中学受験】等差数列の「はじめの数」や「公差」を求めるには？

等差数列の基本をガチガチに固めたい！」という中学受験生の方、まかせて下さい♪東大卒講師歴20年の管理人が「はじめの数」や「公差」の求め方を分かりやすく図解します。ライバルに差をつけられますよ！

目次をクリックすると、好きなところにジャンプできます。

等差数列の基本(復習)

等差数列の基本図を見ると４つの要素があるのが分かります。

①「はじめの数」
②「公差」
③「N」(「番目」)
④「N番目の数」

④「N番目の数」③「N」が基礎なので、確認テストをどうぞ。(出来なかった人は「数列の総合案内」から復習すると良いですね!)

今回は、残りの①「はじめの数」②「公差」を求めます。

等差数列の「差」を求める

解き方を理解♪

例題1

公式にしてみる

例題を解く時に使った計算を公式の形にすると、こうなります。

ですが、この公式自体を暗記しなくても問題がとければOKです！

類題で定着！

では、類題で練習しましょう！

類題1(公差を求める練習)

これで「公差」の出し方は大丈夫ですね？

「はじめの数」の求め方

等差数列の基本の最後は「はじめの数」を求める問題です。

解き方を理解

誘導に従って解いて下さい

●例題1

◯,◯,15,◯,◯,◯,27…　という等差数列がある(◯の数字は分かりません)。次の問いに答えなさい

例題1(1)

等差数列「◯,◯,15,◯,◯,◯,27…」の公差はいくつか？

図解

分かっている数「15」「27」に注目すると、15から27までは12増加しています。、

そして「27」と「15」の間の公差は4個なので、公差4個＝12と分かります。

したがって、公差1個は12÷4=3と分かります。

図1:公差を求める

公差4個分が12

3

例題1(2)

等差数列「◯,◯,15,◯,◯,◯,27…」のはじめの数はいくつか？

図解

15と「はじめの数」の間の公差は=2個で、公差2個分は3✕２＝6になります。

よって「はじめの数」=15－6＝９と分かります。

図2:

15から公差2つ分減らすと「はじめの数」

9

公式にしてみる

今行った計算を公式にすると、こうなります。

等差数列のはじめの数

＝N番目の数－{公差×(Nー1)}
*(Nー1)が公差の個数になっている

(例)等差数列「○,○,26,○,42」の「はじめの数」は？
→公差は(42-26)÷2=8
→はじめの数は26-{8×(3-1)}=10

ですが、この公式も無理に暗記せずとも問題が解ければOKです。

類題で定着！

類題で練習して下さい

●類題2

14番目の数が108、21番目の数が164である等差数列があります。以下の問いに答えなさい。

類題1(1)

14番目の数が108、21番目の数が164である等差数列の公差を求めなさい

ヒント

「番号の付いた植木算」を思い出すと良いです。

図解

▼

14番目と21番目の差は164-108=56です。これが公差何個分にあたるのか考えます。

14番目と21番目の間に公差がいくつあるのかは、番号付き植木算を思い出すと簡単です。

図1:番号付き植木算

番号の差が間(公差)の個数になる

番号の差が21－14=7なので公差も7個です。

つまり差56=公差7個分です。

まず図を書くのが大切

よって公差一つは56÷7=8 とわかります。

8

類題1(2)

14番目の数が108、21番目の数が164である等差数列のはじめの数を求めなさい

ヒント

ここでも公差の数を間違えないように…

図解

▼

はじめの(1番目の)数と14番目の数の間の公差の数は14-1=13個です。

そして、さっき公差が8と出たので「はじめの(1番目の)数」と14番目の数の差は13×8=104です。

図3:「はじめの数」を求める

14番から公差13個分を引く

よって、はじめの数は108-104=4 と分かります。

4

今回の問題は以上です。お疲れさまでした。

まとめとプリント

差と初めの数の求め方をもう一度見てみましょう。

等差数列の公差

＝(N番目の数－はじめの数)÷(Nー1)
*(Nー1)が公差の個数になっている。

(例)等差数列「４,◯,◯,◯,32…」の公差?
→5番目の数が32,はじめの数なので、(32-4)÷(5-1)=7

等差数列のはじめの数

＝N番目の数－{公差×(Nー1)}
*(Nー1)が公差の個数になっている

(例)等差数列「○,○,26,○,42」の「はじめの数」は？
→公差は(42-26)÷2=8
→はじめの数は26-{8×(3-1)}=10

これらは暗記するというよりも式を作ることができればOKです。

この記事で使った問題の「解答解説」プリントをダウンロードできます。書き込み可能な「問題」プリントはコチラでまとめてダウンロードできます。

「初めの数と公差」プリント

問題用紙

(サンプルのみ)

&

解答解説

(ダウンロード可)

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爽茶そうちゃ

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