中学受験生の方に、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」がニュートン算の基礎から応用問題まで分かりやすく解説します。
ニュートン算とは？
はじめにニュートン算が問題になるのがどんな場合かを見てみましょう。
映画館の行列！
Xさんは映画館でアルバイトをしています。明日、人気アニメ「屠龍の剣」の映画の入場口でお客さんのチケットを半分切り取って残り半分を渡して入場させる仕事をすることになりました。
映画を見に来た人達はチケットを買って入場口に並びます。さすが人気アニメだけあって入場時刻になる前からすでに人が並んでいます。さらにどんどん人が加わるので列がだんだん長くなっていきます。
((0分時の状況図:青の行列と赤の新入客))
いったい何人の列が出来たんだろう？Xさんが人数を数えたくなったちょうどその時に入場開始のアナウンスがあって、列の先頭の人が入場口でXさんにチケットを差し出して仕事が始まりました。
Xさんはお客さんのチケットを手際よく処理して入場させますが、後からやってきた人が後ろにどんどん並ぶんでくるので列は少しづつしか減っていきません…
やっと列が完全になくなりました。時計を見ると入場開始から5分経っていました。Xさんは別のアルバイトさんと交代して一休みします。
((5分時の状況図:青赤二色の入場済み客と赤の新入客))
ニュートン算の関係式
行列を整理していたアルバイト仲間のYくんも休憩に入ったので会話を交わします。
列の人数を数えられなかったのを思い出して、Y君に入場時刻に列に何人並んでいた？と聞くと「よく分からない」という返事#。
ただ「30秒に1人くらい列に並んでいた」とのこと。つまり1分間に2人のペースで列に加わったということです。列がなくなるまで5分かかったので、入場開始から列がなくなるまでの間にも2×5=10人が加わっただろうと分かりました。
そして自分が切り取ったお客さんの半券を数えると50枚でした。つまりXさんは50人のお客さんを入場させたことになります。
しかし、この50人は入場開始時の列の人数ではありません。その後の5分間で列に加わった人の分も混じっています。
((状況図2))
そしてXさんが入場させたのが50人で列に加わったのが10人なので…列の人数＝50ー10＝40人と分かりました。そんなにいたんですね！！
このように、ニュートン算では3つの量が登場します。
①最初の列の人数(最初の量=A)
➁途中で列に加わった人(増えた量=B)
➂Xさんが入場させた人(処理した量=C)
そして、この3つの量の間には
「処理した量＝最初の量＋増えた量」
という関係が成り立ちます。この関係を作ることがニュートン算の第一歩になります。
→「処理した量=最初の量+増えた量」
(例1)映画館
入場させた人数＝初めの列の人数＋加わった人数
ニュートン算の準備
映画館以外の例でも、上で見た関係式「処理した量＝最初の量＋増えた量」を作ることができればニュートン算を解くことができます。
映画館
「入場させた人数＝列の人数＋加わった人数」
でした。
泉
水が溜まった泉があって、泉の底からは水が湧き出ています。泉を王掃除するので、ポンプを使って水を汲み出して泉の水を空にします。
((図))
この時の関係式を、問題文に関連する言葉を使って作ると
「くみ出した水＝初め溜まってた水＋湧き出た人数」
牧場
「食べた草＝初め生えていた草＋新たに生えた草」
以上をまとめると、このようになります。
→「処理した量=最初の量+増えた量」
(例1)映画館
入場させた人数＝列の人数＋加わった人数
(例2)泉
くみ出した水＝溜まってた水＋湧き出た水
(例3)牧場
食べた草＝最初生えていた草＋新たに生えた草
ニュートン算の基礎問題
ニュートン算の「3つのキー」のうち2つが分からない場合
こんな問題です。
例題2-1
アニメ映画「屠龍の剣」は大人気で毎日行列が長くなっていくのでチケットをチェックするロボットを置くことにしました。今日は土曜日なので入場開始時刻には過去最高記録の 人もの行列が出来ていて、やはり1分間に2人行列に加わってくるとします。ところが…ロボットはなんと3分で行列を無くしてしまいました。
(1)機械は1分間に何人を入場させることができるか？
(2)次の日は行列が更に増えて 人の行列が出来ていた。ロボットを2台にすると行列は何分でなくなるか
前半はペースを求める
ニュートン算の基本問題は前半と後半で問題の様子がガラッと変わります。
映画館問題で入場させるペースを求める問題
このように、ニュートン算の実際の問題では、最初の3つの量とは少し異なる「3つの数字=3つのキー」が重要になります。
①最初の量
➁量が増えるペース
➂量を減らすペース
関係式Aをもう一度思い出すと「処理した量＝最初の量＋増えた量」でした。
そして量が0になった時間をTとすると「増えた量=量が増えるペース×T」「処理した量=量を減らすペース×T」になるので、関係(A)「処理した量＝最初の量＋増えた量」を改造して
「量を減らすペース×T＝最初の量＋量が増えるペース×T」
という関係が分かります。
3つの場合についてまとめると、こうなります。
→処理した量=最初の量+増えた量
→量を減らすペース×T＝最初の量＋量が増えるペース×T
(Tは量を全部処理するのにかかった時間)
(例1)映画館
入場させるペース×T
＝初めの列の人数＋列に加わるペース×T
(例2)泉
汲み出すペース×T
＝溜まっていた水の量＋湧き出るペース×T
(例3)牧場
食べるペース×T
＝初めに生えていた草＋生えるペース×T
摸試や入試で実際に使うのはこの関係式が多いです。暗記というよりは実際の数字で関係式を作ることができればOKです。
様子が変わる後半戦
3つのキーが全て分かった後は、もっと単純な問題になります。
「差し引き」
類題で定着！
(別解)前半と後半を同じように解く
基本問題は以上です。
ニュートン算の基本問題
ニュートン算の「3つのキー」のうち2つが分からない場合
ニュートン算の応用問題
ニュートン算の「3つのキー」うち3つが分からない！場合です。
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