ポンプ/牧草/行列】ニュートン算の公式・問題の解き方を図解【中学受験

中学受験生で「ニュートン算て何？！」という小4の方から「ニュートン算習ったけど全然分かんない…」という小5・小6の方へ

確かに「ニュートン」という名前！が難しそうで、解答に使う理屈もやや複雑なので苦手な人が多いんです…

でも、他の特殊算と同じように問題のパターンは限られていて(3つとちょっと)、5年までにそのうち2つができれば大丈夫です(残りのパターンは入試までの間にできるようにすればOK♪)

2つのパターンを出来れば良いと考えると気がラクになりませんか？(なりましたよね)

塾で習っても分からなかった人は「塾の教え方が悪かったんだ」と思って、この記事で学びなおしましょう！
この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」がニュートン算の基礎から応用問題まで分かりやすく解説します。

記事を読んで例題を解けばニュートン算が得意になっていることでしょう

ニュートン算とは

ニュートン算は○○算の一種

さっそくニュートン算の基礎問題を見て下さい(見るだけでいいですよ♪)

0-1:ニュートン算(基礎)

大きな水そうがあります。この水そうの底には排水口が2つあり、それぞれ毎分3Lの水を出します(始めは２つとも閉まっています)。この水そうに蛇口から毎分2Lの水を入れていき、30Lの水がたまったところで、蛇口を開いたまま排水口を1つ開きます。何分で水がなくなりますか？

これがニュートン算の基礎問題で、溜まった水を減らすという「仕事算」です。

つまりニュートン算は仕事算の一種です。

ちなみに仕事算の公式はこうでした。

忘れたという人は参考記事「仕事算まとめ」を読んで下さい。

「差し引き」でペースを決める

さっきの問題をもう一度

0-1:ニュートン算(基礎)

毎分3Lの水を出す排水口がある水そうに毎分2Lの水を入れていき、30Lの水がたまったところで、蛇口から水を出したまま排水溝を1つ開きます。水は何分でなくなるか？

解説

この問題では単純に水を減らすのではなく、「水を入れながら出す」というプラスとマイナスの仕事を同時に行っています。

仕事算の応用問題で、プラスとマイナスが同時に行われている場合に「差し引き」の考え方を使いました。

仕事算の一種であるニュートン算でも、この差し引きの考えを使います。

この問題で差し引きの考えを使うと「2Lの水を入れながら3Lの水を出すのは3-2=1Lの水を出すのと同じ」と言えます。

「差し引き」の考え方

「2L/分で注水し3L/分で排水する」のは
「1L/分で排水する」のと同じ

つまり、この問題での水が実際に減るペースは1L/分ということです。

よって30Lの水を全部出すのには仕事算の公式「時間=仕事量÷ペース」で30÷1=30分かかると分かります。

30分

このように、ニュートン算は実際のペースが単純に決まらず「差し引き」をしないといけません。

今度は排水口を2つ開いてみましょう

0-2:ニュートン算(基礎)

次の日、同じように水そうに水を入れ30Lたまったところで、毎分2Lで注水する蛇口は開いたまま毎分3Lの水を出す排水口を2つとも開きました。今度は何分で水そうは空になるでしょう？

注意

排水口の数が2つ(2倍)になれば、空になる時間は半分のような気もしますが…

解説

さっきと同じ差し引きの考え方を使います。

2L入れながら3×2=6L出すので、実際には差し引き6-2=4Lの水を出すのと同じです。

「差し引き」の考え方(2)

「2L/分で注水し3L/分2つで排水する」のは
「4L/分で排水する」のと同じ

水そうが空になるのは30÷4=7.5分後=7分30秒後です。

7分30秒後

始めの場合と比べると、排水口の数は2倍になったのに、水の出し入れを差し引きした結果は「3-2=1」から「(3×2-2)=4」で4倍にもなっています！

もし排水口が3つあったら差し引きの結果は(3×3)-2=7で7倍に、4つあったら(3×4)-2=10で何と10倍に！なります

○○算との違い～3つのキー

このように溜まっているモノを「差し引き」のペースで減らしてゼロにするのが「ニュートン算」です。

ここまででニュートン算には重要な3つの数字が出てきました。
①最初の量(溜まっていた水)
②増やすペース(1つの蛇口の注水ペース)
③減らすペース(1つの排水口の排水ペース)
で、これらを「3つのキー(key:鍵)」と呼びましょう。

ニュートン算の基礎問題では、この3つのキー全てが分かっていたので、仕事算とあまり変わりませんでしたが、この後の問題では3つのキーのうち分からないものを求めること自体が問題になります

ニュートン算(1)基本問題

基本問題は3つのキー「 ①最初の量 ②増やすペース ③減らすペース 」のうち1つ(普通は③)が分からない場合、例えばこんな問題です

1-1:ニュートン算(基本)

60Lの水が入った水そうに蛇口から3L/分で注水しながら、2つの排水口から排水したら4分で空になった。排水口1つでは毎分何L排水するか

①最初の量＝60,②増やすペース=3とわかりますが③減らすペースが分かりません。

仕事算の延長として解く

まずは慣れた仕事算として解いてみましょう

1-1:ニュートン算(基本)

60Lの水が入った水そうに蛇口から3L/分で注水しながら、2つの排水口から排水したら4分で空になった。排水口1つでは毎分何L排水するか

解説

仕事算の公式「ペース=仕事÷時間」を使うと、60÷4=15 で実際に減るペースが15L/分と分かりますが、この実際のペースは1分間で注水される量(3L)と排水される量の差し引きの結果です。

つまり、1つの排水口から出る水の量を□とすると、

「(□×2)–3=15」

が成り立ちます。この逆算を解けば、排水口1つが排水する量は □=9L/分と分かります♪

9L/分

以上の解き方で基本問題は解けるのですが、この後の標準・応用問題ではキツくなります。

そこで「関係式(線分図)を使った解き方」もマスターしましょう。

計算は同じですが難しい問題にも対応でき、標準的な入試問題なら余裕で解けます♪

線分図を使って解く

さっきの例題を少しだけ改造した問題を解いてみましょう

1-1:ニュートン算(基本)

60Lの水が入った水そうに蛇口から3L/分で注水しながら、2つの排水口から排水したら4分で空になった。以下の問いに答えなさい。

排水口1つでは毎分何L排水するか

解説

①最初にあった水は60L(最初の量) です。

また、②4分間で蛇口から出た水の量は3×4=12L(増やした量)

さらに③排水口から出た合計は□×2×4=8(減らした量)

この①②③の間には

③減らした量=①最初の量+②増やした量

の関係が成り立ちます。

3量の関係

減らした量=はじめの量+増やした量

この問題では「8=60L+12L」になります。これを線分図にするとこうなります。

3つの量の関係

この書き方を覚えておく！

あとは分配算の要領で8=72→1=9L と分かります。

毎分9L

もし排水口を3つ開けたら何分で空になるか

解説

3つのキーである最初の量(60),増やすペース(3),減らすペース(9)がすべて分かっているので、あとは差し引きの仕事算として解きます。

排水口を3つにすると、減らすペースは9×3=27L/分になります。

ここに毎分3Lの水を注ぐので、差し引きして27-3=24が実際に減るペースと分かります。

したがって、水が無くなるのにかかる時間は60÷24=6024=212分=2分30秒です

2分30秒

このように、3つのキー全てが分かるまでは線分図を書き、3つのキーが分かったら仕事算で解く、というのがニュートン算を解く流れになります

練習問題をどうぞ

練習問題1(2022.6.15作成中)
増やすペースが分からない場合

 

練習問題2(2022.6.15作成中)
はじめの量が分からない場合

ニュートン算(2)標準問題

ニュートン算の3つのキー「①最初の量②増やすペース③減らすペース」のうち2つ(普通は②と③)が分からない、こんな問題です

2-1:ニュートン算(標準)

60Lの水が入っていた水そうに、蛇口から注水し続けると同時に底にある排水口を2つ開くと10分で水がなくなり、3つ開くと6分で水がなくなる。1分間に蛇口と排水口それぞれから出る水の量を求めよ。

3つのキーのうち①最初の量だけが書いてあり、②増やすペースと③減らすペースは分かりません

特徴は、2つの場合が書いてあることで、この2つの場合について3量の関係式「❸減らした量=➊最初の量+❷増やした量」を作るのが、解答の第一歩になります。

では、解いてみましょう

2-1:ニュートン算(標準)

60Lの水が入っていた水そうに、蛇口から注水し続けると同時に底にある排水口を2つ開くと10分で水がなくなり、3つ開くと6分で水がなくなる。1分間に蛇口と排水口それぞれから出る水の量を求めよ。

方針

ニュートン算の3つのキー・量の関係を使います

ニュートン算の3キーと3量

❸減らした量=➊最初の量+❷増やした量

(③減ペース×T)=①最初の量+(②増ペース×T)

解説

この問題では、2つの場合が書いてあるので、注水ペースを①、排水口1つの排水ペースを1として、それぞれで「(③減ペース×T)=①最初の量+(②増ペース×T)」の関係式を作ります。

まずA:T=10分で空になった場合

図1:10分で空になった場合

2個の排水管から10分で排出した量20
と溜まっていた60L+10分で注水した量⑩が等しい

この図を見て「(③減ペース×T)=①最初の量+(②増ペース×T)」の式を作ると「1×2個×10分=60+(①×10分)」になり、整理すると「20=60+⑩」ができます。

もう一方のB:T=6分で空になった場合は

図2:6分で空になった場合

3個の排水管から6分で排出した量18
と溜まっていた60L+6分で注水した量⑥が等しい

式を作ると「1×3個×6分=60+(①×6分)」で、整理すると「18=60+⑥」になります

整理した2つの式を並べるとこうなります。

A:20=60+⑩
B:18=60+⑥

2つをあわせて線分図にするとこうなります。

線分図1

AB2つの場合それぞれの
3つの量の関係を1つの線分図に合わせる

この線分図のオレンジ色の部分は④=2の関係になっているので、②=1と分かります。

線分図1+

□(排水ペース)と○(注水ペース)の関係を導く

これで□を○で表すことができるので、○に書き換えます

線分図1&2(実際は1つ)

○と□を求めて終了～♪

すると、60L=㉚なので①=2,1=4と分かりました。

蛇口2L/分,排水4L/分

別解

線分図が苦手な場合は

A:20=60+⑩
B:18=60+⑥

これを消去算にして解いても良いでしょう

Aの式とBの式の差を出すと「2=④」になるので、全体を÷2して「1=②」と分かります。

これを20倍した「20=㊵」をAの式に入れると「㊵=60+⑩」になるので㉚=60から①=2、1=②=4と分かります。

このように、2つのキーが分からない標準問題には2つの文章があるはずなので、それぞれを関係式にして線分図か消去算にして分からないキーを求めれば良いのです。

練習問題1
キー1と2が分からない場合

練習問題2
キー1と3が分からない場合

 

ニュートン算(3)応用問題

ニュートン算の3つのキー ①最初の量②増やすペース量③減らすペース の全部が!分からない場合です

3-1:ニュートン算(応用)

水がたまっている水そうがある。注水しながら排水口を一つ開けると36分で空になり、排水口を2つ開けると9分で空になる。以下の問いに答えよ

溜まっている水、注水ペース、排水ペースの全部が分かりませんね

標準問題と同様に2つの場合の関係式を作って比べてみましょう

3-1:ニュートン算(応用)

水がたまっている水そうがある。注水しながら排水口を一つ開けると36分で空になり、排水口を2つ開けると9分で空になる。以下の問いに答えよ

排水口一つの排水ペースと溜まっていた水の量は、注水ペースのそれぞれ何倍か？

ヒント

注水ペースを1、排水口1つのペースを1として
排水した量=溜まっていた水(溜)+注水した量 の式を2つ作りましょう

解説

排水口を1つ開いた場合の関係は「1つの排水口で36分で排水した量=溜まっていた水+36分で注水した量」です。

図1:36分で空になった場合

1個の排水管から36分で排出した量36と
溜まっていた水+36分注水した量㊱が等しい

この関係を式にすると、1x1x36=溜+①x36

整理すると、36=溜+36(この式をAとします)

排水口を2つ開いた場合の関係は「2つの排水口で9分で排水した量=溜まっていた水+9分で注水した量」です

図2:9分で空になった場合

2個の排水管から9分で排出した量18と
溜まっていた水+9分注水した量⑨が等しい

これを式にすると 1x2x9=溜+①x9

整理すると 18=溜+9(式Bとします)

式Aと式Bを見比べます。

36=溜+36(式A)
18=溜+9(式B)

「消去算」を思い出して差を出すと18=27 と分かりますね？

「＝」の左右ともに÷18すると1=1.5なので排水ペースは注水ペースの1.5倍(または112倍)と分かりました。

次にBの式「18=溜+9」の18の代わりに18x1.5=27を入れると27=溜+9より、溜=18で、溜まっていた水は注水ペースの18倍と分かりました！

排水ペース1.5倍,溜まっていた水18倍

これで、注水ペース、排水ペース、溜まっていた水 の比が「①:1.5:18」と分かったので、後は差し引きの仕事算として解けますね♪

水そうを3分以内に空にするには排水口を最低何個開ければ良いか？

ヒント

まず「(差し引きした)実際のペース」を出しましょう

解説

3分以内に空にするためには、差し引きした実際に減るペースが18(溜)÷3=6以上は必要。

差し引き

実際に減るペースは6以上

排水口の数を？とすると「(1.5x？)-1=6」

これを逆算で解くと?=4.～(4と5の間)なので4個では足りず、最低5個は排水口を開ける必要があると分かりました！

5個

練習問題をどうぞ(2022.6.16作成中)

応用問題は以上です。

いろいろな具体例

問題文に出てくる数値のうち、3つのキー①最初の量 ②増やすペース ③減らすペース　にあたるのはどれかが分かれば計算は全く同じです。

問題文を読みながら「処理した量=最初の量+増えた量」という式(線分図)を書いていきましょう

泉の問題

底から水が湧き出ている「泉」の水をポンプで汲み出して空にする場合。

3つのキーは、①最初の量=泉に溜まっていた水、②増やすペース=泉の底から水が湧き出るペース、③減らすペース=ポンプ1台で水をくみ出すペース　です。

3つの量については次の関係が成り立ちます

例題(基本)

例題(標準)

例題(応用)

行列の問題

ニュートン算で一番有名なのはコレでしょう。

映画館で入場開始時に行列ができていて、入場開始後にも人が並んでいくとき、行列はいつなくなるかという問題

3つのキーは、①最初の量=入場開始時の行列の人数、②増やすペース=行列に人が加わるペース、③減らすペース=窓口1つで人を入場させるペース　です。

3つの量の関係は次のようになります

例題(基本)2020.6.16作成中

 

例題(標準)

4-2-2:行列ニュートン(標準)

映画館で行列が出来ていて、さらに毎分4人が行列に加わっている。入場開始時間に入場窓口を1つ開けると5分で行列が無くなり、窓口を2つ開けると2分で無くなる。以下の問いに答えなさい。

開始時の行列の人数と1つの窓口で1分間に入場させる人数を求めよ

ヒント

2つの場合から関係式を2つ作りましょう

解説

行列の人数を①、1つの窓口から1分間に入場させる人数を1とする。

「入場窓口を1つ開けると5分で行列が無くなり」から、「5分で入場させた人数=入場開始時の行列+5分で加わった人数」という関係ができます。

これを式にすると、1x5=①+4×5 で、整理すると5=①+20 です(式Aとする)

窓口1つでだと5分で行列が無くなる

5=①+20

同様に「窓口を2つ開けると2分で無くなる。」から、「2分で入場させた人数=入場開始時の行列+2分で加わった人数」という関係ができます。

これを式にすると、1x2x2=①+4×2 で、整理すると4=①+8 です(式Bとする)

窓口を2つ開けると2分で無くなる

4=①+8

式AとBを(線分図を書いたりして)見比べると、

5=①+20(A)
4=①+8(B)

1=12 と分かります。つまり1分間に1つの窓口から入場させる人数は12人です。

さらに式Bの4の代わりに12×4=48を入れると、48=①+8 という式が出来て、①=40(開始時の行列)と分かります

行列40人,1窓口12人/分

これで、開始時の行列40人、列に加わるペース4人、入場させるペース12人と3つのキー全部が分かりました♪

次の日は入場開始時に100人の！行列が出来ていた。1分で5人が行列に加わるとすると、行列を3分以内になくしたい場合は窓口をいくつ開ければよいか

ヒント

まず差し引きしたペースを決めましょう

解説

100人の行列を3分でなくすには差し引きして100÷3=33.3…のペースが必要です。

窓口を？個開けるとすると、差し引きのペースは(12x?)-4 なので、(12x?)-4が33.3…より大きくないといけない。

(12x?)-4=33 の逆算を解くと、?=3.~ なので、窓口3つでは足りずに4つ開ける必要があると分かります。

窓口4つ

練習(応用)2020.6.16作成中

 

牧草の問題

すでに草が茂っていて引き続き草が生えてくる牧場に牛を放って草を食べてもらうと、いつ草がなくなるかという問題で、応用問題の例として問題集によく載っています。

3つのキーは、①最初の量=放牧開始時に茂っていた草の量、②増やすペース=1日に草が生えるペース、③減らすペース=牛1頭が1日に草を食べるペース　です。

3つの量の関係は次のようになります

練習(基本)

練習(標準)

応用問題もどうぞ

4-3-3:ニュートン(牧場)

牧場に草がいっぱいに茂っている。牛を11頭放して草を食べさせると30日で、21頭放すと10日で草が無くなる。以下の問いに答えなさい。

牛1頭が1日で食べる草の量を1とすると、草が生えるペース、最初に茂っていた草はいくつになるか

ヒント

2つの事例から2つの関係式を作りましょう

解説

牛1頭が一日で草を食べるペースを①、草が生えるペースを1、茂っていた草を「茂」として「❸牛が食べた草=➊最初茂っていた草+❷新たに生えた草」関係式を2つ作る

「11頭放して草を食べさせると30日で草が無くなる」

牛11頭だと30日で草が無くなる

330=茂+30

→「①x11x30=茂+1x30 」で整理すると「330=茂+30」(式A)

「21頭放すと10日で草が無くなる」

牛21頭だと10日で無くなる

210=茂+10

→「①x21x10=茂+1x10 」で整理すると「210=茂+10」(式B)

式AとBを見比べて…
330=茂+30(式A)
210=茂+10(式B)
差をとると120=20

全体を÷20して「6=1」つまり、草が生えるペースは牛1頭が1日に食べる草の6倍と分かります

さらに「6=1」より1の代わりに6を式Bに入れると「210=茂+10」→「210=茂+60」となるので「茂=210–60=150」つまり茂っていた草は牛1頭が1日に食べる草の150倍と分かりました。

生えるペース6,茂っていた草150

牛を16頭放すと草は何日で無くなるか

ヒント

「差し引きペース」を出しましょう

解説

草が生えるペース1=6なので(差し引きした)実際に草が減るペースは①x16-6=10で、茂っていた草は1=150です

よって草が無くなるのにかかる時間は、150÷10=15日です

15日

草を一週間で無くすには牛を何頭放てばよいか

ヒント

まず「差し引きしたペース」を出しましょ

解説

150÷7=21.~ が必要な(差し引きした)ペース

?頭を放つとして差し引きしたペースは?–6 なので、?–6=21.~ という逆算を解くと?＝27.~

つまり27頭だと足りず、28頭放つ必要がある

28頭

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