中学受験】中実方陣とは?方陣算の第一歩

「中実方陣を予習・復習したい」中学受験生の方、お任せ下さい。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく解説します。

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。


まずは「(中実)方陣」が何か見ながら問題を解きましょう。

中実方陣の石の数

中実方陣ちゅうじつほうじんは人や石がぎっしりと正方形や長方形の形に集まった形。昔の戦争で歩兵が作っていた陣形です。

タテ・ヨコが等しい一辺A個の中実方陣に含まれる石の数は「A×A」個です。

問題を解く時は、「一辺が20個」のように石を実際に掛けない場合も多いです。その時は「区切り図」というのを書きます。タテとヨコの石の数を長さのように書き、中の石の数を面積と同じ公式で出して書き込みます。

最外周の石

最外周の石の個数

よく問題で聞かれるのは最外周(一番外側のひとまわり)にはいくつ石がならんでいるか?です。

これを考える時は、まず石を角(かど)の4つそれ以外に分けます。「区切り図」にもしてみます。漢字の「井」のように区切るので「井の図」と呼んでいます。

上のように、四隅と辺に区切るのが方陣算の一番のコツです!

この「井の図」を見れば、最外周の石は1×4+2×4=12個と分かりますね♪
ちなみに、塾の授業やテキストで教わるのは下のような図です。

これは、角にある石とそれ以外の石を1セットずつ組み合わせた状態を区切り図にしたもので、確かに分かりやすいのですが…図が苦手な生徒の場合は、上手く書けないことがあります。

一方、先程の「井」の図の方が書くのが簡単で答えも出せるので、私の授業では最初に「井」の図を書くように指導しています。

中実方陣
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井の図

うずまき図

さて、うずまき図を使って考えると、石を3個含む同じ形が4個できるので、最外周は3×4=12と分かります。

公式にすると、「一辺A個の中実方陣の最外周の石の数は(A-1)×4」になります。A×4ではないことに注意しましょう。

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の中実方陣の最外周の石の数は?
→( (10-1)×4=36 )

タテヨコ一列増やす

一辺A個の中実本陣をタテ・ヨコ一列ずつ増やすのには石が(A×2)+1 個必要です。

区切り図を書くとこうなります。応用問題ではこの図が書けないと解けませんので練習して下さい

確認テスト

一辺7個の中実方陣をタテヨコ一列ずつ増やすのに石が何個必要か?
→( (7×2)+1=15 )

この区切り方を覚えれば、次のような問題も解けます。

応用テスト

碁石を正方形につめて並べたら9個余ったので、タテ・ヨコ1列増やそうとしたら2個足りなかった。碁石は何個ありますか?
→増やす前の方陣の一辺をA個とすると、増やすのに必要なのは(A×2+1)
→増やすのに必要だったのは(余りの9個にあと2個必要だったので9+2=11個  )
→つまり(A×2+1)=11 なので、A=( 5 )。
→( もとの方陣は一辺5個の5×5=25 +余り9 で34個あったことになる。 )

もう一周増やす

一辺A個の中実方陣の「外側にもう『一周』増やす」場合は{(A+1)×4}の石が必要になる。これは公式として覚えるというよりは下の図をイメージして式を作ることができればOKです。

長方形の中実方陣

少し面倒くさくなりますが、根本的な考え方は同じです。

石の数

タテA個ヨコB個の中実方陣に含まれる石の数は「A×B」個です。長方形の面積の公式と同じです

確認テスト

タテ8個ヨコ14個の中実方陣に含まれる石の数は?
→( 8×14=112個 )

最外周の石

正方形の場合と同じように、まず角の石それ以外に分けた「井の図」を書いて…

それを元に「うずまき図」を書きます。

これを観察すると、長方形の最外周には二種類の「区切り」が二つずつできます。上の図の場合は、(3-1)=2個と(4-1)=3個の区切りが二つずつできるので最外周の石は(3-1)×2+(4-1)×2=10個です。
公式にすると、縦A横Bの長方形の方陣の最外周の石の数は「(A-1)×2+(B-1)×2」になります。

確認テスト

タテ8個ヨコ14個の中実方陣最外周の石の数は?
→( (8-1)個の区切りと(14-1)個の区切りが2つずつできるので )
→( 7×2+13×2=40個 )

一列ずつ増やす

長方形の方陣をタテヨコ一列ずつ増やす場合を図にするとこうなります。

この場合も、角の石に注目すると分かりやすいですね。公式にすると「タテAヨコBの長方形の方陣を一列増やすのには石が A+B+1必要」です。

確認テスト

タテ8個ヨコ14個の中実方陣をタテヨコ一列ずつ増やすのに必要な石の数は?
→( 8+14+1=23 )

(応用)拘束式の長方形

「ヨコの数がタテより2個多い」のように、タテヨコのうち一方がもう一方の大きさに拘束される場合です。区切り絵を最大限に活用して、平面図形の問題のように解きます。

最外周の石

例えば「ヨコの数がタテより2個多い中実方陣を作ったら最外周の石が24個だった。石は全部でいくつか」の場合、まず「ヨコの数がタテより2個多い中実方陣」はこうなります。

つぎに最外周の区切りを書くとこうなります。

そして最外周が24個なので…

図BとCを比べると?が分かります。

中実方陣のタテが7ヨコが9と分かったので、石の数は全部で7×9=63個です。

応用確認テスト

中実方陣を作ったらタテの数がヨコの数の3倍になった。最外周の石の数が68個のとき、全部の石の数は?
→タテの長さを?とおいて区切り図を書き、?と68の関係を式にすると、( {(?×8)-8}+4=68 )
→逆算して( ?×8=72 より?=9 )なので、方陣の大きさは( ヨコ9、タテ27 )
→石の数は( 9×27=243 )

 

タテヨコ一列ずつ増やす

例えば「ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が9個余ったので、タテヨコを一列づつ増やそうとしたら石が14個不足した」という場合。

まず「ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が9個余った」のを図にするとこうなります(図A)。
この後は外に増やすので、さっきと違って「2」で中を区切っています。

次に「タテヨコを一列づつ増やそうとした」計画の図はこうなります(B)

同じ「?」の面積の部分が2個できます。また右下隅の「1」は見慣れていますが、その隣に「2」が出来るのが今までにない特徴ですね。

そして「余った9個とあと14個必要だった」図はこうなるので、

一列ずつ増やすのに23個必要だったと分かります(図C)

B図とC図を比べると、面積の「?」が{23-(2+1)}÷2=10と分かります(図D)

これで長さの「?」も10÷1=10と分かります。これを最初の図Aに書くと石の数が{10×(10+2)}+9=129個と分かります。

応用確認テスト

ヨコの数がタテの数より2個多い長方形の中実方陣を作ったら石が7個余ったので、タテヨコを一列づつ増やそうとしたら石が12個不足した。石の数は?
→区切り絵に分かる個数(面積)を書くと、面積の「?」が( {19-(2+1)}÷2=8 )、長さの「?」は( 8÷1=8 )と分かる。
→石の数は( {8×(8+2)}+7=87個 )

確認テストとお礼

空欄をタッチする(スマホ)かマウスポインタをのせる(パソコン)と答えが表示されます。

中実方陣の公式(タッチで解答表示)
  • 中実方陣の石の数=( タテ×ヨコ )
  • 一辺A個の中実方陣の最外周の石の数
    =( (A-1)×4 )
  • 一辺A個の中実方陣をタテヨコ一列増やすのに必要な石の数
    =( (A×2)+1 )
  • 一辺A個の中実方陣の最外周をもう一週増やすのに必要な石の数
    =( (A+1)×4 )←覚えずともOK
爽茶そうちゃ
中実方陣は以上です。
市販の問題集を使うのもいいですね。とにかく方陣算の問題を沢山解きたい人には「方陣算(基本)(応用)」(サイパー算数)が、その他の単元の予習復習も行いたいなら算数の基本問題4年(日能研)がオススメです。 
最後まで読んでいただきありがとうございました。この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです!
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