ピラミッド算
(三角形に石を積む)
爽茶組体操で作るピラミッドのように石を三角形に積んでいきます。
ピラミッドのように
石の段が積み上がっていくイメージ
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(一番下の石)
(石の合計)
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1個
1個
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2個
1+2=3個
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3個
1+2+3=6個
最下段の石の数
一番下の段の石の数は段数と同じになっているので、N段のピラミッドの最下段の石の数はN個です。
15段のピラミッドの最下段の石は何個？
→( 15個 )
石の合計
全部の合計
上で見たように、1、3、6…と増えていきます(この数を三角数という)が、これを計算で求めます。
N段のピラミッドの石の合計は、1+2+3+…N 個になり、これは等差数列の和と同じ考え方で、N×(N+1)÷2と計算できます。
(例)4段ピラミッドの石の合計
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●●●○○
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ピラミッドを左側にそろえて、同じものをもう一つ付けると4×5の長方形になる。
つまり、4段ピラミッドの石の合計は4×5の長方形の半分なので、4×(4+1)×2 で求められる。
等差数列の合計＝(はじめの数+N番目の数)×N÷2 で、N団のピラミッドは「はじめの数」＝1、「N番目の数」=N なので、(1+N)×N÷2 になります。ここでは覚えやすいようにN段のピラミッドの石の合計は N×(N+1)÷2 としておきます。
よく分からない人は「等差数列の和」を見て下さい。
15段ピラミッドの石の合計は？
→( 15×(15+1)÷2＝120個 )
一段おきの合計
一段おきに(奇数段だけ)石を足していくと「平方数(四角数)」になります。
一段おきの石の合計は平方数になる
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1段
1個
(1×1)
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3段
1+3=
4個
(2×2)
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5段
1+3+5=
9個
(3×3)
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7段
1+3+5+7=
16個
(4×4)
Nが奇数の時、N段ピラミッドは奇数では(N+1)÷2番目のピラミッドになっているので、N段ピラミッドの奇数段の合計は{(N+1)÷2}×{(N+1)÷2} 個 になります。
この公式はおぼえるというよりも問題が解ければいいですよ。
奇数段は黒い石、偶数段は白い石で15段のピラミッドを作る時、黒い石は何個か？
→( 15段ピラミッドは奇数では(15+1)÷2=8番目のピラミッドなので、その奇数段(黒い石)の合計は8×8=64個 )
さっきの15段ピラミッドの白い石の個数は？
→( 15段ピラミッドの全部の石の合計は15×(15+1)÷2＝120個で、黒い石が64個あるから、白い石は120－64＝56個 )
最外周の石の数
これは方陣と同じような「区切り」を考えれば良いですね。
(例)5段ピラミッドの最外周の石
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方陣と同じように角と辺に分けて、一つづつ組み合わせると5-1=4個の石を含む「区切り」が3つできるので、最外周の石は4×3=12
N段のピラミッドの最外周の石は (N-1)×3 と分かります。
15段ピラミッドの最外周の石の個数は？
→( (15-1)×3=42個 )
最後に公式の確認テスト
- N段ピラミッドの最底辺の石の個数=( N個 )
- N段ピラミッドの石の合計
＝( N×(N+1)÷2 個 ) - N段ピラミッド(Nは奇数)の奇数段だけの石の合計
→Nは{(N+1)÷2}＝M番目の奇数で
＝( M×M 個 ) - N段のピラミッドの最外周の石の個数
=( (N-1)×3 個 ) - N段のピラミッドの最外周をもう一周増やすのに必要な石の数
=( (N+2)×3 個 )
爽茶