「数列を予習したい」習い始めたけれど分かりづらい」と感じている中学受験生の方へ。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が数列を分かりやすく図解します。
この記事の最後でプリントがダウンロードできますので是非ご利用下さい。
等差数列とは？
爽茶こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。
説明よりも問題を解きたい人はコチラにジャンプして下さい。
等差数列のしくみ
さて問題です。この「数字の列」を見て下さい。
2 , 5 , 8 , 11 …
次の数字が何か分かりますか？(▼をクリック)
14です！正解したアナタは「この数字の列はメチャクチャな並びでは無く、ルールがある」分かったということですね。素晴らしい！
この数字の「ルール」というのは、一番左の「2」から右に一つ進むにつれて3ずつ増えていく、というものです。
このように等しい差で増えていく数字の列を等差数列と言います。
数字がたくさんあるので、呼びやすいように名前をつけます。
- 一番左の(最初の)数
=「はじめの数」(「1番目の数」) - 等しい増え分(差)
=「公差」(「公」は「共通の」という意味)
解く前に…○を書き込む
数列を見たら、まず数の差を書き込みましょう。差が等しければ等差数列です(図1)。さらに数字の上に番号を書き込みます(図2)
これで問題を解く準備が終了です。
爽茶等差数列の「N番目の数」を求める
爽茶今回は「N番目の数」を出す問題です。
まず誘導形式で解き方を理解して下さい！
考え方を理解♪
実は数列の問題は時間さえあれば初めから書いて求められます。
しかし、その方法だと「1000番目」には対応できません(汗)。
そこで、計算で求める方法(公式)を考えます
例題1
気楽に考えて下さい♪
●例題1-1(1)
初めの数2に公差3を加えているので「5＝2＋3 」と表せますね。
5＝2＋3
●例題1-1(2)
3番目の「８」は、初めの数2に公差3を2回足しているので「8＝2＋3+3 」と表わせます。
8=2＋3+3
●例題1-1(3)
4番目の数「11」は、公差3を3回足しているので
「 11＝2＋3+3+3 」と表せます。
11=2＋3+3+3
+3を何度も書くのが面倒くさくなりましたね？(私もですｗ)
そこでこの部分を掛け算にすると、こうなります。
上の図を見て「あれ？」と思ったあなたは鋭い！
そうです。3番目の数を出すのに+3を3回ではなく2回、4番目の数を出すのに+3を4回ではなく3回足しているのですね。
つまり、等差数列に出てくる数は「自分の番目より1つ少ない回数分の公差を「初めの数」に足した数」になります。
例えば、100番目の数なら100-1で公差を99回足し、1000番目の数なら1000-1で999回足すことになります。
なぜ公差の回数が番目より1少なくなるかというと、植木算と同じです。
木が4つなら間の数は1少ない3つになりました。(図1)。数列の場合は数が4つなら公差は1少ない3つになります(図2)
興味がある人復習したい人は「植木算の基本：直線状に並べた植木」を読んで下さい。
「N番目の数」の公式
今の考え方を、もう少し覚えやすい形の「公式」に直すと、等差数列のN番目の数は「初めの数+{公差×(N-1)}」と表すことができます。
この公式を使えば、1000番目でも計算で出せますね!
試しに20番目の数を出しましょう。
●例題1-2
公式「N番目の数＝初めの数+{公差×(N-1)}」を使います。
公式を使うときは公式の形を崩さずに、数字を入れていきます。
これを「代入(だいにゅう)」と言います。(くわしく読むには▼をクリック)
「代入」はハンバーガーの中身だけをハンバーグからテリヤキチキンに変えるような作業です。
チキンバーガーに変わっても、全体の「形」は上から「パン→中身→パン」と変わっていません。
関連記事「算数が苦手な子には『公式』と『代入』を」を見て下さい。
この問題では公式の最初の「N番目の数」の「N」の代わりに20を入れて「20番目の数＝」にします。
続いて、「初めの数」に2、「公差」に3，「N」に20を入れて、答えを出すと…(▼をクリック)
20番目の数＝2+{3×(20-1)} という形になります。{3×(20-1)} の部分を先に計算することに注意して下さい。
これを計算すると2+{3×19}＝2+57＝59です。59
爽茶このように、等差数列の「N番目の数」は公式に入れれば簡単に出すことができます。
類題で公式の使い方を練習しましょう！
練習問題で定着！
類題1
「N番目の数＝初めの数+{公差×(N-1)}」
はじめの数は3、公差は7、Nは13 です。
公式に入れると、13番目の数＝3+{7×(13-1)} です
計算すると3+7×12＝3+84＝87です。87
次はルールが少し変わった問題です。
類題2
公式が変わります。
N番目の数＝初めの数－{公差×(N-1)}
減っていく数列では、もとの公式
「N番目の数＝初めの数+{公差×(N-1)}」
のプラス(+)をマイナス(ー)に変えて、こうなります。
N番目の数＝初めの数－{公差×(N-1)}
初めの数＝98、公差＝3、N＝15 をこの公式に入れると、15番目の数＝98－3×(15-1)となります。
これを計算すると98-3×14＝98-42＝56です。
56
次は文章題です(作成中)。
貯金(貯水)の問題
バネの問題
ろうそく(消費・排水)の問題
最後は、応用問題です。
●応用類題
この類題では植木算で学習した「番目」と「番差」を使います。「番目」は植木「番差」は間と同様に考えて、こうなります
「番差」＝「番目」－1
「番目」＝「番差」+1
忘れた方、未見の方は関連記事「番号付き植木算」を見て下さい。
類題1(1)
まず、真ん中が何番目か(N)を求めます。
奇数(1,3,5…)個の物が並んでいる場合、最初の番号と最後の番号の合計を2で割った答えが真ん中の番号になります。
奇数(1,3,5…)個の物が並んでいる場合、最初の番号と最後の番号の合計を2で割った答えが真ん中の番号になります。5個並んでいる場合を思い浮かべれば分かります(図1)。
この問題では最初=1で最後=35なので(1+35)÷2＝18より真ん中は18番目と分かります(図2)。
5個の真ん中は(1+5)÷2
35個の真ん中は(1+35)÷2
↓
N=18と分かったので、18番目の数を求めます。
初めの数＝1、公差＝6、N＝18で公式の形を作ると、18番目の数＝1+6×(18-1) となります。
これを計算すると1+6×17＝1+102＝103です。
103
類題1(2)
順番の計算には「番目」ではなく「番差」を使います。9番目=9-1＝8番差です。
まず「真ん中から数えて9番目」が、はじめから何番目の数なのか(Nがいくつか)を求めます
9番目＝9-1＝8番差なので、真ん中(18番目)から9番目は18+8＝26番目になります。
↓
次に26番目の数を求めます。
初めの数＝1、公差＝6、N＝26で公式の形を作ると、18番目の数＝1+6×(26-1) となります。
これを計算すると1+6×25＝1+150＝151です。
151
類題1(3)
これも、まずNを求めます。
後ろから数えて6番目の数は、前に35-6＝29個の数があります。
後ろから数えて6番目の数は、前に35-6＝29個の数があるので、前から数えると、29+1＝30番目になります
後ろから6番目→前には35-6=29個ある→30番目
↓
N=30と分かったので、30番目の数を求めます。
初めの数＝1、公差＝6、N＝30 を公式に入れると、30番目の数＝1+6×(30-1)となります。
これを計算すると1+6×29＝1+174＝175です。
175
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まとめとプリントダウンロート
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●数列だけを解きたい場合、低学年の入門用には「等差数列(上)」
●数列だけでなく算数全体の復習をしたい場合、小4受験生には「算数の基本問題4年」(日能研)
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