中学受験】仕事算とは？問題の解き方を図解【小学生

5年で学習することが多いが、その際は「比」と一緒になって出てくる。

算数が苦手な生徒さんの場合、頭に負担がかかることがある。

そこで、4年のうちに「比なしの仕事算」を解けるようにしておくと良い

具体量が示される仕事(受験小4)

仕事「算」と聞くと難しそうだと思う人もいるかもしれませんが、別に特別な考え方ではありませんよ。

考え方を理解♪

例題に答えながら、仕事算を理解しましょう

このように、仕事算では3つの数値「仕事(量)」「ペース」「時間」を使って計算を行います。

途中で出てきた3つの数値の関係をまとめると、次のようになります(仕事算の公式)

何か別の公式と似ていると思いませんか？

そう！これは「速さ」の公式と似ていますね！

「仕事→道のり」「ペース→速さ」「時間→時間」と変えれば同じですね。仕事算は速さの問題とほぼ同じです。

ペースの変更

一人で仕事をするが、途中でペースを変える場合

Q1ペースの確定

Q2残り何日で終わるか

Q3つるかめ算(面積図)

二人仕事算

では基本公式を利用した問題を解いてみましょう。

1-2:何人かで仕事

120個のアメが入った缶が何個かあります。Aさんは1缶を60日で、Bさんは1缶を40日で食べます。次の問いに答えなさい。

AさんとBさんが2人で1缶を同時に食べたらアメは何日でなくなりますか？

解説

まず、ABそれぞれのペースを出します。

Aのペースは120÷60=2個/日、Bのペースは120÷40=3個/日 です。

2人が同時に食べるとき、1日に減る量は2+3=5枚/日になります。これが2人分のペースになります。

この5枚/日のペースで120枚のアメを食べるので、時間=仕事(120)÷ペース(5)=24日で食べ終わると分かります。

24日

このようにある人と他の人の「ペース」は足し算できます。(場合によっては、引き算もできます)

複数の人が同時に仕事

それぞれのペースを合計する

(例1)
製品を1日3個作るAと4個作るBが同時に仕事
→製品は1日に3+4=7個作られる。

(例2)
水を1分で2L汲むポンプCと3L汲むポンプDで
同時に汲み上げる
→水は1分に2+3=5L汲み上げられる。

新しい缶を開けて、はじめはAさん1人がさっきと同じペースで10日間食べ、残りはAB2人で食べました。アメがなくなるのに全部で何日かかりますか？

解説

Aさんが10日で食べる量(仕事)は、ペース(2)×時間(10)=20個で、残りは120-20=100個です。

これを2人で5枚/日のペースで食べるので、100÷5=20日かかります。

全部で10+20=30日かかると分かります。

30日

今計算したことは面積図に表すことができます。

最初の10日間は2(タテ)×10(横)=20(面積)の長方形、次の20日間は5×20=100の長方形

合わせると「L字型の面積図」になります。

面積図

↓

L字型の面積図になります。
ということは…

また新しい缶を開けて、はじめの何日かはBが1人で食べ、残りをAB2人で食べたところ、全部で26日かかった。Bが1人で食べていたのは何日間か？

解説

小問(2)の面積図を見て「次はつるかめ算かな」と思った人は鋭いですね！

これは「チョコ3個入りの箱と5個入りの箱があわせて26個あって、中のチョコを出したら120個になった。3個入りの箱はいくつか？」と同じ問題です。

面積図

つるかめ算ですね

？を出すには、{(26×5)-120}÷(5-3)=5で5日と分かります。

5日

面積図を使わない場合(置き換え法=差集め算)でも計算は同じです。

解き方が分からない/忘れた人は「L字型の面積図」を見て下さい。

これで仕事算の基本は終了です。

小まとめ

具体量が示されない仕事
(受験小4～)

仕事の量が示されていない場合

例えば、「Aさんが3時間で終わる仕事」「Bさんが5時間かかる仕事」のような問題

全体の仕事量を自分で決めないと計算ができません。

ここで2種類の決め方を紹介します。

①仕事全体の量を「1」とおく
②仕事全体の量を1以外の整数とおく

②の方が簡単なのですが、②が分からないこともあるので、①も出来るようにしておく必要があります。

仕事全体を1以外の整数とおく

たとえば「Aさん1人だと5日間、Bさん1人だと6日間で終わる仕事」があるとします。

仕事の全体量を5と6の最小公倍数30とおくと、Aのペース=30÷5=6、Bのペース=30÷6=5 とペースも整数になるので計算が楽そうですね。

あとは上と同じように解けばOKです。

例題

仕事全体を1とおく

登場する人物全員の所要時間が問題文からはっきりせず最小公倍数が出せない場合は仕事全体の量を「1」とおきます。

例えば「Aは仕事全体の13を4時間で終わらせ、Bは仕事全体の1/2を5時間で終わらせる」という場合

Aのペースは13÷4=112、Bのペースは12÷5=110 と決まります。

この場合、ペースは分数になるので計算が面倒くさく感じるかもしれませんが、解き方自体は上と同じです。

例題
Aは仕事全体の13を4日で終わらせ、Bは仕事全体の1/2を5日で終わらせる。以下の問いに答えなさい

(1)AさんBさんがそれぞれ1人で仕事を終わらせるのに何日かかるか

仕事全体を1とおくと、Aのペースは13÷4=112、Bのペースは12÷5=110 と決まる

Aさん一人で仕事を終えるのにかかる時間は、1÷1/12=12日、Bさんは1÷1/10=10日かかります。

(2)AB二人で仕事をすると、仕事が終わるのは何日目か？

二人同時のペースは1/12+1/10=5/60+6/60=11/60です。

かかる時間は1÷11/60=60/11=5と5/11日なので、終わるのは6日目(の途中)です。

(3)Aさんが何日か一人で仕事をした後、Bさんが残りの仕事をしたところ、11日目の終わりにちょうど仕事が終わった。ABはそれぞれ何日間働いたか？

仕事のつるかめです。L字型全体の面積が1、全体の横幅が11,左(A)の高さ(ペース)が1/12、右(B)の高さ(ペース)が1/10です。

((図))

Aの日数は、{(1/10×11)-1}÷(1/10-1/12)=1/10÷1/60=6日、Bは11-6=5日と分かります。

「具体料が示されない仕事」は以上です。

ペースから決める
(比ありの仕事算)
(受験小5)

上で見たように、比を学ぶ前は仕事の全体量を先に決めてからペースを求めていましたが、比を学習した後は「速さと比」と同じような関係を利用してペースを先に決めます。

三番目の公式を使って、2人の時間の比などから仕事の比を求め、その数字を元に仕事全体の量を決めます。

例えば「A一人だと6時間、B一人だと8時間かかる仕事がある」なら、時間の比が3:4なのでペースの比は逆の4:3と分かるので、Aのペースを④にBのペースを➂とおき、全体の仕事量を➂x6=⑱(Aを使って計算した場合)とおきます。

また「Aが3日休んだ分をBが働くと4日間働かなくてはならない」も同じ比、同じペースになります。

2人の関係が直接的に「AはBの43倍働く」と書いてある場合もA:B=43:1=4:3なので同じです。

このように、比を使ってペースを先に決めると「とりあえず」問題を先に解き進めるので、複雑な問題を解くのに便利なのです。

では実際に問題を問いていきましょう。

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