中学受験】小数の応用問題。循環小数や小数点のあるカードの並べ替えなど

小数の応用問題を解きたい」という中学受験生の方、おまかせ下さい。

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が問題と分かりやすい解説を用意しました!

小数点移動の覆面算(受験小4)

ある分からない数Aとその小数点を移動してできる数Bで作る計算結果からAを当てる問題。

1-1:小数の覆面算

ある数Aの小数点を左に1ケタ動かした数をBとします。A-B=1.35 のとき、もとの数Aはいくつですか?
(解説)

ある数Aは何ケタの数か分かりませんが、小数点があるのは確かなので一番簡単に思いつく小数点1ケタと整数1ケタの「a.b」としてみると、Bは「0.ab」でA-Bはこんな感じになります。

Aが「a.b」
a.b0
-0.ab
x.yz
小数点を左に1ケタ動かすと
「0.ab」になり、引き算の答えは
小数第ニ位までになる

A-Bの答えは小数点第二位までの数になるので、いい感じです♪

試しにAを小数点第二位までの「a.bc」にしてみると、引き算の答えが小数第三位までになってしまうのでダメです

A=「a.bc」
a.bc0
-0.abc
w.xyz
Bは「0.abc」で、引き算の答えが
小数第三位まで出てしまう

またAに小数点がない「a」にしてみると、引き算の答えは小数点第一位までなので、やはりダメです。

A=「a」
a0
-0.a
x.y
Bは「0.a」で、引き算の答えが
小数第一位までにしかならない

このように、Aを「a.b」とおくのが一番良い感じなので、引き算の答えを1.35にして筆算を書き、観察します。

Aが「a.b」
a.b0
-0.ab
1.35
この筆算をよ~く観察する

小数第二位での引き算は、小数第一位から繰り下がりで10-b=5という計算になっているので、b=5と分かります。

そして、b=5に書き変えて観察すると、小数第一位での引き算は、bが小数第ニ位への繰り下げで5-1=4になっているので、4-a=3という計算になり、a=1と分かります。

観察してa,bを求める
図1
a.b0
-0.ab
1.35
小数第二位を
観察してb=5
図2
a.50
-0.a5
1.35
小数第一位を
観察してa=1
図3
1.50
-0.15
1.35
引き算の答えを
1.35と確認
a=1,b=5で、A=「1.5」♪

以上よりAは「1.5」と分かりました。

1.5

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

ある数Aの小数点を左に1ケタ動かした数をBとします。A-B=2.43 のとき、もとの数Aはいくつですか?
→( 2.7 )

小数点を2ケタ動かすとどうなるでしょうか?

1-2:(小数点の覆面算)
ある数Aの小数点を左に2ケタ動かした数をBとします。A-B=1.35 のとき、もとの数Aはいくつですか?
ある数Aは何ケタの数か分かりませんが、小数点があるのは確かなので一番簡単な小数点1ケタと整数1ケタの「a.b」としてみると、
Bは「0.0ab」になり、A-Bの答えは小数点第三位までの数になるので、いい感じです。
Aが「a.b」
a.b00
-0.0ab
w.xyz
小数点を左に1ケタ動かすと
「0.0ab」になり、引き算の答えは
小数第三位までになる

試しにAを小数点第二位までにしてみると、引き算の答えが小数第三位までになってしまうのでダメです。

またAに小数点がない「a」のような場合も、引き算の答えは小数点第一位までなので、やはりダメです。

Aを色々と試す
A=「a.bc」
a.bc0
-0.abc
w.xyz
Bは「0.abc」で、
引き算の答えが
小数第三位まで
出てしまう
A=「a」
a0
-0.a
x.y
Bは「0.a」で
引き算の答えが
小数第一位まで
にしかならない
ここまでで、Aを「a.b」とおくのが一番良い感じなので、引き算の答えを1.35にして筆算を書き、観察します。
Aが「a.b」
a.b0
-0.ab
1.35
この筆算をよ~く観察すると
b=5と分かる

小数第二位での引き算は、小数第一位から繰り下がりで10-b=5という計算になっているので、b=5と分かります。

b=5に書き変えて観察すると、小数第一位での引き算は、bが小数第ニ位への繰り下げで5-1=4になっているので、4-a=3という計算になっているので、a=1と分かります。

Aが「a.b」
a.50
-0.a5
1.35
この筆算の小数第一位を
観察するとa=1と分かる

以上よりAは「1.5」と分かりました。

結果
1.50
-0.15
1.35
引き算の答えが
1.35になるのを確認
1.5

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

ある数Aの小数点を左に2ケタ動かした数をBとします。A-B=6.831 のとき、もとの数Aはいくつですか
→( 6.9 )

 

カードで数を作る問題(受験小4)

「場合の数(→まとめページ)」の問題の一つです。数字と小数点が書いてあるカードを並べ替えて小数を作る問題を考えます。

2-1:小数点を含むカードの並び替え

「1」「2」「3」「.」と書かれた4枚のカードを並び替えて数を作るとします。以下の問いに答えなさい。
一番小さい数は何ですか?

「場合の数」の順列の問題です。「樹形図」を書くと良いでしょう。

4枚のカードを並べる場所を「A」「B」「C」「D」とします。

図1:四つの置き場

4ケタの数を作る→カード置き場が四つ

カードの並べ方を「樹形図」で調べます。スペースの上に「項目(この場合は置く場所の名前)」を書いたら、まずAに置くカードを小さい順に書きます(小数点は置けませんね)。

図2:

Aに置けるカードは三種類。「.」はダメ

次に1に続いてBに置くカードを書きます。今度は小数点も使えるので、小数点から小さい順に書きます。

図3:

Bには「.」も置ける

さらに「1」「.」の次にC・Dに置くカードを書きます。これで一番小さい数「1.23」と二番目に小さい数「1.32」が出来ました。

図4:

CとDにもカードを置いて終了
1.23
何個の数が作れますか?

さっきの続きを書いて「1」で始まる数を全部書くと4つありました。

図1:

「1」で始まる数は4つできる。

「2」で始まる数の樹形図も同じ形になるだろうと予想して省略し「4つ」とだけ書きます。

図2:

「2」で始まる数は書かずに予想

「3」で始まる数も4つあるはずですね。

図3:

「3」で始まるカードも4つのはず
(ここでは小問3に備えて書いている)

全部で4×3で12個です。

12
一番小さい数と一番大きい数の差はいくつですか?

さっきの樹形図で「3」で始まる数は全部書きだしておいたので、一番大きい数は「32.1」と分かりました。

図1:

丁寧に書けば分かります。

一番大きい「32.1」と一番小さい「1.23」の差なので、32.1-1.23=30.87です。

30.87

練習問題

作成中です(2021.7.27)

循環小数の問題(受験小4)

1/3を分数に直すと1÷3=0.333…と3がずっと続きます。また17を小数に直すと1÷7=0.142857142857…と「142857」という6個の数字が繰り返し並びます。

このような数を「循環小数」と呼び、連続する数字の上に点をつけて「0.3」のように表します。

循環小数

→同じ数字の列が繰り返し並ぶ小数
連続する数字の上に点を付けて表す

(例)「0.3333…」→「0.3

(例)「1.232323…」→「1.23」

(例)「0.142857142857…」→「0.142857」

循環小数の周期算

循環小数の数の並びは決まったパターンが繰り返し出てくるので「周期算」の問題になります。

N番目の数を求める

(例)「2,6,9,2,6,9…」の17番目を求める
1周期に3の数があるので17÷3=52で、
5周期の後の2個目(第6周期の2番目)と分かる。
→周期の2番目なので「6」

Nを1周期の個数(A)で割った答えがB,余りCの時、
N番目の数はB個の周期が出た後のC個目
=第(B+1)周期のC番目。

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

1÷7を計算をした時、小数第32位の数字は何ですか?
→( 1÷7=0.142857142857…でこれは1周期に6個の数を含む数の並びになっている。)
→( 32番目の数は、32÷6=5…2なので5周期の後の2個目、つまり6周期の2番目の数「4」と分かる。)

周期算をじっくり学びたい・解きたい人は関連記事「周期算」を見て下さい。

循環小数を分数に直す

反対に、循環小数を分数に直す問題もあります。

2-1:循環小数を分数に

「0.1」で表される循環小数を分数に直しなさい
(ヒント)

どこまでも続く「1」を一気に消します

(解答)

「0.1」は「0.1111…」 と「1」がどこまでも続きます。このどこまでも続く部分を消すために「0.1」を10倍した数を考えると「1.1111…」になります。

もとの数「0.1」をA,10倍した数をBとして、AとBを縦に並べてみるとこうなります。

B=1.111111111111111…
A=0.111111111111111…

ここで、B-Aをすると…

A(0.1)を10倍したBからAを引く
B=1.11111111…
-)A=0.11111111…
B-A=1.00000000…
循環する部分が全部消える♪

あの無限に続いていた「1」が1つを残して全滅!!してしまいました。ちょっと可愛そうな気もしますね…

とにかく、B-A=1 ということが分かりました!

そしてBはAを10倍したものつまり「Ax10」なので、B-A=Ax10-A=A×9 ですね。

ということは、B-A=A×9=1 になります。

これでAが分かりますね。

A×9=1 を逆算して、A=1÷9=19と分かりました!

19

気持ち良い解き方ですね…よね?興味がある人は練習して下さい

もう少し練習してみましょう

2-2:循環小数を分数に

循環小数「1.23」を分数に直しなさい
(ヒント)

続く部分を消すには何倍すればよいか、考えましょう!

(解説)

もとの数「0.3」をA、10倍した数をBとして、B-Aをすると…

)B=12.323232323…
)A=11.23232323…
B-A=11. アレ?1

後ろの「232323…」が消えませんね!困りました。

試しに100倍してみましょう。もとの数「0.3」をA、100倍した数をCとして、AとCを小数点をそろえて縦に並べてみるとこうなります。

C=123.23232323…
A=121.23232323…

ここで、C-Aをすると…

)C=123.23232323…
)A=121.23232323…
C-A=122 消えた♪1

後ろの「232323…」が消えました。10倍では「ずらし方」が足りなかったということです。

ともかくC-A=A×100-A×1=A×99=122ということが分かりました!

A×99=122 を逆算して、A=122÷99=12299=12399です!!(汚い答えになってしまいました…)

12399

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

「0.3」を分数に直しなさい
→「0.3」をA、10倍した数をBとして、B-Aをすると…
B-A=A×9=3 と分かるので、A×9=3 を逆算して、A=3÷9=3913

)B=3.3333333…
)A=0.3333333…
B-A=31

爽茶そうちゃ
これで小数の応用問題は終了です!
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