中学受験】等差数列とは?基本問題(N番目の数)の解き方。無料プリントも

等差数列の例(はじめの数2,公差3)

「数列を予習したい」習い始めたけれど分かりづらい」と感じている中学受験生の方へ。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が数列を分かりやすく図解します。

この記事の最後でプリントがダウンロードできますので是非ご利用下さい。

等差数列とは?

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

数列が初めての人のために、等差数列は何か説明します。
説明よりも問題を解きたい人はコチラにジャンプして下さい。

等差数列のしくみ

さて問題です。この「数字の列」を見て下さい。

図1:

2 , 5 , 8 , 11 …

11の次は何でしょう?

次の数字が何か分かりますか?(▼をクリック)


14です!正解したアナタは「この数字の列はメチャクチャな並びでは無く、ルールがある」分かったということですね。素晴らしい!

この数字の「ルール」というのは、一番左の「2」から右に一つ進むにつれて3ずつ増えていく、というものです。

このように等しい差で増えていく数字の列等差数列と言います。

数字がたくさんあるので、呼びやすいように名前をつけます。

  • 一番左の(最初の)数
    =「はじめの数(「1番目の数」)
  • 等しい増え分(差)
    =「公差(「公」は「共通の」という意味)

等差数列の要素と呼び方

解く前に…○を書き込む

数列を見たら、まず数の差を書き込みましょう。差が等しければ等差数列です(図1)。さらに数字の上に番号を書き込みます(図2)

図1:

差を書き込むと等差数列と分かる。
図2:

数字(番目)を書き込む

これで問題を解く準備が終了です。

等差数列の意味

爽茶そうちゃ
等差数列が何か分かったので、基本問題を解いていきましょう!

等差数列の「N番目の数」を求める

爽茶そうちゃ

今回は「N番目の数」を出す問題です。

まず誘導形式で解き方を理解して下さい!

考え方を理解♪

実は数列の問題は時間さえあれば初めから書いて求められます

しかし、その方法だと「1000番目」には対応できません(汗)。

そこで、計算で求める方法(公式)を考えます

例題1

等差数列 2,5,8,11…がある。以下の問いに答えなさい。
考え方

気楽に考えて下さい♪

●例題1-1(1)
等差数列 2,5,8,11の2番目の数「5」を初めの数「2」と公差「3」を用いて表すとどうなるか?
解答(▼をクリック)

初めの数2に公差3を加えているので「523 」と表せますね。

5=2+3

●例題1-1(2)
数列 2,5,8,11の3番目の数「8」を初めの数「2」と公差「3」を用いて表すとどうなるか?
解答

3番目の「8」は、初めの数2に公差32回足しているので「823+3 」と表わせます。

等差数列の数のつくり。3番目の数8=2+3+3 

●例題1-1(3)
2,5,8,11の4番目の数「11」を初めの数「2」と公差「3」を用いて表すとどうなるか?
解答

4番目の数「11」は、公差33回足しているので
「 1123+3+3と表せます。

等差数列の数のつくり。4番目の数 11=2+3+3+3

+3を何度も書くのが面倒くさくなりましたね?(私もですw)

そこでこの部分を掛け算にすると、こうなります。

等差数列の数のつくり。公差は数字より1つ少ない

上の図を見て「あれ?」と思ったあなたは鋭い!

そうです。3番目の数を出すのに+33回ではなく2回4番目の数を出すのに+34回ではなく3回足しているのですね。

つまり、等差数列に出てくる数は「自分の番目より1つ少ない回数分の公差を「初めの数」に足した数」になります。

等差数列のN番目の数のつくり

例えば、100番目の数なら100-1で公差を99回足し、1000番目の数なら1000-1で999回足すことになります。

なぜ公差の回数が番目より1少なくなるかというと、植木算と同じです。

木が4つなら間の数は1少ない3つになりました。(図1)。数列の場合は数が4つなら公差は1少ない3つになります(図2)

図1:植木算

間は木より1つ少ない
=
図2:数列

差は数より1つ少ない

興味がある人復習したい人は「植木算の基本:直線状に並べた植木」を読んで下さい。

「N番目の数」の公式

今の考え方を、もう少し覚えやすい形の「公式」に直すと、等差数列のN番目の数は「初めの数+{公差×(N-1)}」と表すことができます。

等差数列のN番目の求め方公式

この公式を使えば、1000番目でも計算で出せますね!

試しに20番目の数を出しましょう。

●例題1-2
等差数列 2,5,8,11…の20番目の数はいくつか?
ヒント

公式「N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}」を使います。

図解

公式を使うときは公式の形を崩さずに、数字を入れていきます。

これを「代入(だいにゅう)」と言います。(くわしく読むには▼をクリック)


「代入」はハンバーガーの中身だけをハンバーグからテリヤキチキンに変えるような作業です。

チキンバーガーに変わっても、全体の「形」は上から「パン→中身→パン」と変わっていません。

関連記事「算数が苦手な子には『公式』と『代入』を」を見て下さい。

この問題では公式の最初の「N番目の数」の「N」の代わりに20を入れて「20番目の数=」にします。

続いて、「初めの数」に2、「公差」に3,「N」に20を入れて、答えを出すと…(▼をクリック)


20番目の数2+{3×(20-1)} という形になります。{3×(20-1)} の部分を先に計算することに注意して下さい。

等差数列の20番目の数は、はじめの数に公差を19回足した数

これを計算すると2+{3×19}=2+57=59です。59

爽茶そうちゃ

このように、等差数列の「N番目の数」は公式に入れれば簡単に出すことができます。

類題で公式の使い方を練習しましょう!

練習問題で定着!

類題1

等差数列 3,10,17,24…13番目の数を求めなさい
ヒント

N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}」

図解

はじめの数は3、公差は7、Nは13 です。

公式に入れると、13番目の数3+{7×(13-1)} です

計算すると3+7×12=3+84=87です。87

次はルールが少し変わった問題です。

類題2

等差数列 98,95,92,89…15番目の数を求めなさい
ヒント(▼をクリック)

公式が変わります。

N番目の数初めの数{公差×(N-1)}

図解

減っていく数列では、もとの公式
N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}」
のプラス(+)をマイナス(ー)に変えて、こうなります。

N番目の数初めの数{公差×(N-1)}

初めの数=98、公差=3、N=15 をこの公式に入れると、15番目の数983×(15-1)となります。

これを計算すると98-3×14=98-42=56です。

56

次は文章題です(作成中)。

貯金(貯水)の問題

バネの問題

ろうそく(消費・排水)の問題

最後は、応用問題です。

●応用類題

等差数列 1,7,13,19…が35番目まで並んでいる。次の問いに答えなさい。
ヒント

この類題では植木算で学習した「番目」と「番差」を使います。「番目」は植木「番差」は間と同様に考えて、こうなります

番目と番差

「番差」=「番目」-1
「番目」=「番差」+1

忘れた方、未見の方は関連記事「番号付き植木算」を見て下さい。

類題1(1)
等差数列 1,7,13,19…が35番目まで並んでいる。真ん中の数はいくつか
ヒント(▼をクリック)

まず、真ん中が何番目か(N)を求めます。

奇数(1,3,5…)個の物が並んでいる場合、最初の番号と最後の番号の合計を2で割った答えが真ん中の番号になります。

図解

奇数(1,3,5…)個の物が並んでいる場合、最初の番号と最後の番号の合計を2で割った答えが真ん中の番号になります。5個並んでいる場合を思い浮かべれば分かります(図1)。

この問題では最初=1で最後=35なので(1+35)÷2=18より真ん中18番目と分かります(図2)。

図2

35個の真ん中は(1+35)÷2


N=18と分かったので、18番目の数を求めます。

初めの数=1、公差=6、N=18で公式の形を作ると、18番目の数1+6×(18-1) となります。

これを計算すると1+6×17=1+102=103です。

103

類題1(2)
等差数列 1,7,13,19…が35番目まで並んでいる。真ん中から数えて9番目の数はいくつか
ヒント

順番の計算には「番目」ではなく「番差」を使います。9番目=9-1=8番差です。

図解

まず「真ん中から数えて9番目」が、はじめから何番目の数なのか(Nがいくつか)を求めます

9番目=9-1=8番差なので、真ん中(18番目)から9番目は18+8=26番目になります。

次に26番目の数を求めます。
初めの数=1、公差=6、N=26で公式の形を作ると、18番目の数1+6×(26-1) となります。

これを計算すると1+6×25=1+150=151です。

151

類題1(3)
等差数列 1,7,13,19…が35番目まで並んでいる。後ろから数えて6番目の数はいくつか
ヒント

これも、まずNを求めます。

後ろから数えて6番目の数は、前に35-6=29個の数があります。

図解

後ろから数えて6番目の数は、前に35-6=29個の数があるので、前から数えると、29+1=30番目になります


N=30と分かったので、30番目の数を求めます。

初めの数=1、公差=6、N=30 を公式に入れると、30番目の数1+6×(30-1)となります。

これを計算すると1+6×29=1+174=175です。

175

爽茶そうちゃ
お疲れ様でした!これで「N番目の数」を求める問題は終了です

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((作成中))

まとめとプリントダウンロート

等差数列の意味とN番目の数の出し方のまとめ

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数列(1)解説
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最後まで読んでいただきありがとうございました!この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです♪
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