中学受験】石を多角形に並べると?方陣算の応用問題

石を多角形型に並べる

爽茶そうちゃ
最後は石を五角形や六角形に並べます。実は形だけでなく、石の並べ方が今までと違います。

石を五角形・六角形など多角形の形に並べると下のようになります。

多角形並べの特徴

上で説明した「方陣」「ピラミッド」との違いを理解すると問題が解きやすいです。

この「多角形並べ」は中心に必ず1個の石(へそ)があります。

上で見た「方陣」や「ピラミッド」には中心が無いこともあります。

多角形並べの石の数

上の図のままだと何個あるのか数えるのが難しいので、中心となる石(へそ)以外の石をピラミッドに分解します。

このピラミッドは多角形の辺の長さよりも1個少ない段になります。

上の図のような一辺4個の五角形の場合、ピラミッドは4-1=3段になります。
N段のピラミッドの石の数は「N×(N+1)÷2」でしたから、3段のピラミッドには3×(3+1)÷2=6個の石があって、これが5セット30個あります。
さらに中心の「へそ」1個を加えた31個が石の合計になります。

まとめると、一辺A個のN角形並べの石の合計は [{(A-1)×A÷2}×N]+1 になります。(この公式は覚えるというよりも作ることができればOKです。)

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の六角形に並べた石の数の合計は?
→へそ石1個と( 10-1=9段のピラミッド6個に分割できる。)
→ピラミッド1つに含まれる石は( 9×(9+1)÷2=45個 )なので
→合計は( (45×6)+1=271個 )

多角形並べの最外周の石

これは方陣と同じように「最外周の区切り絵」を書くと分かります。

((方陣、五角形並べ、六角形並べの「実体図」と「区切り絵」))

一辺6の五角形の場合は最外周に5個の石を含む区切りが5個できるので(6-1)×5=25個、一辺6の六角形の場合は最外周に5個の石を含む区切りが6個できるので(6-1)×6=30個になります。

つまり、一辺がA個のN角形並べでは、最外周には(A-1)個の石を含む区切りがN個できるので、最外周の石の数は (A-1)×N個 になります。

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の正七角形に並べた石の最外周の石の数は?
→最外周には( (10-1)=9個 )の石を含む区切りが( 7個 )できる
→最外周の石の数は( 9×7=63個 )

爽茶そうちゃ

石の多角形並びはこれで終了です。方陣算のまとめに戻る

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爽茶そうちゃ
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