等差数列の基本をガチガチに固めたい！」という中学受験生の方、まかせて下さい♪東大卒講師歴20年の管理人が「はじめの数」や「公差」の求め方を分かりやすく図解します。ライバルに差をつけられますよ！
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等差数列の基本(復習)
等差数列の基本図を見ると４つの要素があるのが分かります。
①「はじめの数」
②「公差」
③「N」(「番目」)
④「N番目の数」
④「N番目の数」③「N」が基礎なので、確認テストをどうぞ。(出来なかった人は「数列の総合案内」から復習すると良いですね!)
「1,7,13…」という等差数列がある時、15番目の数は？
→N番目の数＝はじめの数+{公差×(N-1)}
→( 1+6×(15-1)＝85 )
127は何番目か？
→N={(N番目の数-はじめの数)÷差}+1
→( {(127-1)÷6}+1=22番目 )
今回は、残りの①「はじめの数」②「公差」を求めます。
等差数列の「差」を求める
解き方を理解♪
例題1
32が何番目か、はじめの数からいくつ増えているかを考えます。
32は「はじめの数」4から32－4＝28増えています。
そして32は5番目の数で「はじめの数」に公差を5－1＝４回足したものです。
つまり公差を4回加えたら28増えたということです
公差4回分が28なので、公差1つは28÷4＝７と分かります。
7
公式にしてみる
例題を解く時に使った計算を公式の形にすると、こうなります。
＝(N番目の数－はじめの数)÷(Nー1)
*(Nー1)が公差の個数になっている。
(例)等差数列「４,◯,◯,◯,32…」の公差?
→5番目の数が32,はじめの数なので、(32-4)÷(5-1)=7
ですが、この公式自体を暗記しなくても問題がとければOKです！
類題で定着！
では、類題で練習しましょう！
類題1(公差を求める練習)
はじめの数が13で、20番目の数が108である等差数列がある。以下の問いに答えなさい。
- 公差はいくつか？
- 1000番目の数はいくつか？
●類題1-(1)
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
はじめの数と20番目の数の差は95
20番目の数まで公差は20－1＝19個あります。
(植木算の「間＝木-1」ですね)
よって、公差19個分が95にあたると分かります。
公差1つは95÷19=5 ですね
答: 5[/su_spoiler]
●類題1-(2)
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
公差が分かったので、N番目の数を求める公式が使えます。
N番目の数＝初めの数+{公差×(N-1)}
これに、初めの数＝13,公差=5,N＝1000を入れてみると
13+5×(1000-1)＝5008 と分かります。
答: 5008
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これで「公差」の出し方は大丈夫ですね？
「はじめの数」の求め方
等差数列の基本の最後は「はじめの数」を求める問題です。
解き方を理解
誘導に従って解いて下さい
●例題1
◯,◯,15,◯,◯,◯,27… という等差数列がある(◯の数字は分かりません)。次の問いに答えなさい
例題1(1)
分かっている数「15」「27」に注目すると、15から27までは12増加しています。、
そして「27」と「15」の間の公差は4個なので、公差4個＝12と分かります。
したがって、公差1個は12÷4=3と分かります。
3
例題1(2)
15と「はじめの数」の間の公差は=2個で、公差2個分は3✕２＝6になります。
よって「はじめの数」=15－6＝９と分かります。
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公式にしてみる
今行った計算を公式にすると、こうなります。
＝N番目の数－{公差×(Nー1)}
*(Nー1)が公差の個数になっている
(例)等差数列「○,○,26,○,42」の「はじめの数」は？
→公差は(42-26)÷2=8
→はじめの数は26-{8×(3-1)}=10
ですが、この公式も無理に暗記せずとも問題が解ければOKです。
類題で定着！
類題で練習して下さい
●類題2
14番目の数が108、21番目の数が164である等差数列があります。以下の問いに答えなさい。
類題1(1)
「番号の付いた植木算」を思い出すと良いです。
14番目と21番目の差は164-108=56です。これが公差何個分にあたるのか考えます。
14番目と21番目の間に公差がいくつあるのかは、番号付き植木算を思い出すと簡単です。
番号の差が21－14=7なので公差も7個です。
つまり差56=公差7個分です。
まず図を書くのが大切
よって公差一つは56÷7=8 とわかります。
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類題1(2)
ここでも公差の数を間違えないように…
はじめの(1番目の)数と14番目の数の間の公差の数は14-1=13個です。
そして、さっき公差が8と出たので「はじめの(1番目の)数」と14番目の数の差は13×8=104です。
よって、はじめの数は108-104=4 と分かります。
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3(2)の解答は7→9です。
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爽茶これで数列の基本学習がおわりました。「数列の総合案内」から「数列の和」に進んで下さい。