中学受験】仕事算とは？基本公式から比を使った応用問題の解き方まで図解【小5小6

中学受験生で「仕事算が苦手！」な方へ。

確かに仕事算は5年で「比」と一緒に出てきて難しく感じることがあります。しかし、仕事算自体は「比」とは関係ありません。

そこで、4年生の方は「比」が出てくる前の先取りとして、５年生の方は一歩下がった基礎固めとして「比なしの仕事算」を学習することをオススメします

「比」無しの仕事算だけを学んでみると意外と簡単でしょうから、その後「比」ありの仕事算を学べばラクに身につけることが出来るでしょう♪

この記事では東大卒講師歴２０年の図解講師「そうちゃ」が「比なしの仕事算」から「比ありの仕事算」まで分かりやすく解説します。

記事を読んで例題を解けば仕事算が苦手では無くなっているでしょう♪

具体量が示される仕事(受験小4)

仕事算の「仕事」

普通、「仕事」と聞くと、お金をもらうために働くことを思い浮かべるでしょう。

しかし、仕事算の「仕事」はお金をもらえるかどうかは関係ありません。

100pの本を読むのも、チョコを20個食べるのも「仕事」です。

つまり仕事算では何かをすることを「仕事」と考えます。

考え方を理解♪

例題に答えながら、仕事算の考え方を理解しましょう

1-1:仕事算の基本

大きな缶を空けるとクッキーが48枚入っていました。以下の問いに答えなさい。

1日2枚ずつ食べると何日で食べ終わりますか？

ヒント

気楽に答えて下さい

解答

48枚のクッキーを2枚づつ小さな袋に分けていくのと同じなので、48÷2=24日 ですね。

これが仕事算です。簡単でしょ？

24日

考え方

この場合はクッキー48枚を食べるのが「仕事」です

そして「1日2枚」のような仕事をする(食べる)速さを「ペース」と呼びましょう

仕事を終わらせる(クッキーを食べ終わる)のにかかる時間はそのまま「時間」で良いでしょう。

仕事算で使う数字

●「仕事(量)」
→やるべきこと全体の量

●「ペース」
→1時間や1日でする仕事の量

●「時間」
→仕事を終わらせるのにかかる時間

今の問題では「時間」を「仕事(48)」÷「ペース(2個/日)」=24日 と求めました。

16日で食べ終わるには1日何枚食べれば良いですか？

解説

48枚を16等分すれば良いので、48÷16＝3 で1日3枚ですね。

これは「ペース」を「仕事(48枚)」÷「時間(16日)」=3枚/日 と求めたことになります。

3枚

別の大きな缶にもクッキーが入っていました。これを(2)と同じペースで食べていたらちょうど10日で食べ終わりました。こちらの缶には何枚入っていたでしょうか？

解説

1日3枚のペースで10日なので、クッキーは3×10＝30枚あったと分かりますね。

これは「仕事量」を「ペース(3枚/日)」×「時間(10日)」=30枚 と求めたことになります

30枚

このように、仕事算では3つの数値「仕事(量)」「ペース」「時間」を使って計算を行います。

途中で出てきた3つの数値の関係をまとめると、次のようになります(仕事算の公式)

この公式を長方形のような面積図にするとこうなります

仕事算の面積図

仕事(面積)=ペース(タテ)x時間(ヨコ)

「仕事＝ペース×時間」を「長方形の面積=たてxよこ」にしています

では練習問題をどうぞ

1-1:仕事算の基本

爽太くんは等しい数のアメが入った箱を3つもらった。以下の問いに答えなさい。

1箱目は一日4個ずつ食べたら25日でちょうど空になった。箱はアメ何個入りだったのか？

解説

「アメ全部を食べる」のを仕事とすると、仕事量=ペースx時間=4×25=100個

100個入り

2箱目はちょど10日で空になった。一日何個のペースで食べたか？

解説

ペース=仕事量÷時間=100÷10=10個/日

10個/日

3箱目は食べるペースを減らて2週間目に食べたあと残りを数えたら16個だった。あと何日で空になるか？

ヒント

最後の計算に注意しましょう

解説

2週間=14日間で食べたアメは100-16=84個なので、食べるペースは84÷14=6個/日。

このペースで残り16を食べるのにかかる時間は16÷6＝2余り4より、2日(6個食べる)+1日(4個だけ食べる)=3日

あと3日

最後の日だけは食べる個数(ペース)が変わってしまいました。
本格的な仕事算ではこの「ペースの変更」が問題になります。

「速さ」との類似

「速さ」を学習した人は気づいたかもしれませんが、「速さ」の公式と似ていますね！(まだ「速さ」を学習していない小4受験生は、関連サイト「そうちゃ式算数2号館」の「速さの基本」で速さの基礎だけ学習しておくとライバルに追いつく/差をつけられますよ♪)

「仕事→道のり」「ペース→速さ」「時間→時間」と変えれば同じですね。仕事算は速さの問題とほぼ同じです。

面積図も速さの面積図と似ています。

「仕事=ペースx時間」を「長方形の面積=たてxよこ」の面積図にすると、こうなります

ペースの変更

少し本格的な問題を考えます。途中で仕事のペースを変える場合です

1-2:ペースを途中で変更する

Aさんは毎日60枚の色紙にサインするアルバイトをしています。以下の問いに答えなさい。

一昨日は20分で仕事が終わった。一昨日の仕事のペースは何枚/分か？

解説

「ペース=仕事量÷時間」に仕事量60枚、時間20分を入れて、ペース=60枚÷20分=3枚/分

3枚/分

昨日は、はじめの16分間は前日(一昨日)のペースで仕事した後、ペースを2枚/分にした。全部で何分かかるか？

解説

はじめの16分にした仕事は3×16=48枚で、残りは60-48=12枚。

それを終えるのに12÷2=6分かかるから全部で16+6=22分

22分

今の様子を面積図にするとこうなります。ペースが変わると高さが異なる長方形が出来て、全体としてL字形になります

面積図

ペースが変わるとL字形になる

L字形の左部分は3枚/日のペースで16分仕事をした量(48)を右の部分は2枚/日のペースで6分仕事した量(12)を表しています。

L字形の面積図といえば、つるかめ算の面積図を思い出します(よね？)

つるかめ算の面積図

L字形です

実際、解き方もつるかめ算と同じになるのを次の小問で確かめて下さい

今日は4枚/分のペースで開始して途中で2枚/分のペースにしたら全部で24分かかった。ペースを変更したのは開始から何分後か？

解説

つるかめ算と同じように解きましょう

解説

「はじめのペース4,あとのペース2,合計の時間24分、全部の仕事60」を面積図にするとこうなります

図1:

説明書き

この図の「？」をつるかめ算と同じように求めます(解き方が分からない/忘れた人は「L字型の面積図」を見て下さい)

図1:

説明書き

24分全部4枚/分で仕事すると4×24=96枚(大きな長方形)で、実際の仕事との差は96-60=36枚(欠け部分)。

1分ペースを2枚/分に変えると4-2=2(欠けのタテの長さ)減るので、2枚/分で仕事したのは36÷2=18分間(欠けのヨコの長さ)。

変更したのは24-18=6分後と分かります。

6分後

この「ペースの変更」が分かれば仕事算の問題を解く準備はほとんど終了といってよいです

ちなみに、「仕事算」と「速さ」の問題は解き方が似ているので、「速さ」の速度を変更する問題も同様に解けます。興味がある人は関連記事「速さの基本」内の「速さのつるかめ」を見て下さい。

練習問題(2020.6.7作成中)

 

二人仕事算

1人だけで仕事をするのも寂しいので(笑)、2人以上で「仕事」をする場合を考えてみましょう♪

1-3:何人かで仕事

120個のアメが入った缶が何個かあります。Aさんは1缶を60日で、Bさんは1缶を40日で食べます。次の問いに答えなさい。

AさんとBさんが2人で1缶を同時に食べたらアメは何日でなくなりますか？

解説

まず、ABそれぞれのペースを出します。

Aのペースは120÷60=2個/日、Bのペースは120÷40=3個/日 です。

2人が同時に食べるとき、1日に減る量は2+3=5枚/日になります。これが2人分のペースになります。

この5枚/日のペースで120枚のアメを食べるので、時間=仕事(120)÷ペース(5)=24日で食べ終わると分かります。

24日

新しい缶を開けて、はじめはAさん1人がさっきと同じペースで10日間食べ、残りはAB2人で食べました。アメがなくなるのに全部で何日かかりますか？

解説

Aさんが10日で食べる量(仕事)は、ペース(2)×時間(10)=20個で、残りは120-20=100個です。

これを2人で5枚/日のペースで食べるので、100÷5=20日かかります。

全部で10+20=30日かかると分かります。

30日

今計算したことは面積図に表すことができます。

最初の10日間は2(タテ)×10(横)=20(面積)の長方形、次の20日間は5×20=100の長方形

合わせると「L字型の面積図」になります。

面積図

↓

L字型の面積図になります。
ということは…

また新しい缶を開けて、はじめの何日かはBが1人で食べ、残りをAB2人で食べたところ、全部で26日かかった。Bが1人で食べていたのは何日間か？

解説

小問(2)の面積図を見て「次はつるかめ算かな」と思った人は鋭いですね！

これは「チョコ3個入りの箱と5個入りの箱があわせて26個あって、中のチョコを出したら120個になった。3個入りの箱はいくつか？」と同じ問題です。

面積図

つるかめ算ですね

？を出すには、{(26×5)-120}÷(5-3)=5で5日と分かります。

5日

面積図を使わない場合(置き換え法=差集め算)でも計算は同じです。

解き方が分からない/忘れた人は「L字型の面積図」を見て下さい。

このようにある人と他の人の「ペース」は足し算できます。(場合によっては、引き算もできます)

これで仕事算の基本は終了です。

小まとめ

具体量が示されない仕事
(受験小4～)

仕事の量が示されていない場合、例えば「Aさんが3時間で終わる仕事」「Bさんが5時間かかる仕事」のような問題を解くには、全体の仕事量を自分で決めないと計算ができません。

ここで2種類の決め方を紹介します。

②の方が簡単なのですが、②が分からないこともあるので、①も出来るようにしておく必要があります。

まずは簡単な②から説明します

仕事全体を1以外の整数とおく

たとえば「Aさん1人だと5日間、Bさん1人だと6日間で終わる仕事」の場合

仕事の全体量を5と6の最小公倍数30とおくと、Aのペース=30÷5=6、Bのペース=30÷6=5 とペースも整数になるので計算が簡単そうですね♪

あとは上と同じように解けばOKです。例題で試してみましょう

2-1-1:仕事を整数とおく

Aが1人ですると10日、Bが1人だと15日で終わる仕事がある。以下の問いに答えなさい。

仕事をAB2人で同時に行うと何日で終わるか

解説

仕事の全体量を10と15の最小公倍数30とおくと、Aのペース=30÷10=3、Bのペース=30÷15=2 で、AB2人で行うペース=3+2=5となる。

よって2人で仕事を終えるのにかかる時間は仕事30÷ペース5=6日

6日

何日かBが1人で仕事して、途中からAも加わったところ、ちょうど9日で仕事が完成した。Bは何日間1人で仕事をしたか

ヒント

途中でペースが変わる→つるかめ算ですね

解説

はじめはB1人でペースは2、途中からA+Bでペースは5、合わせて9日で30の仕事をしたので「仕事のつるかめ算」の面積図にするとこうなります。

面積図

ペースが変わるとL字形

？がB1人で仕事をした日数です。これをつるかめ算の解法で求めると

面積図を解く

「欠け(15)」を求めるのがポイント

?(Bが1人で仕事した日数)={(9×5)-30}÷(5-2)=5

5日間

練習問題(2022.6.14作成中)

 

仕事全体を1とおく

一方、仕事を終わらせるのにかかる時間(所要時間)が問題文からはっきり読み取れない場合があります。

例えばこんな問題です

2-2-1:所要時間が不明

Aは仕事全体の13を4時間で終わらせ、Bは仕事全体の12を5時間で終わらせる

こういうときは仕事全体を最小公倍数におけませんが、かわりに仕事全体の量を「1」とおけばペースを計算できます。

さっきの「Aは仕事全体の13を4時間で終わらせ、Bは仕事全体の12を5時間で終わらせる」なら、Aのペースは13÷4=112、Bのペースは12÷5=110 と決まります。

この場合、ペースは分数になるので計算が面倒くさく感じるかもしれませんが、解き方自体は上と同じです。

例題を解いてみましょう

2-2-1:仕事を1とおく

Aは仕事全体の13を4日で終わらせ、Bは仕事全体の12を5日で終わらせる。以下の問いに答えなさい

AさんBさんがそれぞれ1人で仕事を終わらせるのに何日かかるか

解説

仕事全体を1とおくと、Aのペースは13÷4=112、Bのペースは12÷5=110 と決まるAさん一人で仕事を終えるのにかかる時間は、1÷112=12日、Bさんは1÷110=10日です。

A:12日,B:10日

AB二人で仕事をすると、仕事が終わるのは何日目か？

解説

二人同時のペースは112+110=560+660=1160です。

かかる時間は1÷1160=6011=5511日なので、終わるのは6日目(の途中)。

6日目

Aさんが何日か一人で仕事をした後、Bさんが残りの仕事をしたところ、11日目の終わりにちょうど仕事が終わった。ABはそれぞれ何日間働いたか？

解説

「仕事のつるかめ」です。面積図にすると、L字型全体の面積が1、全体の横幅が11,左(A)の高さ(ペース)が112、右(B)の高さ(ペース)が110です。

面積図

左右が分数のL字形

Aが1人で働いた日数「？」を出します。

面積図を解く

分数なのが少し面倒ですが…

Aの日数は、{(110×11)-1}÷(110–112)=110÷160=6日、Bが11-6=5日と分かります。

A:6日,B:5日

確認テスト(2020.6.6作成中)

 

のべ仕事算(帰一算)

ここまでは2人以上で仕事をする場合に「Aさん」「Bさん」というように1人1人に個性がありました=1人1人ペースが違いましたが、個性の無い＝ペースが同じ複数の人間が共同で仕事をする場合があります。

このような仕事算を「のべ」仕事算と呼びます

1種類の人間

3-1:のべ仕事算

ある建物を建てるのに20人が働いて5日間かかった。以下の問いに答えなさい

無名で個性のない人=ペースが同じ人達が出てくるのがこの問題の特徴です。

普通の仕事算と同じように、まずペースを出してみましょう。

仕事全体が具体的な数値でないので1とおくと、一日の仕事のペースは1÷5=15と求められますが、これは20人が一日でする仕事量です。

1人分の仕事量はこれをさらに人数(20)で割らないといけません。15÷20=1100が1人分の1日のペースになります。

*別解
5×20=100を仕事量にして、1人1日分のペースを100÷5÷20=1としても良い)

このような個性の無い複数の人が働く仕事算「のべ仕事算」では、1人のペースを出す式が「普通の仕事算」より少し複雑になります。

この考えを使って、例題を考えてみましょう

3-1:のべ仕事算

建物を建てるのに20人が働いて5日間かかった。以下の問いに答えなさい。

同じ建物を作るのに25人で働くと何日かかるか？

解説

仕事全体を1とすると、1日分1人の仕事のペースは 1÷5÷20=1100です

25人で働くと、1日の仕事のペースは1100×25=14になります。

よって、終わるのにかかる時間は1÷14=4日と分かります。

4日

2日で建てるには何人が働く必要があるか？

解説

2日で終わらせるには、1日のペースは1÷2=12が必要

1人の1日のペースは1100なので、1日で12というペースを出すのに必要な人数は12÷1100=50人と分かります。

50人

一応、公式セットを作るとこうなりますが、最初のペース以外は無理に憶えなくてもよいかもしれません。

確認テスト(2020.6.6作成中)

 

2種以上の人間

上の問題は個性のない1種類の人間でしたが、2種類の人間、例えば大人と子どもがいる場合を考えます

3-2:のべ仕事算(二種類)

ある仕事をするのに、大人6人では12分、子ども10人では18分かかる。

さっき解いたのべ仕事算と同様に、1日の1人あたりのペースを出すことからはじめます。

単純に仕事全体を1とすると、大人1人のペースは1÷12÷6=172、子ども1人のペースは1÷18÷10=1180になります。

また、仕事全体を6×12=72と10×18=180の最小公倍数360にすると、大人1人のペースは5、子ども1人のペースは2となります(今回はこちらで解きます)

あとは仕事算標準の解き方でいけるでしょう。

3-2:のべ仕事算(二種類)

ある仕事をするのに、大人6人では12分、子ども10人では18分かかる。以下の問いに答えなさい。

大人2人と子ども7人だと何分かかるか

解説

仕事全体を6×12=72と10×18=180の最小公倍数360にすると、大人1人のペースは5、子ども1人のペースは2となる。

大人2人と子ども7人のペースは(5×2)+(2×7)=24なので、かかる時間は360÷24=15分

15分

別解

仕事全体を1とすると、大人1人のペースは1÷12÷6=172、子ども1人のペースは1÷18÷10=1180になる。

大人2人と子ども7人のペースは(172x2)+(1180x7)=115なので、仕事が終わるのにかかる時間は1÷115=15分

はじめは子供だけ6人で、途中から大人2人が加わって全部で25分で仕事が終わった。大人は何分間働いたか

ヒント

「仕事のつるかめ」ですね

解説

はじめのペースは2×6=12,あとのペースは(2×6)+(5×2)=22です

したがって、はじめのペース12,あとのペース22,合計時間が25分、仕事量360の「仕事のつるかめ算」です

図1:

説明書き

子供だけが働いた時間={(22×25)-360}÷(22-12)=190÷10=19分なので、大人が働いた時間？=25-19=6分間と分かりますね

図1:

説明書き

6分間

練習問題(2022/7/5作成中)

 

場所取り問題

のべ仕事算と同じ方法で解く問題に「場所取り問題」があります。

こんな問題です

3-3:場所取り算

父母と子ども3人の5人家族が40分電車に乗るが、空席が3つしかない。以下の問いに答えなさい。

5人が平等に座るには、1人何分座れば良いか

解説

席が3つで時間が40分なので「席に1分座るチケット」が3×40=120枚あると考える

これを5人で平等に分けるので、1人が座る時間は120÷5=24分になる

24分

子どもは大人の2倍の時間座って良いとすると、子ども1人は何分座れるか

解説

子どもは1人が2人分なので、大人2人子ども6人の計8人家族で座る考える。

120÷8=15より、大人は15分、子どもは2人分なので15×2=30分座れることになる

30分

練習問題(2022/3/25作成中)

ペースから決める仕事算
(受験小5)

ここまでは仕事の全体量を先に決めてからペースを求めていましたが「比」を学習した後は「速さと比」と同じような関係を利用してペースを先に決めることもできます。

三番目の公式を使って、2人の時間の比などから仕事の比を求め、その数字を元に仕事全体の量を決めます。

直接記述がある場合

仕事全体の記述がある場合

例えば、こんな問題です

X-0-1:ペースから決める

A君だけでは6時間、B君だけでは8時間かかる仕事がある。……

この場合、時間の比が3:4なのでペースの比は逆の4:3と分かるので、Aのペースを④にBのペースを➂とおくことが出来ます

ただ、このように仕事全体を基準にする場合は、上の方で使った方法「仕事全体を6と8の最小公倍数24とおいてからペースを出す」でも解けてしまうので、比を使う意味は少ないです。

全体の記述がない場合

一方、全体の仕事量が分からない、こんな問題もあります。

X-0-2:ペースから決める

Aが3日休んだ分をBが働くと4日間働かなくてはならない。……

この場合も、「等しい量から逆比を求める」考え方を使えば、時間比3:4の逆比でAのペースを④にBのペースを➂とおいて

「とりあえず」問題を先に解き進めることが出来る♪ので、複雑な問題を解くのに便利です。

ペースそのものが記述されている場合

もちろん、2人の関係が直接的に「AはBの43倍働く」と書いてある場合もAのペース:Bのペース=43:1=4:3 とおくことができますね。

では、以上の考え方で例題を解いてみましょう。

X-1:明示のペース先行型

A1人が12日働いたあとB1人が5日働くと完成する仕事がある。もしAが6日休むとBが5日余分に働かないといけないという。以下の問いに答えよ

AとBの仕事のペースの比を求めよ

解説

「Aが6日休むとBが5日余分に働かないといけない」の部分で、AのペースとBのペースは6:5の逆比で⑤と⑥と決められます。

5:6

この仕事をAが1人ですると何日かかるか

解説

「A1人が12日働いたあとB1人が5日働くと完成する仕事」は⑤x12+⑥x5=60+30=90で、

ペース⑤のA1人で仕事をするとかかる時間は90÷⑤=18日です。

18日

同じ仕事をAB2人で始めたが、途中でAが病気になり残りはB1人で仕事をしたところ、全部で10日かかった。Bが1人で仕事をしたのは何日間か

解説

はじめAB2人のペース⑤+⑥=11、途中からB1人のペース⑥で全部で10日、仕事量は90なので面積図にするとこうなる

(3)の面積図

これをつるかめと同様に解くと、?={(11x10)–90}÷(11-⑥)=20÷⑤=4日と分かる

？を求める

?={(11x10)–90}÷(11-⑥)
=20÷⑤=4日

4日

練習問題(2022.7.13作成中)

直接記述がない場合

難しいのは、全体の仕事を(最小公倍数などの)数字におくことが簡単にできず、時間やペースの比も書いていない場合です。

例えばこんな問題です。

4-1:黙示のペース先行型

Aが16日働いたあとBが6日働くと完成する仕事を、Aが10日働いたあとBが15日働くと完成する

なんとなく「消去算」のような感じがしないでしょうか?(汗)

消去算のように式を2つ作ると「仕事=Ax16+Bx6」と「仕事=Ax10+Bx15」となり、これらは等しいので「Ax16+Bx6=Ax10+Bx15」という関係になります。

これを線分図等にして比べると、Ax6=Bx9が等しいと分かります。

Ax16+Bx6 と
Ax10+Bx15 が等しい

Ax6=Bx9 と分かる

ここから逆比の考えで、AとBのペース(の比)が分かって、このペースを「Ax16+Bx6」に使って仕事全体も分かるので、あとは今までの仕事算のように解けるでしょう。

では解いてみましょう！

4-1:黙示のペース先行型

Aが16日働いたあとBが6日働くと完成する仕事を、Aが10日働いたあとBが15日働くと完成する。以下の問いに答えなさい。

AとBの仕事のペースの比を求めなさい。

解説

Aのペースを「A」Bのペースを「B」として仕事全体を2通りで表すと「Ax16+Bx6」と「Ax10+Bx15」になり、この2つは等しいので「Ax16+Bx6=Ax10+Bx15」という関係が分かる

式を観察したり線分図を書いたりして考えると、Ax6=Bx9 と分かる。線分図だとこうなります。

Ax16+Bx6 と
Ax10+Bx15 が等しい

Ax6=Bx9 と分かる

これは「A6日分とB9日分が等しい」ので、6:9=2:3の逆比で、AとBの仕事のペースは③:②と分かる。

AとBのペースの比を求める

等しい量

Ax6=Bx9

→

ペースの比

A:B=9:6=③:②

逆比を使う！

3:2

はじめの数日はA1人で、その後はBが1人で合計26日働いて仕事が完成した場合、ABはそれぞれ何日働いたか

解説

AとBの仕事のペースが③:②と分かったので、これを仕事を表した式「Ax16+Bx6」に使うと仕事全体は③x16+②x6=60となる

60の仕事を、はじめのペース③とあとのペース②の合計26日で完成させる「仕事のつるかめ」になりますね。

図1:

説明書き

Bが働いた日数?={(26x③)–60}÷(③-②)=18÷①=18日なので、Aも26-18=8日と分かりますね♪

図1:

説明書き

A:8日,B:18日

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