中学受験】石を多角形に並べた問題の解き方。たった2つのコツで簡単♪【方陣算類似

中学受験生で石を並べる問題に自信がない方へ。たしかに石がゴチャゴチャ並んでワケが分からなくなることがありますね…

でも大丈夫ですよ!たった2つの見方を身につけるだけで難しさは無くなります。

この記事は東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が石を五角形・六角形などに並べる場合の問題の考え方をわかりやすく説明します。

記事を読んで真似すれば、頭がスッキリ整理されて問題も落ち着いて解けるようになるでしょう。

「多角形並べ」の特徴

爽茶そうちゃ
方陣算では四角形に、ピラミッド算は三角形に石をならべました。今回は五角形・六角形などに石を並べます。

石を五角形・六角形など多角形の形に並べると下のようになります。

左端の「四角形」を見て「方陣算」を思い出す人もいるでしょう。しかし実は、この並べ方は方陣算とは違うのです。

どこが違うか分かりますか?

中心に○○がある

実は、この「多角形並べ」は中心に必ず1個の石(へそ)があります。

一方、「方陣」や「ピラミッド」には中心が無いこともあります。

この「へそ石」をよく覚えておきましょう。

多角形並べの問題

全部の石の数

全部の石の数を答える問題です。

もとの図のままだと何個あるのか数えるのが難しいので、中心となる石(へそ)以外の石をピラミッドに分解します。

このピラミッドは多角形の辺の長さよりも1個少ない段になります。

上の図のような一辺4個の五角形の場合、ピラミッドは4-1=3段になります。
N段のピラミッドの石の数は「N×(N+1)÷2」でしたから、3段のピラミッドには3×(3+1)÷2=6個の石があって、これが5セット30個あります。

(例)4段ピラミッドの石の合計

●●
●●●


●●
●●●
●○○○
●●○○
●●●○
ピラミッドを左側にそろえて、
同じものをもう一つ付けると3×4の長方形になる。
つまり、3段ピラミッドの石の合計は
3×4の長方形の半分なので、3×4÷2 で求められる。

さらに中心の「へそ」1個を加えた31個が石の合計になります。

まとめると、一辺A個のN角形並べの石の合計は [{(A-1)×A÷2}×N]+1 になります。(この公式は覚えるというよりも作ることができればOKです。)

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の六角形に並べた石の数の合計は?
→へそ石1個と( 10-1=9段のピラミッド6個に分割できる。)
→ピラミッド1つに含まれる石は( 9×(9+1)÷2=45個 )なので
→合計は( (45×6)+1=271個 )

最外周の石の数

これは方陣と同じように「最外周の区切り絵」を書くと分かります。

((方陣、五角形並べ、六角形並べの「実体図」と「区切り絵」))

一辺6の五角形の場合は最外周に5個の石を含む区切りが5個できるので(6-1)×5=25個、一辺6の六角形の場合は最外周に5個の石を含む区切りが6個できるので(6-1)×6=30個になります。

つまり、一辺がA個のN角形並べでは、最外周には(A-1)個の石を含む区切りがN個できるので、最外周の石の数は (A-1)×N個 になります。

確認テスト(タッチで解答表示)

一辺10個の正七角形に並べた石の最外周の石の数は?
→最外周には( (10-1)=9個 )の石を含む区切りが( 7個 )できる
→最外周の石の数は( 9×7=63個 )

まとめ

石の多角形並べ

●特徴:中心に「へそ石」がある

●一辺A個のN角形に並べた石の合計
→1個のへそ石と一辺(A-1)個のピラミッドがN個
=1+{(A-1)×A÷2}×N

(例)一辺4個の五角形に並べた場合
1+{(4-1)×4÷2}×5=31個

● 〃 最外周の石の合計
→(A-1)個の石を含む区切りがN個
= (A-1)×N

(例)一辺4個の五角形→(4-1)×5=15個

爽茶そうちゃ

石の多角形並びはこれで終了です。方陣算のまとめに戻る

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