中学受験】N進法の問題の解き方を分かりやすく【10進法へ/から変換

「N進法」と聞いて「何それ…難しそう!」「苦手!塾の授業がよく分からなかった…」と思ってしまう中学受験生の方へ

大丈夫ですよ!だって皆さんは普段から「10進法」を使っているんですからね。

一度きちんと「10進法」の仕組みを知れば「2進法」でも「3進法」でも必ず理解できますよ♪

この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が、10進法の仕組みから初めてN進法の応用問題まで分かりやすく説明します。

記事を読んで例題を解けば、N進法が好き/得意になるでしょう♪

数の仕組み(10進法)

数の作り(復習)

ケタの名前

 

ケタの読み方

右端(一の位)から4ケタづつ区切って、4ケタまとめて左から読む

「123456789012」→「1234,5678,9012」
→「1234億5678万9012」
→「せんにひゃくさんじゅうよん億,ごせんろっぴゃくななじゅうはち万,きゅうせんじゅうに」

数の大きさ=10進法

「234」を何と読みますか?

普通は「にさんよん」とは読まずに「にひゃくさんじゅうよん」と読みますね。

これは「234」を右から「一の位」「十の位」「百の位」と考えて、1×4+10×3+100×2=(100×2)+(10×3)+(1×4) と直しているからですね

普段何気なく使っている、この仕組みを「10進法」といいます。

10進法(簡易版)

●意味
➀ある位の数が10コ集まると次の位に繰り上がる仕組み
0から9までの10種類の数字で大きさを表す

●位の大きさ(右から)
1の位,10の位,100の位,1000の位…

(例)10進法の2312
2
1000の位
3
100の位
1
10の位
2
1の位
位の大きさに注目

●数の大きさ(例「2312」)
(1×2)+(10×1)+(100×3)+(1000×2)
=2312

確認テスト

「50293」が表す数の大きさを十進法の表現に直しなさい
→(10000×5)+(1000×0)+(100×2)+(10×9)+(1×3)

N進法の仕組み

N進法の意味

10進法では、ある位の数が10個集まると上(左)の位に繰り上がりました。

例えば「149」に1を加えると…、一の位に数が10個たまって繰り上がりが発生して「150」になりますね

10進法の仕組み

一の位に数が10個たまると
繰り上がりが発生する

これを2個集まると繰り上がるようにすると、例えば「101」に「1」を加えるだけで、繰り上がりが発生します。

2個で繰り上がる仕組み
(=2進法!)

101に1を足すだけで
繰り上がりが発生する(早!)

この仕組みは、2個で繰り上がるので「2進法」と言います。

10進法と2進法
10進法の仕組み
1つの位に数が10個たまると
繰り上がりが発生する
2進法の仕組み

1つの位に数が2個たまると
繰り上がりが発生する

N進法の位取り

普段使っている10進法では、位は右端から「一」「十」「百」にとなっています。なぜ「一」「二」「三」ではなく「一」「十」「百」になるのでしょう?

10進法では数10個で繰り上がるので、右端を「1」の位とするとその左となりの位は「1」が10個分なので「10」の位、その左となりの位は「10」が10個分なので10×10=「100」の位、次は100×10=「1000」の位…というふうに位を決めているんですね

つまり、10進法の位は右から「1」「10」「10×10」「10x10x10」…となります

10進法の位
2
10×10×10
1000の位
3
10×10
100の位
1
10
10の位
2
1
1の位
10のかけ合わせで位が決まる

この考え方で、10以外の数のしくみも作れますね!
例えば、上の図と同じ「2312」でも4進法だとどうなるでしょうか

4」進法なので右から「1」「4」「4×4」「4x4x4」、つまり「1の位」「4の位」「16の位」「64の位」となります(最初は10進法と同じく「1」なのに注意)

(例)4進法の2312
2
4×4×4
64の位
3
4×4
16の位
1
4
4の位
2
1
1の位
4のかけ合わせで位が決まる

このように、N進法の位は「1の位」「Nの位」「NxNの位」「NxNxNの位」…と決まっていきます

N進法の位どり

→Nのかけ合わせて決まっていく
「1の位」Nの位」NxNの位」NxNxNの位」…

(例)4進法の場合…
「1の位」4の位」16(4×4)の位」64(4x4x4)の位」

(例)4進法の2312
2
4×4×4
64の位
3
4×4
16の位
1
4
4の位
2
1
1の位

確認テストをどうぞ

2進法の位取りは右端からどうなっているか?
→(2をかけ合わせるので、右端から「1の位」「2の位」「4(2×2)の位」「8(2x2x2)の位」「16(2x2x2x2)の位」となる)

(参考)日常生活のN進法~時間

日常生活で使っているN進法もあります。それは時間です。

1秒・2秒…と増えていって1分になるのは、60秒後です。これは60で繰り上がりが発生しているので60進法と言えますね。

次に1分・2分…と増えていき1時間になるのは60分後で、これも60で繰り上がっているので60進法です。

そして1時間・2時間…と増えていき1日経つのは…60時間後でなく24時間後なので、ここでは繰り上がりが24で発生する24進法になっています。

ここまではきっちり1種類に決まった繰り上がりですが、この上の単位「月」「年」は不規則な繰り上がりになります。

「日から年」は30日・31日・28日・29日(うるう年)と4種類の繰り上がりがあり、「日から年」も365日か366日(うるう年)の2種類の繰り上がりがありますね。

ただ、「月から年」は12ヶ月で1年と決まっているので12進法の一種類です。

(参考)時間のN進法

●秒→分:60進法(60秒で1分)

●分→時:60進法(60分で1時間)

●時→日:24進法(24時間で1日)

●日→月:だいたい30進法
(30日/31日/28日/29日)

●日→年:だいたい365進法
(365日/366日)

●月→年:12進法(12ヶ月で1年)

N進法が表す数の大きさ(N進法→10進法)

N進法の位取りの仕組みが分かれば、もう問題が解けます♪

例えば、問題集のN進法の単元の最初の問題「4進法の2312が表す大きさはいくつか」という問題。

これは「4進法を10進法に直すといくつになるか」と同じことを聞いています。

1:N進法を10進法に直す

4進法の2312が表す大きさはいくつか(4進法の2312を10進法に直しなさい)
ヒント

普通の(10進法の)2312が表す大きさを式にして、それを4進法に応用する♪

解説

10進法では位が「1の位」「10の位」「100の位」「1000の位」だったので、
10進法「2312」が表す数の大きさは、(1000×2)+(100×3)+(10×1)+(1×2)=2312と計算しました。

つまり
数の大きさは「位の大きさx位の数」の合計で決まっています。
4進法でも同じように計算します♪

4進法の位は右から「1の位」「4の位」「16(4×4)の位」「64(4x4x4)の位」となっていましたね

よって、4進法の「2312」が表す数の大きさは(64×2)+(16×3)+(4×1)+(1×2)=182と計算できます。

2312(4)が表す数
2
4×4×4
64の位
3
4×4
16の位
1
4
4の位
2
1
1の位
(1×2)+(4×1)+(16×3)+(64×2)
=182が数の大きさになる
182

例題2(16進法)
N進法のNが10より大きい場合もあります。例えばコンピュータの世界で使われる16進法です。

16進法は「0」から「9」に加えて「A(=10)」「B(=11)」「C(=12)」「D(=13)」「E(=14)」「F(=15)」の合計16個の字を使います。

位取りは大きな数になります…右から「1の位」「16の位」「256(16×16)の位」「4096(16x16x16)の位」…になります。

(1)16進法の「A3F」が表す数の大きさはいくつか?

 

もっと問題を解きたい人は、記事下の「オススメ教材」を見て下さい

小まとめ

10進法(詳細版)

●意味
➀ある位の数が10コ集まると次の位に繰り上がる仕組み
0から9までの10種類の数字で大きさを表す

●位の大きさ(右から)
1の位,10の位,10×10の位,10×10×10の位…

(例)10進法の2312
2
10×10×10
1000の位
3
10×10
100の位
1
10
10の位
2
1
1の位
位の大きさに注目

●数の大きさ(例「2312」)
(1×2)+(10×1)+(100×3)+(1000×2)
=2312

確認テスト

N進法

●意味
➀ある位の数がN集まると次の位に繰り上がる仕組み
0からN-1までのN種類の数字で大きさを表す

(例)4進法
各位の数が4コ集まると繰り上がる仕組み
「0」から「3」までの4種類の数字で大きさを表す

●位の大きさ(右から)
1の位,Nの位,N×Nの位,N×N×Nの位…

(例)4進法
左から1の位,4の位,16(4×4)の位,64(4x4x4)の位

(例)4進法の2312
2
4×4×4
64の位
3
4×4
16の位
1
4
4の位
2
1
1の位
位の大きさに注目

●数の大きさ(例「2312(4)」)
(1×2)+(4×1)+(16×3)+(64×2)
=182

 

10進法→N進法

今度は10進法をN進法に直します。例えば10を2進法になおしてみましょう。

2進法の位は右から「1の位,2の位,4の位,8の位,16の位」だったので、右から4つめの8の位に「1」が立つのは分かります(「1???」)

そして10-8=2が残りの数なので、一つ右隣の4の位は「0」で(「10??」)、そのとなりの2の位に「1」が立って(「101?」)、終了です(「1010」)。

これで、10進法の「10」は2進法では「1010」になると分かりました。ちなみに「1010」だと10進法の「せんじゅう」と区別がつかないので、「1010(2)」と右下に2進法の印をつけます。

公式化

いちいち上のように考えるのも面倒くさいので、もっと気軽に2進法に直す方法を教えます。

最初の2進法の仕組みの図を思い出して、一番右の「一の位」に数(玉)をどんどん入れていくのを想像して下さい。

2進法の仕組み

1ケタ(縦穴)に数(玉)が2個入ると
繰り上がる(クリアされ隣に1個入る)

2進法は「ケタに数が2個集まると繰り上がりが発生する」数でしたから、全部入れ終わって一の位に残っている玉の数は、2個入れれば2個繰り上がって残り0、3個入れれば2個繰り上がって残り1個、4個入れれば2回2個繰り上がって0…というふうに2で割った余りになりますね。

この問題では数(玉)を10個入れるので、10÷2=50より、繰り上がりが5回発生して、1の位は0(玉が残っていない)と分かります。

そして繰り上がりが5回発生したので、次の2の位には数(玉)が5個入ります。この2の位では、5÷2=21より2回繰り上がりが発生して1残ると分かります。

この計算を2の割り算ができなくなるまで行ったのが、下図です。

10を2進法に直す
2
10
2
5
0
2
2
1
1
0
10=1010(2)

最後の段は、2÷2=10で終わっています。この1から「L」の字を描くように余りを読むと「1010」になって、これが答えです。

時間計算での説明

分→秒→時間は60進法なので、これを使った説明だと理解しやすい人もいるでしょう。

例えば、9030秒(10進法)が何時間何分何秒(60進法)に直すのを考えます(今まで習った方法とは違うかもしれません)。

9010秒÷60=150余り10  から、9030秒は150分10秒と分かります。

次に150分÷60=2余り30 から、150分は2時間30分と分かります。

2つの計算を合わせて、9010秒は2時間30分10秒と分かります。

9010秒を時・分・秒に直す
60
9010
60
150
10
2
30
9010秒=2時間30分10秒(60)

分かりましたか?

例題を解いてみましょう♪

3:10進法→N進法

以下の問いに答えなさい。
35を3進法に直しなさい
ヒント

35を3で割って答えと余りを下に連ねていきましょう♪

解説

35÷3を行うと?

35÷3=112 を35の左と下に記入します

ステップ1
3
35
11
2
35÷3=112

次の計算は…

11÷3=32 を11の左と下に記入します

ステップ2
3
35
3
11
2
3
2
11÷3=32

次で最後です

3÷3=10 を記入します。

35を3進法に直す
3
35
3
11
2
3
3
2
1
0
35=1022(3)

下からL字型に読むと「1022」で、これが3進法に直した答えです!

1022(3)
68を5進法に直しなさい
ヒント

同じようにGo♪

解説

68÷5=133 → 13÷5=23 で終了です。あっと言う間でした(汗)

68を5進法に直す
5
68
5
13
3
2
3
68=233(5)

下からL字型に読むと「233」ですね

233(5)
933を8進法に直しなさい
ヒント

大きい数ですが確実にGo♪

解説

こうなりますね

933を8進法に直す
8
933
8
116
5
8
14
4
1
6
933=1645(8)

下からL字型に読むと「1655」ですね

1655(8)

もっと問題を解きたい人は、記事下の「オススメ教材」を見て下さい。

[作成中]N進法の文章問題

考え方

難しく考えすぎない。

まず、問題の仕組みが何進法か判断する。10進法は「0」から「9」までの10個の数字を使った仕組みであることを思い出し、一つの位や部品に何種類の記号や状態があるかを考えれば良い。

この仕組は問題の中では変わらないのが普通なので、後は小問ごとに「N進法→10進法」と「10進法→N進法」のどちらの問題かを判断して、上で練習したように解けば良い。

マス目の問題

 

電球の問題

 

メーターの問題

 

その他の問題

 

 

[作成中]変則N進法の問題

ちょっと変則的な文章題で、これが解ければ難関中学でも受験者平均点は取れるでしょう

禁じられた数字(怖)

4と9を使わないホテル

 

397を使わないマラソン大会

 

限定された数字

5963だけの肩たたき大会

 

37564だけの武闘大会

 

オススメ教材

爽茶そうちゃ
もっと問題を解きたい人にオススメ教材を紹介
参考書・問題集
●N進法だけの問題集は見当たりませんが、その他の単元を合わせて予習復習をしたい場合、「算数の基本問題」シリーズ(日能研)がオススメ(N進法は6年の第3章にあります)(→教材の目次・比較ページ)
●小6受験生には「算数ベストチェック」(日能研)が薄くて良いです(2進法が収録)が、詳しい説明が欲しい人には「中学入試 塾技100(算数)」がオススメ(N進法も収録)(→教材の比較ページ)
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最後まで読んでいただきありがとうございました♪
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