中学受験】中空方陣(ちゅうくうほうじん)とは？方陣算のメイン問題です

「中空方陣って何？」という低学年の方から「中空方陣の応用問題を解きたい」という中学受験生の方まで、まかせて下さい。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が基礎から応用まで分かりやすく説明します。

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中空方陣の石の数

こんにちは。図解講師の「そうちゃ」です

中空方陣ちゅうくうほうじんは人や石が内側を空けて正方形や長方形の形に集まった形(戦場でケガ人を中に入れて守ったりする陣形です)

はじめに中空方陣の石の数の計算方法を公式にします。

一列の中空方陣

1列の中空方陣は中実方陣の最外周と同じなので分かりますね。石の数は「(A-1)×4」個です。

2列の中空方陣

2列の中空方陣は「四隅」と「辺」に分けて(図➀)、それらを一組ずつ合わせて区切りを作ります(図➁)。一つの区切りは2×(A-2)の長方形になるので、石の数は{2×(A-2)}×4 _個になります

　区切り絵➀　　　　　区切り絵➁ほとんどの塾やテキストは
いきなり➁をかいているが
まず➀を書くことが大事。

例えば「一辺5個2列」の場合に実際の石を書くとこのようになりますが、一辺が多い場合や分からない場合は上のような「区切り絵」を書いて解きます。

3列以上の中空方陣

1列の中空方陣の石の個数を(A-1)×4 としましたが、実は区切りが1×(A-1)の長方形なので、{1×(A-1)}×4 です。そうすると

1列の中空方陣…{1×(A-1)}×4
2列の中空方陣…{2×(A-2)}×4

なので、3列の中空方陣の石は{3×(A-3)}×4 _個、4列なら{4×(A-4)}×4 _個…と予想できますね。実際それでOKです。

小まとめ

中空方陣の形を求める

今までは中空方陣の形(一辺の数と列幅)から石の数を求めましたが、今度は反対に石の数から中空方陣の形(一辺の数と列幅)を求めます。

列数と石の合計→一辺

列数が分かる場合は四隅が分かるので、それを手がかりにします。

確認テスト

96個の石を3列の中空方陣に並べると、一辺は何個になるか？
→一辺を3+?+3に分ける。
→四隅の合計は( 3×3=9個 ×4＝36個 )になる
→辺の部分の石の合計は( 96-36=60個 )
→辺一つは( 60÷4=15個 )の石を含む長方形
→？＝( 15÷3＝5 )なので一辺は( 3+5+3=11個 )

区切り図を書いて考えます

一辺と石の合計→列数

一辺が分かる場合は中実方陣とした場合の個数がわかるので、実際の石との差が中の空洞になります。

この時使う公式が、一辺A個で空洞の一辺がB個の中空方陣の石の数=(A×A)-(B×B) _個 です。

この式を使う練習をします。

確認テスト

96個の石を一辺11個の中空方陣にすると、何列になるか？
→中の空洞の一辺を?とする。
→一辺11個の中実方陣だとすると石の数は( 11×11=121個 )
→実際の96個との差( 121-96=25個 )が中の空洞
→( 25＝5×5 )なので、中の空洞の一辺？＝( 5個 )と分かる。
→方陣の一辺11から?=( 5 )を引いた残りの( 半分 )が列の大きさなので、列＝(11-5)÷2=3列

長方形の中空方陣

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まとめ確認テスト

空欄をタッチする(スマホ)かマウスポインタをのせる(パソコン)と答えが表示されます。

爽茶そうちゃ

中空方陣は以上です。方陣算のまとめに戻る

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