中学受験】碁石を正三角形に並べると？方陣算の応用

「石を三角形に並べる問題が苦手…」という中学受験生の方へ。

ルールがあったのは覚えているけど、ハッキリ思い出せないのでしょうね。

この機会にルールをきちんと憶えてしまいましょう！

この記事は、石を三角形に並べた「ピラミッド算」の考え方解き方を、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく解説します。

記事を読んで真似すれば、もう苦手では無くなっているはずですよ！

三角形に石を積む

爽茶そうちゃ

こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

今回は石を三角形に並べます。丸太を積んでいるのを正面から見て、木の断面の年輪が見えているような？イメージです。

三角形=ピラミッド

組体操で作るピラミッドのように石を三角形に積んでいきます。

最下段の石の数

一番下の段の石の数は段数と同じになっているので、N段のピラミッドの最下段の石の数はN個です。

石の合計

全部の合計

求め方

上で見たように、1、(1+2=)3、(1+2+3=)6…と増えていきます(この数を三角数という)が、これを計算で求めます。

N段のピラミッドの石の合計は、1+2+3+…N 個になり、これは等差数列の和と同じ考え方で、N×(N+1)÷2と計算できます。

等差数列の合計＝(はじめの数+N番目の数)×N÷2 で、N団のピラミッドは「はじめの数」＝1、「N番目の数」=N なので、(1+N)×N÷2 になります。ここでは覚えやすいようにN段のピラミッドの石の合計は N×(N+1)÷2 としておきます。

よく分からない人は「等差数列の和」を見て下さい。

合計から段を求める

上と逆に、石の合計から段数を求めてみます。

実はこの問題は計算だけでは完璧には解けません。試行錯誤が必要になります。

確認テストをどうぞ

一段おきの合計

一段おきに(奇数段だけ)石を足していくと「平方数(四角数)」になります。

たとえば5段ピラミッドの奇数段(1段と3段)の石●と偶数段の石●の合計を出します。

「5」は奇数としては「(5+1)÷2=3」番目なので、5段ピラミッドの奇数段の石●の数は「3」の平方数3×3=9個になります。そして偶数段の石●は全部の合計(5×6÷2=)15個から●9個を引いた数なので6個と分かります。

一応、公式にすると、Nが奇数の時、N段ピラミッドは奇数としては「(N+1)÷2」番目のピラミッドになっているので、N段ピラミッドの奇数段の合計は{(N+1)÷2}×{(N+1)÷2} _個 になりますが、おぼえるというよりも問題が解ければいいですよ。

奇数個だけのピラミッド

上の問題の「奇数個」だけのピラミッドも入試に出てきます。

こちらは単純に「段数x段数」で石の合計を求めることができますね。

また、最下段の石の数は段数=Nとすると「N番目の奇数」で「Nx2-1」になります。例えば3段目は3番目の奇数なので3x2-1=5個になっているのが分かります。

最外周の石の数

ピラミッドの一番外に並んでいる石の数を答える問題

これは方陣と同じような「区切り」を考えれば良いですね。

N段のピラミッドの最外周の石は (N-1)×3 と分かります。

まとめの確認テスト

オススメ教材

爽茶そうちゃ

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参考書・問題集
●方陣算だけを解きたい場合は「方陣算(基本)(応用)」(サイパー算数)が定評あり
●その他の単元を合わせて予習復習をしたい場合、「算数の基本問題」シリーズ(日能研)がオススメ(→教材の目次・比較ページ)
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