中学受験】碁石を正三角形に並べると？方陣算の応用

「石を三角形に並べる問題が苦手…」という中学受験生の方へ。

ルールがあったのは覚えているけど、ハッキリ思い出せないのでしょうね。

この機会にルールをきちんと憶えてしまいましょう！

この記事は、石を三角形に並べた「ピラミッド算」の考え方解き方を、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく解説します。

記事を読んで真似すれば、もう苦手では無くなっているはずですよ！

三角形に石を積む

三角形=ピラミッド

組体操で作るピラミッドのように石を三角形に積んでいきます。

最下段の石の数

一番下の段の石の数は段数と同じになっているので、N段のピラミッドの最下段の石の数はN個です。

石の合計

全部の合計

求め方

上で見たように、1、(1+2=)3、(1+2+3=)6…と増えていきます(この数を三角数という)が、これを計算で求めます。

N段のピラミッドの石の合計は、1+2+3+…N 個になり、これは等差数列の和と同じ考え方で、N×(N+1)÷2と計算できます。

等差数列の合計＝(はじめの数+N番目の数)×N÷2 で、N団のピラミッドは「はじめの数」＝1、「N番目の数」=N なので、(1+N)×N÷2 になります。ここでは覚えやすいようにN段のピラミッドの石の合計は N×(N+1)÷2 としておきます。

よく分からない人は「等差数列の和」を見て下さい。

合計から段を求める

上と逆に、石の合計から段数を求めてみます。

実はこの問題は計算だけでは完璧には解けません。試行錯誤が必要になります。

1-1:ピラミッドの石の数から段数を求める

石を正三角形の形にびっしり並べたら合計が120個になった。何段のピラミッドになっているか

解説

ピラミッドがN段だとすると、1+2+…+N=(N+1)×N÷2=120になります。

(N+1)×N÷2=120から、(N+1)×N=240と分かります。

そして「(N+1)×N」は連続する2つの整数をかけたものなので、

「かけ合わせたら240になるような連続する2つの整数」を見つければ良いと分かります。

2ケタの数の平方数(11×11=121,12×12=144…19×19=361)を覚えていれば(→参考記事)、240に近い「15×15=225」を思い出して、240は225より大きいので「15×16が良さそうだな」と考えて、実際に15×16を筆算してみると240になりました♪

一方、2ケタの数の平方数を覚えていない場合でも「10×10=100」「20×20=400」で「240は100と400の間」というのは分かるので、10と20の間の15で「(N+1)×N」を作って試します。この場合は「15×16」を試します。

すると(偶然ですが)240になりました♪(もし筆算の結果が240より小さければ、今度は16×17を…大きければ14×15を…と240になるまで調べていきます。)

これでN=15、つまりピラミッドは15段と分かりました。

15段

確認テストをどうぞ

一段おきの合計

一段おきに(奇数段だけ)石を足していくと「平方数(四角数)」になります。

たとえば5段ピラミッドの奇数段(1段と3段)の石●と偶数段の石●の合計を出します。

「5」は奇数としては「(5+1)÷2=3」番目なので、5段ピラミッドの奇数段の石●の数は「3」の平方数3×3=9個になります。そして偶数段の石●は全部の合計(5×6÷2=)15個から●9個を引いた数なので6個と分かります。

一応、公式にすると、Nが奇数の時、N段ピラミッドは奇数としては「(N+1)÷2」番目のピラミッドになっているので、N段ピラミッドの奇数段の合計は{(N+1)÷2}×{(N+1)÷2} _個 になりますが、おぼえるというよりも問題が解ければいいですよ。

最外周の石の数

ピラミッドの一番外に並んでいる石の数を答える問題

これは方陣と同じような「区切り」を考えれば良いですね。

N段のピラミッドの最外周の石は (N-1)×3 と分かります。

まとめの確認テスト

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