中学受験】方陣算とは?まとめて図解します!

方陣算の記事一覧

中実方陣 ●中空方陣

三角形に並べる

多角形に並べる

「方陣算」を学習している中学受験生の方、「石がたくさん並んでいて面倒くさい」「難しそう」と思っていませんか?
実は「区切り図」が書ければ簡単に解ける問題も多いんですよ!この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が授業で教えている「区切り図」の書き方を使った基礎から応用問題の解き方を分かりやすく説明します。記事を読んで真似するだけで方陣算が苦手で無くなりますよ!

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方陣算とは

方陣は戦争で兵士が作る正「方」形/長「方」形の「陣」形(Wikipediaでの解説)で、方陣算は石や人が正方形長方形に並んだ時の個数(人数)を計算する問題です。パズル・ゲームだと思って楽しみましょう!

石を並べる問題は、いくつかに分けて考えると楽に理解できます。「忠実方陣」「中空方陣」「三角陣」「多角形並べ」の順に説明していきます

中実方陣

中まで詰まった方陣です。石の数は正方形の面積と同じ式で出せます。

中実方陣

一辺A個の中実方陣
→「A×A」個の石を持つ

(例)一辺4個の中実方陣

4×4=16個の石が含まれる

一番右の図が大切です。

最外周の石の個数

一番外側(最外周)に並んだ石の数は4つのグループの合計で出します。

四隅を意識した区切り図を書いて、それをもとに4つのグループに分けます。

中実方陣の最外周の石

一辺A個の中実方陣の最外周の石の数
=(A-1)×4

(例)一辺4個の中実方陣の最外周の石の数
→(4-1)×4=12個

 

中実方陣
●●
●●
●●
●●
区切り図(井の図)

(うずまき図)

真ん中の「井の図」のような区切り図を書くのが方陣算を解く一番のコツです!

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の中実方陣の最外周の石の数は?
→( (10-1)×4=36 )

タテヨコ一列増やす

基本

ここでも「区切り図」を書けるようにしておく。

縦横一列増やす

一辺A個の中実方陣を縦横一列増やすのに必要な石の数
→(A×2)+1 個の石が必要

(例)一辺4個の中実方陣を縦横一列増やす
実体図
●●●●
●●●●
●●●●
●●●●
ふやしたところ
❶❷❸❹
●●●●
●●●●
●●●●
●●●●
=
区切り図

→(4×2)+1=9個の石が必要

応用(余った石で一列増やそうとすると不足)

区切り図を書いて考えてます。

「9個余ったので、タテ・ヨコ1列増やそうとしたら
2個足りなかった」場合の図

区切り図を描いて、等しい部分の大きさを求める

くわしく見たい、問題を解きたい人は「中実方陣」を見て下さい。

長方形の中実方陣

考え方は正方形の場合と同じです。

長方形(縦A×横B)の中実方陣

●石の総数→A×B

●最外周の石の数→{(A-1)+(B-1)}×2

●縦横一列ふやすのに必要な石の数
→(A+B)+1個

くわしい説明を読みたい「余ったので縦横一列増やそうとしたら足りない」等の問題を解きたい人は「中実方陣」を見て下さい。

中実方陣をじっくり学習したい人は参考記事「中実方陣」を見て下さい。

中空方陣

中空方陣ちゅうくうほうじんは中が詰まっていない方陣。一辺の数だけでなく「列幅」を考えないといけない。

中空方陣の石の数

中空方陣の一辺と列幅から石の数を求める

一列の中空方陣

1列の中空方陣は中実方陣の最外周と同じく「(A-1)×4」個です。

「一辺5」「列幅1」の中空方陣の場合
実体図
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
=
区切り(井)図

区切り(渦巻)図

(5-1)=4個を含む区切りが4個あるので、
中空方陣の石は全部で(5-1)×4=16個

ここでも区切り図(井の図→うずまき図)を書くと分かりやすいです。

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個1列の中空方陣の石の数は?
→( (10-1)×4=9×4=36個 )

2列の中空方陣

一つの区切りは2×(A-2)の長方形になるので、石の数は{2×(A-2)}×4 になる。

確認テストをどうぞ
確認テスト

一辺10個2列の中空方陣の石の数は?
→( 2×(10-2)の区切りが4つできるので )
→( 2×(10-2)×4=64個 )

3列以上の中空方陣

1列の中空方陣…{1×(A-1)}×4
2列の中空方陣…{2×(A-2)}×4 に続くので

3列…{3×(A-3)}×4
4列…{4×(A-4)}×4 個 と分かりますね

確認テスト

一辺が12個で4列の中空方陣に石は何個あるか?
→一辺12個4列の中空方陣の石は({4×(12-4)}×4 )個
→計算して( 32×4=128個 )

中空方陣の形を求める

石の数から中空方陣の形を求めます。

列数と石の合計→一辺

列数が分かる場合は四隅が分かるので、それを手がかりにします。

確認テスト

96個の石を3列の中空方陣に並べると、一辺は何個になるか?
→一辺を3+?+3に分ける。
→四隅の合計は( 3×3=9個 ×4=36個 )になる
→辺の部分の石の合計は( 96-36=60個 )
→辺一つは( 60÷4=15個 )の石を含む長方形
→?=( 15÷3=5 )なので一辺は( 3+5+3=11個 )

一辺と石の合計→列数

一辺が分かる場合は中実方陣とした場合の個数がわかるので、実際の石との差が中の空洞になります。

この時使う公式が、一辺A個で空洞の一辺がB個の中空方陣の石の数=(A×A)-(B×B) です。

この式を使う練習をします。

確認テスト

96個の石を一辺11個の中空方陣にすると、何列になるか?
→中の空洞の一辺を?とする。
→一辺11個の中実方陣だとすると石の数は( 11×11=121個 )
→実際の96個との差( 121-96=25個 )が中の空洞
→( 25=5×5 )なので、中の空洞の一辺?=( 5個 )と分かる。
→方陣の一辺11から?=( 5 )を引いた残りの( 半分 )が列の大きさなので、列=(11-5)÷2=3

長方形の中空方陣

 

小まとめ

中空方陣の公式(タッチで解答表示)
  • 一辺A個1列の中空方陣の石の数
    =( (A-1)×4 )
  • 一辺A個2列の中空方陣の石の数
    =( {2×(A-2)}×4 )
  • 一辺A個3列の中空方陣の石の数
    =( {3×(A-3)}×4 )
  • 一辺A個で空洞の一辺がB個の中空方陣の石の数
    =( (A×A)-(B×B) )

中空方陣をじっくり学習したい人は関連記事「中空方陣」を見て下さい。

ピラミッド算
(三角形に石を積む)

爽茶そうちゃ
今度は、石を三角形に並べます。丸太を積んでいるのを正面から見て、木の断面の年輪が見えているような?イメージです。

組体操で作るピラミッドのように石を三角形に積んでいきます。

最下段の石の数

一番下の段の石の数は段数と同じになっているので、N段のピラミッドの最下段の石の数はN個です。

確認テスト(タッチで解答表示)

15段のピラミッドの最下段の石は何個?
→( 15 )

石の合計

全部の合計

上で見たように、1、3、6…と増えていきます(この数を三角数という)が、これを計算で求めます。

N段のピラミッドの石の合計は、1+2+3+…N 個になり、これは等差数列の和と同じ考え方で、N×(N+1)÷2と計算できます。

等差数列の合計=(はじめの数+N番目の数)×N÷2 で、N団のピラミッドは「はじめの数」=1、「N番目の数」=N なので、(1+N)×N÷2 になります。ここでは覚えやすいようにN段のピラミッドの石の合計は N×(N+1)÷2 としておきます。

よく分からない人は「等差数列の和」を見て下さい。

確認テスト

15段ピラミッドの石の合計は?
→( 15×(15+1)÷2=120 )

一段おきの合計

一段おきに(奇数段だけ)石を足していくと「平方数(四角数)」になります。

Nが奇数の時、N段ピラミッドは奇数では(N+1)÷2番目のピラミッドになっているので、N段ピラミッドの奇数段の合計は{(N+1)÷2}×{(N+1)÷2} になります。
この公式はおぼえるというよりも問題が解ければいいですよ。

確認テスト

奇数段は黒い石、偶数段は白い石で15段のピラミッドを作る時、黒い石は何個か?
→( 15段ピラミッドは奇数では(15+1)÷2=8番目のピラミッドなので、その奇数段(黒い石)の合計は8×8=64 )

確認テスト

さっきの15段ピラミッドの白い石の個数は?
→( 15段ピラミッドの全部の石の合計は15×(15+1)÷2=120で、黒い石が64個あるから、白い石は120-64=56 )

最外周の石の数

これは方陣と同じような「区切り」を考えれば良いですね。

N段のピラミッドの最外周の石は (N-1)×3 と分かります。

確認テスト

15段ピラミッドの最外周の石の個数は?
→( (15-1)×3=42 )

小まとめ

ピラミッド算の公式(タッチで解答表示)
  • N段ピラミッドの最底辺の石の個数=( N )
  • N段ピラミッドの石の合計
    =( N×(N+1)÷2 )
  • N段ピラミッド(Nは奇数)の奇数段だけの石の合計
    →Nは{(N+1)÷2}=M番目の奇数で
    =( M×M )
  • N段のピラミッドの最外周の石の個数
    =( (N-1)×3 )
  • N段のピラミッドの最外周をもう一周増やすのに必要な石の数
    =( (N+2)×3 )
爽茶そうちゃ
ピラミッド算は以上です。次は石を多角形の形に並べる問題です。

石を多角形型に並べる

爽茶そうちゃ
最後は石を五角形や六角形に並べます。実は形だけでなく、石の並べ方が今までと違います。

石を五角形・六角形など多角形の形に並べると下のようになります。

多角形並べの特徴

上で説明した「方陣」「ピラミッド」との違いを理解すると問題が解きやすいです。

この「多角形並べ」は中心に必ず1個の石(へそ)があります。

上で見た「方陣」や「ピラミッド」には中心が無いこともあります。

多角形並べの石の数

上の図のままだと何個あるのか数えるのが難しいので、中心となる石(へそ)以外の石をピラミッドに分解します。

このピラミッドは多角形の辺の長さよりも1個少ない段になります。

上の図のような一辺4個の五角形の場合、ピラミッドは4-1=3段になります。
N段のピラミッドの石の数は「N×(N+1)÷2」でしたから、3段のピラミッドには3×(3+1)÷2=6個の石があって、これが5セット30個あります。
さらに中心の「へそ」1個を加えた31個が石の合計になります。

まとめると、一辺A個のN角形並べの石の合計は [{(A-1)×A÷2}×N]+1 になります。(この公式は覚えるというよりも作ることができればOKです。)

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の六角形に並べた石の数の合計は?
→へそ石1個と( 10-1=9段のピラミッド6個に分割できる。)
→ピラミッド1つに含まれる石は( 9×(9+1)÷2=45個 )なので
→合計は( (45×6)+1=271個 )

多角形並べの最外周の石

これは方陣と同じように「最外周の区切り絵」を書くと分かります。

((方陣、五角形並べ、六角形並べの「実体図」と「区切り絵」))

一辺6の五角形の場合は最外周に5個の石を含む区切りが5個できるので(6-1)×5=25個、一辺6の六角形の場合は最外周に5個の石を含む区切りが6個できるので(6-1)×6=30個になります。

つまり、一辺がA個のN角形並べでは、最外周には(A-1)個の石を含む区切りがN個できるので、最外周の石の数は (A-1)×N個 になります。

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の正七角形に並べた石の最外周の石の数は?
→最外周には( (10-1)=9個 )の石を含む区切りが( 7個 )できる
→最外周の石の数は( 9×7=63個 )

爽茶そうちゃ

方陣算は分かりましたね?他にも規則性の問題があるのでぜひ見て下さい。
植木算へ →数列へ

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市販の問題集では、とにかく沢山解きたい人には「方陣算(基本)(応用)」(サイパー算数)が、その他の単元の予習復習も行いたいなら算数の基本問題4年(日能研)がオススメです。

中学受験でお悩みの方へ

爽茶そうちゃ
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