中学受験】中実方陣とは?方陣算の第一歩

「中実方陣」を予習・復習したい中学受験生の方へ

もしかして「方陣算って難しそう」方陣算が苦手」と思っていませんか?

実は、図の書き方を一つ覚えるだけで方陣算は簡単に解けるようになるんですよ♪

この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「区切り図」を使った分かりやすい解き方を説明します。

記事を読んで問題を解けば「中実方陣」が得意になっているでしょう

中実方陣の石の数

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。


まずは「(中実)方陣」が何か見ながら問題を解きましょう。

中実方陣ちゅうじつほうじんは人や石がぎっしりと正方形や長方形の形に集まった形。昔の戦争で歩兵が作っていた陣形です。

方陣の大きさは、縦・横に人が何人並んでいるかで表します。
たとえば、一辺4人の中実方陣は4×4の正方形になります。

一辺4個(人)の中実方陣の例
●●●●
●●●●
●●●●
●●●●
4×4=16個(人)の石が含まれる

この中実方陣は4×4=16の人から出来ています。

つまり、タテ・ヨコが等しい一辺A個の中実方陣に含まれる石の数は「A×A」個です(正方形の面積を出すのと同じ計算)。

さて、問題を解く時は、「一辺が20個」のように石を実際に掛けない場合も多いです。その時は「区切り図」というのを書きます。

タテとヨコの石の数を長さのように書き、中の石の数を面積と同じ公式で出して書き込みます。

さきほどの4×4の中実方陣の場合「区切り図」はこうなります。

実体図(左)から区切り図(右)を書く

一辺の石の個数をタテヨコの長さのように書き
そのかけ算で石の数を中に書く
(ここではただの正方形の図)
実際に書く絵はこんな感じ

中実方陣の意味は分かったので、次は中実方陣を使った問題を解いてみます。

最外周の石

一辺から最外周を求める

基本的でよく問われるのは、中実方陣の最外周(一番外側のひとまわり)にはいくつ石がならんでいるか?です。

これを考える時は、まず石を角(かど)の4つの石辺の石に分けて「区切り図」にしてみます。

一辺4個の方陣の最外周を求める

角と辺に分けると「井の図」ができる

漢字の「井」のように区切るので「井の図」と呼んでいます。このように、四隅と辺に区切るのが方陣算の一番のコツです!

この「井の図」を見れば、最外周の石は(1×4)+(2×4)=12個と分かりますね♪

ちなみに、塾の授業やテキストでよく見かけるのは下のような図ではないでしょうか?

よく見る図(うずまき図)

これは、角にある石とそれ以外の石を1セットずつ組み合わせた状態を区切り図にしたもので、確かに分かりやすいのですが…図が苦手な生徒の場合は、上手く書けないことがあります。

一方、先程の「井」の図は書くのが簡単で、しかも応用問題でも答えが出せるスグレモノです。

そこで、私の授業では最初に「井」の図を書き、好みでうずまき図に直すように指導しています。

実体図から区切り図へ

左端の「実体図」から区切り図へ
最外周を角と辺の石に分け(左から2番目の図)
区切り図(井の図)にする(左から3番目の図)
角と辺を1つづつ合体させ「渦の図」に(右端の図)

ちなみに、うずまき図を使って考えると、石を3個含む同じ形が4個できるので、最外周は3×4=12と分かります。

公式にすると、「一辺A個の中実方陣の最外周の石の数は(A-1)×4」になります。A×4ではないことに注意しましょう。

一辺A個の方陣の最外周の石の個数

→(A-1)×4 個

(例)一辺4個の方陣の最外周の石の個数
(4-1)×4=12個

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の中実方陣の最外周の石の数は?
→( (10-1)×4=36 )

最外周から一辺を求める

反対に最外周の石の数から一辺を聞かれた場合でも、公式を使って逆算するか、区切り図を書けば解けますね

2-1:最外周から一辺

最外周の石の数が48個である中実方陣の一辺の石の個数を求めなさい
解説

公式「一辺Aの方陣の最外周は(A-1)×4」を使うと「(A-1)×4=48」です。この逆算を解きます

(A-1)=48÷4=12 → A=12+1=13 つまり一辺は13個と分かります。

13
別解

区切り図(井の図)を書いても良いでしょう。

最外周の石が48個の方陣

○=(48-4)÷4=11、?=11+2=13と分かる

○×4=48-4=44 → ○=44÷4=11 なので、一辺?は11+1+1=13と分かります。

13

もっと問題を解きたい人は「オススメ教材」を見て下さい

もう一周増やす

一辺A個の中実方陣の「外側にもう『一周』増やす」場合は{(A+1)×4}の石が必要になる。これは公式として覚えるというよりは下の図をイメージして式を作ることができればOKです。

区切り図で考えると、こうなります

区切り図で考える

「井」の図で分かればOK♪

列を増やす/減らす

次は「列を増やしたり減らしたり」する問題を考えます。

タテヨコを一列増やす

中実方陣の「列を増やす」というのは、一辺の長さを1個増やすことです。

たとえば一辺4個の中実方陣のタテヨコ一列ずつ増やすと下のようになります。

一辺4個の中実方陣を
タテヨコ一列増やすと
一辺5個の中実方陣になる
●●●●  ❶❷❸❹
●●●●  ●●●●
●●●● → ●●●●
●●●●  ●●●●
●●●●  ●●●●
❶❷❸❹が2セット
四隅が1個増えるので、
(4×2)+1=9個増える

つまり一辺A個の中実方陣のタテヨコ一列を増やすには石が(A×2)+1 個必要です。

区切り図を書くとこうなります。応用問題ではこの図が書けないと解くのが難しくなるので、よく練習して下さい

一辺4の方陣のタテヨコを
一列増やす場合の「区切り図」

4×1=4の区切りが2つと
1×1=1の区切りが1つあるので
合わせて4×2+1=9個必要と分かる

もう一つの考え方

こんな風に考えてもよいでしょう。

一辺4の中実方陣の石の数は4×4=16個、一列増やした一辺5の中実方陣の石の数は5×5=25個、25-16=9個

つまり、一辺Aの方陣のタテヨコ一列を増やすのに必要な石の個数は「(A+1)×(A+1)-A×A」という公式にもなります。

頭の片隅に入れておくと、中空方陣の問題を解く時に役立ちます。

確認テスト

一辺7個の中実方陣をタテヨコ一列ずつ増やすのに石が何個必要か?
→( (7×2)+1=15個 または 8×8-7×7=64-49=15 )

余った石で一列増やそうとするが足りない…

石が14個あったとしましょう。この石で一辺3個の方陣を作ると、14-(3×3)=5個の石●●●●●が余っています。

図1:
●●● ●●●●●
●●● ●●●●●
●●● ●●●●●
説明書き

この余った石を方陣の回りに並べても、一辺4の方陣には出来ません…

図1:
●●●●
●●●
●●●
●●●
説明書き

一辺3の方陣のタテヨコ一列を増やすには、上の公式より3×2+1=7個の石が必要なので、あと2個●●あれば一辺4の方陣が作れます。

図1:
●●●●
●●●
●●●
●●●
説明書き

今の状況を区切り図にするとこうなります。

タテヨコ一列増やそうと
余りを並べるが足りない

この図を書けるようにしておく

この考え方・図の書き方を使って、問題を解いてみましょう。クイズだと思って気楽にチャレンジ♪

3-0:余ったが足りない

碁石を正方形につめて並べたら9個余ったので、タテ・ヨコ1列増やそうとしたら2個足りなかった。
碁石は何個ありますか?
ヒント

結局一列増やすのに何個必要なのか、を考える

解説

正方形につめて並べる=中実方陣です(一辺は分かりません…)。余った9個をテキトーに合わせて書くとこうなります。

初期状態

方陣と余り

余った9個でもう一列増やそうとしたら2個足りなかった、という事は11個必要だったということです。

余った9個でタテヨコ一列増やすのに
2個足りない

タテヨコ一列ふやすのに
9+2=11個必要だと分かる

これを区切り図にすると…もとは一辺5個の方陣だったと分かります。

区切り図:

11=5+1+5なので
?=5だと分かる

これで石の数は方陣部分が5×5=25個で余りが9個だったので、合計は25+9=34個だったと分かります。

34

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長方形の中実方陣

ここまで方陣は正方形でしたが、長方形の方陣もあります。

少し面倒くさくなりますが、根本的な考え方は同じです。

石の数

タテA個ヨコB個の中実方陣に含まれる石の数は「A×B」個です。長方形の面積の公式と同じです

タテ3個ヨコ4個の中実方陣の
実体図と区切り図
●●●●
●●●●
●●●●
=

3×4=12個の石が含まれる

確認テスト

タテ8個ヨコ14個の中実方陣に含まれる石の数は?
→( 8×14=112個 )

最外周の石

縦3個横4個の方陣の最外周の石の数を出してみましょう

正方形の場合と同じように、まず角の石それ以外に分けた「井の図」を書きます。これでも答えは出せますが…

実体(左)と「井の図」

●●
●●
●●
=

さらに「うずまき図」にもしてみましょう。

実体(左)と「うずまき図」

❸❷❶
●●
❶❷❸
=

(3-1)=2個と(4-1)=3個の区切りが
二つずつできるので最外周の石は
(3-1)×2+(4-1)×2=10個

これを観察すると、長方形の最外周に(3-1)=2個と(4-1)=3個の区切りが二つずつできるので最外周の石は(3-1)×2+(4-1)×2=10個です。

公式にすると、縦A横Bの長方形の方陣の最外周の石の数は「(A-1)×2+(B-1)×2」になります。

4-2:長方陣の最外周の石

タテ8個ヨコ14個の中実方陣の一番外側の一周に石は何個あるか?
ヒント

四隅を区切って「(井の図)」を描く

解説

区切り図を書くとこうなります。

縦8個横14個の長方陣の
最外周の石の区切り図

説明書き

「井の図」だけでも解けますが、ここでは参考のために「渦の図」も描いてあります。

「井の図」からは、12×2+6×2+1×4=40個、「渦の図」からは7×2+13×2=40個 と求められます

40

一列ずつ増やす

長方形の方陣をタテヨコ一列ずつ増やす場合を図にするとこうなります。

この場合も、角の石に注目すると分かりやすいですね。公式にすると「タテAヨコBの長方形の方陣を一列増やすのには石が A+B+1必要」です。

5-1:長方陣をタテヨコ一列ずつ増やす

タテ8個ヨコ14個の中実方陣をタテヨコ一列ずつ増やすのに必要な石の数は何個か?
ヒント

区切り図(井の図)!

解説

一列増やした状態の区切り図(井の図)を書くとこうなります。

図1:

説明書き

これを見れば、必要な石の数は14+8+1=23個と分かります。

23
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拘束式の長方陣

最後は「ヨコの数がタテより2個多い」「タテがヨコの2倍」のように、タテヨコのうち一方がもう一方の大きさに拘束される場合です。

区切り絵(井の図)を最大限に活用して、平面図形の問題のように解きます。

最外周から石の合計を出す

差タイプ

6-1:拘束型長方陣の最外周(差タイプ)

ヨコの数がタテより2個多い中実方陣を作ったら最外周の石が24個だった。石は全部でいくつか
解説

まず「ヨコの数がタテより2個多い中実方陣」はこうなります。

ヨコの数がタテより2個多い中実方陣(図A)

つぎに最外周の区切り図と最外周の数を並べて…

区切り図(井の図)と
最外周の個数を並べる

?+?+?+?=24と分かるので
?=6 と求められる

比べると?+(?-2)+?+(?-2)+4=?+?+?+?=24と分かります。

この逆算を解くと ?=6です。

完成図

タテ6ヨコ8なので、石の合計は48個

中実方陣のタテが6ヨコが8と分かったので、石の数は全部で6×8=48個です。

48

比タイプ

6-2:拘束型長方陣の最外周(比タイプ)

中実方陣を作ったらタテの数がヨコの数の3倍になった。最外周の石の数が68個のとき、全部の石の数は?
解説

タテの長さを?とおいて区切り図を書きます。

図1

こんな形

これを区切り図にして、最外周の石の個数と並べると、(?×8)-4=68 と分かります。

図2:区切り図を書く

(?×8)-4=68 なので?=9と分かる

この逆算を解くと、(?×8)=68+4=72 ?=72÷8=9 と求められます。

完成図

タテ27ヨコ9なので
石の合計は27×9=243個

これでタテ27ヨコ9なので、石の合計は27×9=243個と分かりました。

243

タテヨコ一列ずつ増やす

上で解いた問題の長方陣バージョンです。

例えば「ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が9個余ったので、タテヨコを一列づつ増やそうとしたら石が14個不足した」という場合。

まず「ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が9個余った」のを図にするとこうなります(図A)。
この後は外に増やすので、さっきと違って「2」で中を区切っています。

ヨコがタテより2個多い長方形の中実方陣
を作ったら石が9個余った(図A)

次に「タテヨコを一列づつ増やそうとした」計画の図はこうなります(B)

タテヨコを一列ずつ増やす区切り図(図B)

増える「L字」部分に、分かるだけの
長さと面積(石の数)を書く

同じ「?」の面積の部分が2個できます。また右下隅の「1」は見慣れていますが、その隣に「2」が出来るのが今までにない特徴ですね。

そして「余った9個とあと14個必要だった」図はこうなるので、

余りの9個と不足の14個を
図BのL字に流し込む

9と14の境目はテキトーに書いてもよい。

一列ずつ増やすのに23個必要だったと分かります(図C)

タテヨコ一列増やすのに25必要(図C)

B図とC図を比べると、面積の「?」が{23-(2+1)}÷2=10と分かります(図D)

拘束長方陣を一列増やす
a区切り図
b合計

?=10

aとbを比べると?=10と分かる

これで長さの「?」も10÷1=10と分かります。これを最初の図Aに書くと石の数が{10×(10+2)}+9=129個と分かります。

長さの「?」が分かれば終了~♪
応用確認テスト

ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が7個余ったので、タテヨコを一列づつ増やそうとしたら石が12個不足した。石の数は?
→区切り絵に分かる個数(面積)を書くと、面積の「?」が( {19-(2+1)}÷2=8 )、長さの「?」は( 8÷1=8 )と分かる。
→石の数は( {8×(8+2)}+7=87個 )

区切り図
もっと問題を解きたい人は「オススメ教材」をご覧ください

確認テストとお礼

空欄をタッチする(スマホ)かマウスポインタをのせる(パソコン)と答えが表示されます。

中実方陣の公式(タッチで解答表示)
  • 中実方陣の石の数=( タテ×ヨコ )
  • 一辺A個の中実方陣の最外周の石の数
    =( (A-1)×4 )
  • 一辺A個の中実方陣をタテヨコ一列増やすのに必要な石の数
    =( (A×2)+1 )
  • 一辺A個の中実方陣の最外周をもう一週増やすのに必要な石の数
    =( (A+1)×4 )←覚えずともOK
中実方陣は以上です♪
理解できた人は「中空方陣」を見てみませんか?(→方陣算まとめに戻る)

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最後まで読んでいただきありがとうございました♪
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