中学受験】碁石を正三角形に並べると?方陣算の応用

ピラミッド算
(三角形に石を積む)

爽茶そうちゃ
今度は、石を三角形に並べます。丸太を積んでいるのを正面から見て、木の断面の年輪が見えているような?イメージです。

組体操で作るピラミッドのように石を三角形に積んでいきます。

最下段の石の数

一番下の段の石の数は段数と同じになっているので、N段のピラミッドの最下段の石の数はN個です。

確認テスト(タッチで解答表示)

15段のピラミッドの最下段の石は何個?
→( 15 )

石の合計

全部の合計

上で見たように、1、3、6…と増えていきます(この数を三角数という)が、これを計算で求めます。

N段のピラミッドの石の合計は、1+2+3+…N 個になり、これは等差数列の和と同じ考え方で、N×(N+1)÷2と計算できます。

等差数列の合計=(はじめの数+N番目の数)×N÷2 で、N団のピラミッドは「はじめの数」=1、「N番目の数」=N なので、(1+N)×N÷2 になります。ここでは覚えやすいようにN段のピラミッドの石の合計は N×(N+1)÷2 としておきます。

よく分からない人は「等差数列の和」を見て下さい。

確認テスト

15段ピラミッドの石の合計は?
→( 15×(15+1)÷2=120 )

一段おきの合計

一段おきに(奇数段だけ)石を足していくと「平方数(四角数)」になります。

Nが奇数の時、N段ピラミッドは奇数では(N+1)÷2番目のピラミッドになっているので、N段ピラミッドの奇数段の合計は{(N+1)÷2}×{(N+1)÷2} になります。
この公式はおぼえるというよりも問題が解ければいいですよ。

確認テスト

奇数段は黒い石、偶数段は白い石で15段のピラミッドを作る時、黒い石は何個か?
→( 15段ピラミッドは奇数では(15+1)÷2=8番目のピラミッドなので、その奇数段(黒い石)の合計は8×8=64 )

確認テスト

さっきの15段ピラミッドの白い石の個数は?
→( 15段ピラミッドの全部の石の合計は15×(15+1)÷2=120で、黒い石が64個あるから、白い石は120-64=56 )

最外周の石の数

これは方陣と同じような「区切り」を考えれば良いですね。

N段のピラミッドの最外周の石は (N-1)×3 と分かります。

確認テスト

15段ピラミッドの最外周の石の個数は?
→( (15-1)×3=42 )

最後に公式の確認テスト

ピラミッド算の公式(タッチで解答表示)
  • N段ピラミッドの最底辺の石の個数=( N )
  • N段ピラミッドの石の合計
    =( N×(N+1)÷2 )
  • N段ピラミッド(Nは奇数)の奇数段だけの石の合計
    →Nは{(N+1)÷2}=M番目の奇数で
    =( M×M )
  • N段のピラミッドの最外周の石の個数
    =( (N-1)×3 )
  • N段のピラミッドの最外周をもう一周増やすのに必要な石の数
    =( (N+2)×3 )
爽茶そうちゃ
ピラミッド算は以上です。次は石を多角形の形に並べる問題です。
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