中学受験】碁石を正三角形に並べると?方陣算の応用

「石を三角形に並べる問題が苦手…」という中学受験生の方へ。

ルールがあったのは覚えているけど、ハッキリ思い出せないのでしょうね。

この機会にルールをきちんと憶えてしまいましょう!

この記事は、石を三角形に並べた「ピラミッド算」の考え方解き方を、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく解説します。

記事を読んで真似すれば、もう苦手では無くなっているはずですよ!

三角形に石を積む

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

今回は石を三角形に並べます。丸太を積んでいるのを正面から見て、木の断面の年輪が見えているような?イメージです。

三角形=ピラミッド

組体操で作るピラミッドのように石を三角形に積んでいきます。

ピラミッドのように
石の段が積み上がっていくイメージ
(段数)



(一番下の石)
(石の合計)
一段



1
1
二段


●●
2
1+2=3
三段

●●
●●●
3
1+2+3=6

最下段の石の数

一番下の段の石の数は段数と同じになっているので、N段のピラミッドの最下段の石の数はN個です。

確認テスト(タッチで解答表示)

15段のピラミッドの最下段の石は何個?
→( 15 )

石の合計

全部の合計

求め方

上で見たように、1、(1+2=)3、(1+2+3=)6…と増えていきます(この数を三角数という)が、これを計算で求めます。

N段のピラミッドの石の合計は、1+2+3+…N 個になり、これは等差数列の和と同じ考え方で、N×(N+1)÷2と計算できます。

(例)4段ピラミッドの石の合計

●●
●●●
●●●●


●●
●●●
●●●●
●○○○○
●●○○○
●●●○○
●●●●○
ピラミッドを左側にそろえて、
同じものをもう一つ付けると
4×5の長方形になる。
つまり、4段ピラミッドの石の合計は
4×5の長方形の半分なので、
4×5÷2 で求められる。

等差数列の合計=(はじめの数+N番目の数)×N÷2 で、N団のピラミッドは「はじめの数」=1、「N番目の数」=N なので、(1+N)×N÷2 になります。ここでは覚えやすいようにN段のピラミッドの石の合計は N×(N+1)÷2 としておきます。

よく分からない人は「等差数列の和」を見て下さい。

N段ピラミッドの石の数

→(1+2+3+…+N)個なので
等差数列の和の公式で(1+N)×N÷2

●図で考えて、N×(N+1)÷2 でも良い

(例)4段ピラミッド
4×(4+1)÷2=4×5÷2=10個


●●
●●●
●●●●


●●
●●●
●●●●
●○○○○
●●○○○
●●●○○
●●●●○ 
確認テスト

15段ピラミッドの石の合計は?
→( 15×(15+1)÷2=120 )

合計から段を求める

上と逆に、石の合計から段数を求めてみます。

実はこの問題は計算だけでは完璧には解けません。試行錯誤が必要になります。

1-1:ピラミッドの石の数から段数を求める

石を正三角形の形にびっしり並べたら合計が120個になった。何段のピラミッドになっているか
解説

ピラミッドがN段だとすると、1+2+…+N=(N+1)×N÷2=120になります。

(N+1)×N÷2=120から、(N+1)×N=240と分かります。

そして「(N+1)×N」は連続する2つの整数をかけたものなので、

かけ合わせたら240になるような連続する2つの整数」を見つければ良いと分かります。

2ケタの数の平方数(11×11=121,12×12=144…19×19=361)を覚えていれば(→参考記事)、240に近い「15×15=225」を思い出して、240は225より大きいので「15×16が良さそうだな」と考えて、実際に15×16を筆算してみると240になりました♪

一方、2ケタの数の平方数を覚えていない場合でも「10×10=100」「20×20=400」で「240は100と400の間」というのは分かるので、10と20の間の15で「(N+1)×N」を作って試します。この場合は「15×16」を試します。

すると(偶然ですが)240になりました♪(もし筆算の結果が240より小さければ、今度は16×17を…大きければ14×15を…と240になるまで調べていきます。)

これでN=15、つまりピラミッドは15段と分かりました。

15

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

三角形に石を詰めて並べたら276個だった。何段並べたか?
→( N段の合計N×(N+1)÷2=276なのでN×(N+1)=276×2=552になるようなNを探す )
→( 20×20=400、30×30=900、552はその間にあるので、まずは25×26を試してみると25×26=650で大きすぎるので、数を小さくしていく )
→( 24×25=600でまだ大きい。23×24=552で一致♪ )
→( N=23なので、23段 )

一段おきの合計

一段おきに(奇数段だけ)石を足していくと「平方数(四角数)」になります。

一段おきの石の合計は平方数になる




1段

1

(1×1)


●●
●●●
3段
1+3=
4
(2×2)

●●
●●●
●●●●
●●●●●
5段
1+3+5=
9
(3×3)

●●
●●●
●●●●
●●●●●
●●●●●●
●●●●●●●
7段
1+3+5+7=
16
(4×4)

たとえば5段ピラミッドの奇数段(1段と3段)の石●と偶数段の石の合計を出します。

「5」は奇数としては「(5+1)÷2=3」番目なので、5段ピラミッドの奇数段の石●の数は「3」の平方数3×3=9個になります。そして偶数段の石は全部の合計(5×6÷2=)15個から●9個を引いた数なので6個と分かります。

一応、公式にすると、Nが奇数の時、N段ピラミッドは奇数としては「(N+1)÷2」番目のピラミッドになっているので、N段ピラミッドの奇数段の合計は{(N+1)÷2}×{(N+1)÷2} になりますが、おぼえるというよりも問題が解ければいいですよ。

確認テスト

奇数段は黒い石、偶数段は白い石で15段のピラミッドを作る時、黒い石は何個か?
→( 15段ピラミッドは奇数では(15+1)÷2=8番目のピラミッドなので、その奇数段(黒い石)の合計は8×8=64 )

さっきの15段ピラミッドの白い石の個数は?
→( 15段ピラミッドの全部の石の合計は15×(15+1)÷2=120で、黒い石が64個あるから、白い石は120-64=56 )

最外周の石の数

ピラミッドの一番外に並んでいる石の数を答える問題

これは方陣と同じような「区切り」を考えれば良いですね。

(例)5段ピラミッドの最外周の石

●●
●●●
●●●●
●●●●●


●●

●●
●●●



●●
●●●●
方陣と同じように角と辺に分けて、
一つづつ組み合わせると
5-1=4個の石を含む「区切り」が3つできるので、
最外周の石は4×3=12

N段のピラミッドの最外周の石は (N-1)×3 と分かります。

確認テスト

15段ピラミッドの最外周の石の個数は?
→( (15-1)×3=42 )

まとめの確認テスト

ピラミッド算の公式(タッチで解答表示)
  • N段ピラミッドの最底辺の石の個数=( N )
  • N段ピラミッドの石の合計
    =( N×(N+1)÷2 )
  • N段ピラミッド(Nは奇数)の奇数段だけの石の合計
    →Nは{(N+1)÷2}=M番目の奇数で
    =( M×M )
  • N段のピラミッドの最外周の石の個数
    =( (N-1)×3 )
  • N段のピラミッドの最外周をもう一周増やすのに必要な石の数
    =( (N+2)×3 )
ピラミッド算は以上です!方陣算まとめに戻る

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