中学受験】小数の応用問題。循環小数や小数点のあるカードの並べ替えなど

1-1:小数の覆面算

解説

ある数Aは何ケタの数か分かりませんが、小数点があるのは確かなので一番簡単に思いつく小数点1ケタと整数1ケタの「a.b」としてみると、Bは「0.ab」でA-Bはこんな感じになります。

A-Bの答えは小数点第二位までの数になるので、いい感じです♪

試しにAを小数点第二位までの「a.bc」にしてみると、引き算の答えが小数第三位までになってしまうのでダメです

またAに小数点がない「a」にしてみると、引き算の答えは小数点第一位までなので、やはりダメです。

このように、Aを「a.b」とおくのが一番良い感じなので、引き算の答えを1.35にして筆算を書き、観察します。

小数第二位での引き算は、小数第一位から繰り下がりで10-b=5という計算になっているので、b=5と分かります。

そして、b=5に書き変えて観察すると、小数第一位での引き算は、bが小数第ニ位への繰り下げで5-1=4になっているので、4-a=3という計算になり、a=1と分かります。

以上よりAは「1.5」と分かりました。

2-1:小数点を含むカードの並び替え

「1」「2」「3」「.」と書かれた4枚のカードを並び替えて数を作るとします。以下の問いに答えなさい。

「場合の数」の順列の問題です。「樹形図」を書くと良いでしょう。

4枚のカードを並べる場所を「A」「B」「C」「D」とします。

カードの並べ方を「樹形図」で調べます。スペースの上に「項目(この場合は置く場所の名前)」を書いたら、まずAに置くカードを小さい順に書きます(小数点は置けませんね)。

次に1に続いてBに置くカードを書きます。今度は小数点も使えるので、小数点から小さい順に書きます。

さらに「1」「.」の次にC・Dに置くカードを書きます。これで一番小さい数「1.23」と二番目に小さい数「1.32」が出来ました。

さっきの続きを書いて「1」で始まる数を全部書くと４つありました。

「2」で始まる数の樹形図も同じ形になるだろうと予想して省略し「4つ」とだけ書きます。

「3」で始まる数も4つあるはずですね。

全部で4×3で12個です。

さっきの樹形図で「3」で始まる数は全部書きだしておいたので、一番大きい数は「32.1」と分かりました。

一番大きい「32.1」と一番小さい「1.23」の差なので、32.1-1.23=30.87です。

2-1:循環小数を分数に

ヒント

どこまでも続く「1」を一気に消します

(解答)

「0.1」は「0.1111…」 と「1」がどこまでも続きます。このどこまでも続く部分を消すために「0.1」を10倍した数を考えると「1.1111…」になります。

もとの数「0.1」をA,10倍した数をBとして、AとBを縦に並べてみるとこうなります。

ここで、B-Aをすると…

あの無限に続いていた「1」が1つを残して全滅！！してしまいました。ちょっと可愛そうな気もしますね…

とにかく、B-A=1 ということが分かりました！

そしてBはAを10倍したものつまり「Ax10」なので、B-A＝Ax10-A=A×9 ですね。

ということは、B-A=A×9=1 になります。

これでAが分かりますね。

A×9=1 を逆算して、A=1÷９＝19と分かりました！

2-2:循環小数を分数に

ヒント

続く部分を消すには何倍すればよいか、考えましょう！

解説

もとの数「0.3」をA、10倍した数をBとして、B-Aをすると…

後ろの「232323…」が消えませんね！困りました。

試しに100倍してみましょう。もとの数「0.3」をA、100倍した数をCとして、AとCを小数点をそろえて縦に並べてみるとこうなります。

ここで、C-Aをすると…

後ろの「232323…」が消えました。10倍では「ずらし方」が足りなかったということです。

ともかくC-A=A×100-A×1=A×99=122ということが分かりました！

A×99=122 を逆算して、A=122÷99＝12299＝12399です！！(汚い答えになってしまいました…)