ピラミッド算
(三角形に石を積む)

組体操で作るピラミッドのように石を三角形に積んでいきます。
ピラミッドのように
石の段が積み上がっていくイメージ
→
→
→
(一番下の石)
(石の合計)
●
●
●
1個
1個
●
●
●●
2個
1+2=3個
●
●●
●●●
3個
1+2+3=6個
最下段の石の数
一番下の段の石の数は段数と同じになっているので、N段のピラミッドの最下段の石の数はN個です。
15段のピラミッドの最下段の石は何個?
→( 15個 )
石の合計
全部の合計
上で見たように、1、3、6…と増えていきます(この数を三角数という)が、これを計算で求めます。
N段のピラミッドの石の合計は、1+2+3+…N 個になり、これは等差数列の和と同じ考え方で、N×(N+1)÷2と計算できます。
(例)4段ピラミッドの石の合計
●●
●●●
●●●●
→
●●
●●●
●●●●
●●○○○
●●●○○
●●●●○
ピラミッドを左側にそろえて、同じものをもう一つ付けると4×5の長方形になる。
つまり、4段ピラミッドの石の合計は4×5の長方形の半分なので、4×(4+1)×2 で求められる。
等差数列の合計=(はじめの数+N番目の数)×N÷2 で、N団のピラミッドは「はじめの数」=1、「N番目の数」=N なので、(1+N)×N÷2 になります。ここでは覚えやすいようにN段のピラミッドの石の合計は N×(N+1)÷2 としておきます。
よく分からない人は「等差数列の和」を見て下さい。
15段ピラミッドの石の合計は?
→( 15×(15+1)÷2=120個 )
一段おきの合計
一段おきに(奇数段だけ)石を足していくと「平方数(四角数)」になります。
一段おきの石の合計は平方数になる
●
●
1段
1個
(1×1)
●
●●
●●●
3段
1+3=
4個
(2×2)
●●
●●●
●●●●
●●●●●
5段
1+3+5=
9個
(3×3)
●●
●●●
●●●●
●●●●●
●●●●●●
●●●●●●●
7段
1+3+5+7=
16個
(4×4)
Nが奇数の時、N段ピラミッドは奇数では(N+1)÷2番目のピラミッドになっているので、N段ピラミッドの奇数段の合計は{(N+1)÷2}×{(N+1)÷2} 個 になります。
この公式はおぼえるというよりも問題が解ければいいですよ。
奇数段は黒い石、偶数段は白い石で15段のピラミッドを作る時、黒い石は何個か?
→( 15段ピラミッドは奇数では(15+1)÷2=8番目のピラミッドなので、その奇数段(黒い石)の合計は8×8=64個 )
さっきの15段ピラミッドの白い石の個数は?
→( 15段ピラミッドの全部の石の合計は15×(15+1)÷2=120個で、黒い石が64個あるから、白い石は120-64=56個 )
最外周の石の数
これは方陣と同じような「区切り」を考えれば良いですね。
(例)5段ピラミッドの最外周の石
●●
●●●
●●●●
●●●●●
→
●●
●●●
●●●●
●●●●●
●●
●●●
●●●●
●●●●●
方陣と同じように角と辺に分けて、一つづつ組み合わせると5-1=4個の石を含む「区切り」が3つできるので、最外周の石は4×3=12
N段のピラミッドの最外周の石は (N-1)×3 と分かります。
15段ピラミッドの最外周の石の個数は?
→( (15-1)×3=42個 )
最後に公式の確認テスト
- N段ピラミッドの最底辺の石の個数=( N個 )
- N段ピラミッドの石の合計
=( N×(N+1)÷2 個 ) - N段ピラミッド(Nは奇数)の奇数段だけの石の合計
→Nは{(N+1)÷2}=M番目の奇数で
=( M×M 個 ) - N段のピラミッドの最外周の石の個数
=( (N-1)×3 個 ) - N段のピラミッドの最外周をもう一周増やすのに必要な石の数
=( (N+2)×3 個 )
