中学受験】仕事算とは?問題の解き方を図解。比なしと比あり【小学生

5年で学習することが多いが、その際は「比」と一緒になって出てくる。

算数が苦手な生徒さんの場合、頭に負担がかかることがある。

そこで、4年のうちに「比なしの仕事算」を解けるようにしておくと良い

整数の仕事算
(受験小4)

仕事「算」と聞くと難しそうだと思う人もいるかもしれませんが、別に特別な考え方ではありませんよ。

考え方を理解♪

1-1:仕事算の基本

大きな缶を空けるとクッキーが60枚入っていました。以下の問いに答えなさい。
一日2枚ずつ食べると何日で食べ終わりますか?
(ヒント)

気楽に答えて下さい

(解答)

60枚のクッキーを2枚づつ小さな袋に分けていくのと同じなので、60÷2=30日 ですね。

これが仕事算です。簡単でしょう?

30
(考え方の解説)

仕事算では何かをすることを「仕事」と考えます(この場合はクッキー60枚を食べるのが「仕事」!ですね)

そして「1日2枚」のような仕事をする(食べる)速さを「ペース」と呼びましょう

仕事を終わらせる(クッキーを食べ終わる)のにかかる時間はそのまま「時間」で良いでしょう。

仕事算で使う数字

●「仕事(量)」
→やるべきこと全体の量

●「ペース」
→1時間や1日でする仕事の量

●「時間」倍…
→仕事を終わらせるのにかかる時間

今の問題では「時間」を「仕事(60)」÷「ペース(2個/日)」=30日 と求めました。

15日で食べ終わるには1日何枚食べれば良いですか?
(解説)

60枚を15等分すれば良いので、60÷15=4 で1日4枚ですね。

これは「ペース」を「仕事(60枚)」÷「時間(15日)」=4枚/日 と求めたことになります。

4
別の大きな缶にもクッキーが入っていました。これを(2)と同じペースで食べていたらちょうど10日で食べ終わりました。こちらの缶には何枚入っていたでしょうか?
(解説)

1日4枚のペースで10日なので、クッキーは4×10=40枚あったと分かりますね。

これは「仕事量」を「ペース(4枚/日)」×「時間(10日)」=40枚 と求めたことになります

40

このように、仕事算では3つの数値「仕事(量)」「ペース」「時間」を使って計算を行います。

途中で出てきた3つの数値の関係をまとめると、次のようになります(仕事算の公式)

仕事算の公式

●仕事(60枚)=ペース(2枚/日)×時間(30日)

●時間(30日)=仕事(60枚)÷ペース(2枚/日)

●ペース(2枚/日)=仕事(60枚)÷時間(30日)

何か別の公式と似ていると思いませんか?

そう!これは「速さ」の公式と似ていますね!

速さの公式

●道のり(12km)=速さ(4km/時)×時間(3時間)

●時間(3時間)=道のり(12km)÷速さ(4km/時)

●速さ(4km/時)=道のり(12km)÷時間(3時間)

「仕事→道のり」「ペース→速さ」「時間→時間」と変えれば同じですね。仕事算は速さの問題とほぼ同じです。

ペースの変更

一人で仕事をするが、途中でペースを変える場合

Q1ペースの確定

Q2残り何日で終わるか

Q3つるかめ算(面積図)

二人仕事算

では基本公式を利用した問題を解いてみましょう。

1-2:複数人で仕事

120個のアメが入った缶が何個かあります。Aさんは1缶を60日で、Bさんは1缶を40日で食べます。次の問いに答えなさい。
AさんとBさんが2人で1缶を同時に食べたらアメは何日でなくなりますか?
(解説)

まず、ABそれぞれのペースを出します。

Aのペースは120÷60=2個/日、Bのペースは120÷40=3個/日 です。

2人が同時に食べるとき、1日に減る量は2+3=5枚/日になります。これが2人分のペースになります。

この5枚/日のペースで120枚のアメを食べるので、時間=仕事(120)÷ペース(5)=24日で食べ終わると分かります。

24

このようにある人と他の人の「ペース」は足し算できます。(場合によっては、引き算もできます)

複数の人が同時に仕事

それぞれのペースを合計する

(例1)
製品を1日3個作るAと4個作るBが同時に仕事
→製品は1日に3+4=7個作られる。

(例2)
水を1分で2L汲むポンプCと3L汲むポンプDで
同時に汲み上げる
→水は1分に2+3=5L汲み上げられる。

新しい缶を開けて、はじめはAさん1人がさっきと同じペースで10日間食べ、残りはAB2人で食べました。アメがなくなるのに全部で何日かかりますか?
(解答)

Aさんが10日で食べる量(仕事)は、ペース(2)×時間(10)=20個で、残りは120-20=100個です。

これを2人で5枚/日のペースで食べるので、100÷5=20日かかります。

全部で10+20=30日かかると分かります。

30

今計算したことは面積図に表すことができます。

最初の10日間は2(タテ)×10(横)=20(面積)の長方形、次の20日間は5×20=100の長方形

合わせると「L字型の面積図」になります。

面積図


L字型の面積図になります。
ということは…
また新しい缶を開けて、はじめの何日かはBが1人で食べ、残りをAB2人で食べたところ、全部で26日かかった。Bが1人で食べていたのは何日間か?
(解説)

小問(2)の面積図を見て「次はつるかめ算かな」と思った人は鋭いですね!

これは「チョコ3個入りの箱と5個入りの箱があわせて26個あって、中のチョコを出したら120個になった。3個入りの箱はいくつか?」と同じ問題です。

面積図
つるかめ算ですね

?を出すには、{(26×5)-120}÷(5-3)=5で5日と分かります。

5

面積図を使わない場合(置き換え法=差集め算)でも計算は同じです。

解き方が分からない/忘れた人は「L字型の面積図」を見て下さい。

類題で定着!

類題1-1

(作成中)

これで仕事算の基本は終了です。

小まとめ

仕事算(基本)

●3つの公式
・仕事(60枚)=ペース(2枚/日)×時間(30日)
・時間=仕事÷ペース
・ペース=仕事÷時間

●複数人で同時に仕事→ペースを合計

●2人の仕事の合計時間しか分からない場合
→つるかめ算と同じ計算をする(面積図)

分数の仕事算
(受験小4)

仕事の量が示されていない場合

例えば

このような場合は仕事全体の量を「1」とおいて、それぞれのペースを分数で出しておく

その後のやり方は、計算が少し面倒になりますが整数の場合と全く同じです。

 

比ありの仕事算
(受験小5)

比を学習した後は、仕事の量が示されていない場合に

「速さと比」と同じような関係がある。

速さと比

●道のりと速さの比は等しい

●道のりと時間の比は等しい

●速さと時間の比は逆になる

仕事と比

●仕事全体と仕事ペースの比は等しい

●仕事全体と時間の比は等しい

●仕事ペースと時間の比は逆になる

このように、2人の時間の比などから仕事の比を求めて、その数字を元に仕事全体の量を決めます。

後は、整数の場合や分数の場合と全く変わりません。

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