの数の組み合わせは(1,2,3)(1,3,5)(2,3,4)(3,4,5)の4つです。
②4つの組み合わせはそれぞれ並べ替えで3×2×1=6通りの整数ができるので、6通り×4つの組み合わせ=24通りです。

0が入ると多少面倒くさくなりますが、はじめの2つか3つの組み合わせを試すと後は数えなくても予想ができます。

「0から4の数字カード5枚から3枚えらんで3ケタの3の倍数を作る」場合はこうなります。

①和が3の倍数になる3つの数の組み合わせは(0,1,2)(0,2,4)(1,2,3)(2,3,4)の4つです。
②(1,2,3)(2,3,4)は3数の並べ替えで3×2×1=6通りの整数が作れますが、(0,1,2)(0,2,4)は0があるので2×2×1=4つしか整数を作れません。合計すると6+6+4+4=20通りです。

6の倍数を作る

6の倍数は2の倍数(一の位が偶数)と3の倍数(各位の和が3の倍数)の2つの条件を満たさないといけません。

問題を解く時は2ステップで解きます。
①和が3の倍数になる組み合わせを選ぶ
②選んだ組み合わせそれぞれで偶数を作って合計

「0から4の数字カード5枚から3枚えらんで3ケタの6の倍数を作る」場合はこうなります。

①和が3の倍数になる3つの数の組み合わせは(0,1,2)(0,2,4)(1,2,3)(2,3,4)の4つです。
②4つの組み合わせそれぞれで出来る偶数を数え上げます。(0,1,2)で出来る偶数は「102」「120」「210」の3つ、(0,2,4)で出来る偶数は「204」「240」「402」「420」の4つ、(1,2,3)で出来る偶数は「132」「312」の2つ、(2,3,4)で出来る偶数は「234」「324」「342」「432」の4つ、これらを合計すると3424=13通りです。

いや~面倒くさいですね(汗)

 

爽茶そうちゃ
数字カードの問題は以上です。
市販の問題集を利用したい人向けに、記事の一番最後でオススメ問題集を紹介しています。

「ゲーム」の問題

サイコロ・コイン・ジャンケンなどの場合の数

サイコロ

2つ以上のサイコロを振って出る目で条件に合う場合の数を数えます。

2つの場合

注意するのは、2つのサイコロの目を区別することです。

例えば「大小2つのサイコロを振って目の和が4になるのは何通りか」の場合、(1,3)(2,2)の2通りではなく、「1,3」「2,2」「3,1」の3通りになります。

6×6表の利用

サイコロ2つの問題では数え上げる以外にも「6×6の表(ひょう)」がオススメです。

((6×6表))

大小2つのサイコロを振って目の和が4になるのは何通りか上の問題の場合はこうなります。

((書き込んだ6×6表))

6表を書くことに慣れれば、数え上げるよりも早く確実に解けますよ。

3つの場合

サイコロの数が3つ以上の場合は、上で見た「数字カードで3の倍数の整数を作る」問題のように、❶まず組み合わせを求めて❷それぞれを並べ替える、という2ステップで解きます。

例えば「大中小3つのサイコロを振って目の和が6になるのは何通りか」の場合
❶和が6になる組み合わせは(1,1,4)(1,2,3)(2,2,2)です。
❷それぞれの組み合わせを大中小に並べ替えると、(1,1,4)からは「1,1,4」「1,4,1」「4,1,1」の3通り、(1,2,3)からは3つの並び替えで6通り、(2,2,2)からは「2,2,2」のみ1通りが出来るので、これを合計して3+6+1=10通りになります。

ゲームの問題

すごろくのように、サイコロの目でコマをすすめるような問題。

かなり複雑な問題もあります。

(作成中)

コイン

サイコロの場合と違って目が2つしかありません。解き方も同じです。

「少なくとも~」

よく出題される形式で注意するものは「少なくとも1枚は表」「少なくとも1枚は裏」というような条件指定です。これらの場合は「全部裏の場合」や「全部表の場合」が何通りか出して使います。

例えば「ABCDE5枚のコインを投げて少なくとも1枚は表が出ているのは何通りか」の場合は「全部裏の場合」を使います。
5枚のコインが全部裏になるのは1通りです。5枚のコインを投げた場合の数は全部で2×2×2×2×2=32通りなので、この32通りから「全部裏」の1通りを引いた31通りが答えになります。

「少なくとも2枚が表」の場合は全ての場合から「全部裏」の場合と「1枚だけ裏」の場合を引けば答えになります。

(作成中)

ジャンケン

2人以上でジャンケンをした勝ち負けの場合の数を求めます。

注意するのは3人のアイコの場合です。「全員が同じ手(全員グー,全員チョキ,全員パー)」の場合以外に「全員が違う手(グーとチョキとパー)」を数え忘れないことです。

(問題作成中)

「道」の問題

経路の問題

3地点以上を結ぶ様々な経路を考えて行き方や往復の仕方を計算する問題で、それぞれの経路の道の数をかけ合わせると答えになります。

基本

「A町→B町→C町と移動する。AB間には道が3つ、BC間には道が2つある場合、全部で何通りの行き方があるか」という問題の場合、3×2=6通りです。

往復の仕方の数

大抵の問題で「行きに使った道は通れない」という制限があります。そういう場合、帰りは道の数が-1されます。

「A町→B町→C町→B町→A町と往復する。AB間には道が3つ、BC間には道が2つある場合、全部で何通りの行き方があるか。ただし行きに通った道は帰りには使えない」という問題の場合、3(行きのAB)×2(行きのBC)×2(帰りのCB)×1(帰りのBA)=12通りです。

複雑な経路の問題

途中で二又に別れたり、別れた先で又別れたりという複雑な経路の場合は、道に名前をつけて樹形図を書くのが確実です。

(問題作成中)

道順の問題

スタート地点から碁盤の目のような町(条坊制の平城京・平安京をイメージ)を通ってゴールまで行く道順が何通りあるか数える問題

基本的な考え方

一番単純な正方形で左下のA地点から右上のB地点まで行く方法が何通りあるか考えます。

((図))

Bに行くにはA→X→BとA→Y→Bの2つの経路しかありません。

そしてA→X、X→B、A→Y、Y→B全部道は1つしかありません。ここで、上で見た経路の問題を思い出すと、A→X→Bは1×1=1通り、A→Y→Bも1×1=1通りしか無いことが分かります。

この2つを足してAからBへの行き方は1+1=2通りになります。

今の考え方をもっと単純に分かりやすく書くとこうなります。

まず左上の点Xと右下の点Yへの行き方はそれぞれ1通りしかないので「1」と書きます

((図))

この2つの「1」を右と上にBに向けて合わせると1+1=2になります。これがAからBへの行き方の個数になります。

((図))

単純な形

今の考え方でもう少し大きな町を移動してみます。

((4×3の条坊制))

まずAから右と上に真っ直ぐ行った点は全て1通りなので「1」と書きます

(())

次に、さっきの正方形の右上にあたる点へ左と下から1を2つ合流させて1+1=2の「2」を記入します。

(())

さらに、今書いた「2」を1と合流させて1+2=3の「3」を記入します

(())

これを繰り返してBまで数字を記入します

(())

ゲーム感覚で面白く解けると思います。

不規則な形

一部が欠けたり…

((図))

一部の区画が大きかったり…

((図))

上のような不規則な形でも同じルールで出せます。

試しにやってみましょう

(作成中)

 

中継地の指定

今まではAからBに行く全ての方法を出していましたが、「Cを通って行く方法を求めなさい」というような指定がある場合です。

((図))

ここでも経路の問題と同じ考えを使えば解けますね。A→Cの行き方とC→Bの行き方を求めて、かけ合わせれば良いのです。

(作成中)

 

通行禁止地点

例えば、「AからBまで図のXを通らずに行く方法は何通りか」という場合です。

((図))

上の方の「コイン」の問題(「少なくとも1枚が表」)で使った「全部の場合の数ー反対の条件の場合の数」の考え方を使います。

つまり、全部の場合からXを通る場合の数を引いて答えを出すのです。

Xの左右に点P、点Qと名付けます。するとXを通る行き方はA→P→Q→Bになります。

そしてA→Pは 通り(図1)、P→Qは1通り、Q→Bは 通り(図2)なので、A→P→Q→Bは ×1× = と分かります。

((図1))((図2))

全部の場合の数は なので、 ー = が答えになります。

塗り分け問題(v2)

旗や地図を2色3色で塗り分ける場合の数を出す問題。今までの知識を総動員して解く問題です。

考えることが多くて頭がゴチャゴチャするので、考える手順を決めておくと安心して解けます。

色を塗る場所(区画)の数と準備した色の数の大小で場合分けします。

区画の数=色の数

まず、旗の区画(色を塗る場所)と準備した色の数が全く同じ場合、例えば「図のような旗を3色で塗り分ける方法は全部で何通りあるか」を考えましょう。

((三色旗の図))

これは3つの色を並びかえる場合の数(「全部の並べかえ」)と同じですね。

全部並べかえ

N個全部を並べかえる
N×(N-1)×(N-2)×…×1 通り

(例1)5個全部を並べかえる
5×4×3×2×1=120 通り

この問題ではN=3なので、3×2×1=6通りになります。

色の数が多い場合

色の数が区画の数より多い場合、例えば「図のような旗を赤・青・黄・黒のうち3色で塗り分ける方法は全部で何通りあるか」を考えます。

((三色旗の図))

4色のうち3色を選んで塗るので、これは4個から3個を選んで並びかえることになります。

選んで並べかえ

N個からA個えらんで並べかえる
N×(N-1)×…×(N-A+1) 通り

(例1)5個から2個えらんで並べかえる
w
5×4=60 通り

(例1)7個から3個えらんで並べかえる
w ② ③
7×5=210 通り

この問題はN=4,A=3なので、4×3×2=24通りです。

色の数が少ない場合

今までは区画を全部違う色で塗っていましたが、使える色が少なくていくつかの区画を同じ色で塗らないといけない場合、例えば「図のような旗を赤・青・黄・黒のうち3色で塗り分ける方法は全部で何通りあるか」を考えます。

((Z旗の図 区画が4つある。これを3色で塗る))

まず、4つの区画を3色で塗るので同じ色で塗る区画をどこにするか(配色パターン)が何通りあるか考えます。

この旗の場合は「上下を同じ色で塗り左右は別の色にする」のと「左右を同じ色で塗り上下は別の色にする」の2通りあります。

次に準備した4色から使う3色を決めて塗り分けます。これは4個から3個えらんで並べかえなので、4×3×2=24通りです。

配色パターンが2通りで塗り分けが24通りなので、合計で2×24=48通りになります。

これで塗り分け問題の解き方が分かってきましたね。色数が少ない場合2ステップになります。

塗り分け問題
  1. 色数が少ない場合は同じ色で塗る場所(配色パターン)を決める
  2. 色で塗り分ける
    (「選んで並べかえ」か「全部並べかえ」)

確認テスト(2020.5.9作成中)

分ける問題

人を部屋(組)に分ける、物を山分けするなど

2つに分ける

不均等に分ける場合

単純な選び方の問題になる

例えば、5人の生徒ABCDEを2人部屋と3人部屋に分ける場合。5人から2人部屋に行く生徒2人を選べばよいので、5個から2個のえらび方になる。

4+3+2+1=10通り。または5×42×1=10通り

均等に分ける場合

この場合、単純な選び方だと同じ分け方を2回数えてしまっている。

例えば4人の生徒ABCDを2部屋に分ける場合、(A,B)を選ぶ場合と(C,D)を選ぶ場合は変わらないはずなのに2通りと数えているので正しい答えの2倍になっている。

そこで、(4個から2個選ぶ場合の数)÷2=(3+2+1)÷2=3通り が答えになる。

 

3つに分ける

完全に不均等に分ける場合

単純にえらび方を積にすればOK

例えば6人の生徒ABCDEFを3人部屋、2人部屋、1人部屋に分ける場合。一人部屋に泊まる生徒のえらび方が6通り、二人部屋に泊まる生徒の選び方が残り5人から2人を選ぶので 4+3+2+1=10通り、残りは自動で3人部屋に泊まるので1通り。この3つの場合の数をかけ合わせて(積の法則)、6×10×1=60通り

一部不均等に分ける場合

単純なえらび方の積だと2倍多く数えてしまう

例えば5人の生徒ABCDEを2人部屋、2人部屋、1人部屋に分ける場合。一人部屋に泊まる生徒のえらび方が5通り、二人部屋に泊まる生徒の選び方が4人から2人を選ぶので 3+2+1=6通り、残りは自動でもう1つの二人部屋に泊まるので1通り…だが、4人から2人を選ぶ時に同じ選び方を2回数えている(例えばABCDの(A,B)と(C,D))ので、選び方の積を÷2しないと正しい答えにならないので、5×6×1÷2=15通り

均等に選ぶ場合

単純なえらび方の積だと6倍も多く数えてしまう

例えば6人の生徒ABCDEFを2人部屋、2人部屋、2人部屋に分ける場合。えらび方の積は、6人から2人選ぶ(15通り)×4人から2人えらぶ(6通り)×2人から2人えらぶ(1通り)になるが、これだと同じ分け方例えば(A,B)(C,D)(E,F)を6通り数えてしまっている。

(A,B)(C,D)(E,F)、(A,B)(E,F)(C,D)、(C,D)(A,B)(E,F)、(C,D)(E,F)(A,B)、(E,F)(A,B)(C,D)、(E,F)(C,D)(A,B)

よって、えらび方の積を÷6しないと正しい答えにならないので、15×6×1÷2=45通り になる。

 

その他の問題

試合の数

リーグ戦

Nチームでのリーグ戦(総当り戦)の試合数=N個から2個のえらび方

5チームのリーグ戦なら、5個から2個のえらび方
→4+3+2+1=10 または 5C2=5×42×1=10試合

トーナメント戦

Nチームでのトーナメント戦(勝ち抜き)の試合数=N-1

1試合するごとに1チーム消えて、これを残り1チームまで行うから

16チームでのトーナメント戦なら、16-1=15試合

 

作れる金額

 

爽茶そうちゃ
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