和差算プリント57枚!基本公式の覚え方から応用・発展問題の解き方まとめ【中学受験

3つの数の和差算

線分図を使った和差算の途中過程

「中」と「大」を「小」の長さに切りそろえている

「和差算って何?」という小学4年生や「解き方をマスターしたい」「応用発展問題を解きたい」という中学受験生の方、おまかせ下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」基本から応用・難問までを総まとめしました♪この記事を読めば和差算はもう大丈夫です。

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線分図の書き方(復習)

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。


和差算は線分図で習うことが多いので、あらかじめ線分図に慣れておくと良いですよ!

二つの数量の関係を表す線分図は「和」「差」「比」の三種類です(図1)。「和」と「差」を組み合わせると「和」「差」算ができます(図2)

図1:二量の関係

左から「和」「差」「比」の線分図
図2:和差算

「AとBの合計は○で
AはBより○大きい」
三種類の線分図の詳しい説明は「二量の関係は三つの線分図で表現できる♪」を見て下さい。
類似分野の分配算」「年齢算」も参考になると思います。

では、実際に線分図を使って和差算を解いてみましょう!

和差算の基本

爽茶そうちゃ
和差算は、2つの数の「和」と「差」からそれぞれの大きさを求める問題です。
(参考:ウィキペディアによる解説)
まず、基本の解き方をマスターしましょう!

和差算の基本解法

基本解法をまとめるとこうなります。

和差算の基本解法
  1.  大小2本の線分図を書く
    和差算の解き方。和と差の線分図を書く
  2. 「小」に切りそろえる(和-差)
    和差算の問題の解き方。線分図を切りそろえる
  3. (和-差)÷2で「」を求める
  4. 「小」+差で「」を求める

練習したい人はこちらをどうぞ。

和差算の基本解法

2つの数A、Bの和が44でBがAより6小さい時、Bの大きさを求めよ。
ヒント

❶線分図を書く→❷「小」に切りそろえる(和-差)→❸(和-差)÷2で「小」を求める→❹「小」+差で「大」を求める
の手順で

解答

[su_spoiler title=”表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

❶問題文を読むとBの方が小さいと分かるので、Aを「大」Bを「小」として線分図を書きます。そして和44と差6を書き込みます。

❷ここで「はみ出た」部分をチョキン!と切り取ります

❸すると、切り取った分6減って合計は38になり、これは「小」2つ分です。したがって、「小(B)」=38÷2=19 です。

❹一方「大(A)」は「小」より6大きいので、19+6=25 と分かります。

B=19[/su_spoiler]

「もう少し詳しい説明が見たい」「もっと練習したい」人や、は関連記事「ちがいに目をつけて」を見て下さい。

慣れてきたら、公式一発で!

理解できたら、次は公式を使って暗算一発で出せるようにしましょう。

小が「(和-差)÷2」で求められるのは上で見ましたが、差を切り取らずに継ぎ足せば(和+差)=大2つ分になるので、大=(和+差)÷2で求められます。

和差算(二量)の公式

「小」と「大」の和と差が分かっている時
●「小」=(和差)÷2
●「大」=(和+差)÷2

この公式を使えば、「大」「小」どちらも一発で求められますね!

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爽茶そうちゃ
二つの数の和差算は以上です。次は数が三つある場合の解き方です。
市販の問題集を解きたい人には、記事の一番下でおすすめの問題集を紹介しています。

三つの数の和差算

爽茶そうちゃ
三つの数の和差算は「一番小さい数」と同じ長さに切りそろえるのがコツです!

三つの数の和差算の解き方

一番小さい数「小」の長さに切りそろえて解きます。

三つの数の和差算の解法

(例)ABCの和は29で、BはAより4小さくCより10小さい

  1.  一番小さい数「がどれか読み取る
  2. 「小」を真ん中にした線分図に、三つの合計()と
    「大と小の差」「中と小の差」2つの差を書き込む。
    三つの数の和差算の解き方。実際の書き込み例
  3. 「小」の長さに切りそろえて、合計を減らす
    三つの数の和差算の解き方。小に切りそろえる
  4. ÷3でを求める
    三つの数の和差算の解き方。小を求める
  5. 「小」に差を足して「」「」を求める
    三つの数の和差算の解き方。中と大も求める

問題で確かめたい人はどうぞ

3つの数の和差算

合計が95である3つの数ABCがある。AはBより12小さく、CはAより10小さい。ABCそれぞれの大きさを求めよ。
解答

[su_spoiler title=”表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

問題文より、小さい順にC<A<Bと分かったら、一番小さいCを真ん中にした線分図を書くと、Cを基準にAは10大きくBは22大きいと分かります。

あとはCの大きさに切りそろえて÷3でCを出します。

A=21+10=31,B=21+22=43と分かります。

答: A=31,B=43,C=21[/su_spoiler]

もう少し詳しい説明が見たい人は「ちがいに目をつけて」内の「三つの数の和差算」を見て下さい。

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爽茶そうちゃ
もっと問題を解きたい人向けに、記事の一番下でおすすめ問題集を紹介しています。

応用問題(1)
他分野との融合問題

爽茶そうちゃ
受験算数の各分野で「和差算」を利用する場面があります。
摸試・受験前の復習用にまとめてみました。

平均と和差算

平均の三公式はこうでした。

平均の三公式と面積図
●合計=平均×人数
●平均=合計÷人数
●個数=合計÷平均
平均の公式と面積図の対応

平均が分かると合計(和)も分かるので、平均算の中では和差算になるものがあります。

例えば「ABの所持金の平均が650円で、AがBより300円多い場合」なら、合計(和)が650×2=1300円、差が300円なのでこうなります。

詳しくは「平均算と線分図」を見て下さい。

年齢計算の和差算

親子の年齢「差」はずっと変わらない事を利用します。

年齢の和差算

Aさんはお母さんが25歳のときに生まれました。現在、Aさんとお母さんの年齢の合計が43歳だとすると、Aさんは何歳ですか?
図解(▼をクリック)

Aさんとお母さんの年齢の「差」は生まれてからずっと25歳で変わりません。

つまり現在の2人の年齢は和が43、差が25です。

図1:

和が43、差が25の和差算

Aさん(小さい方)の年齢は(43-25)÷2=9歳と分かります。

図2:

小=(和=差)÷2 です

9

 

つるかめ算(個数取り違え)

二種類の品物を買い物する時に、予定と実際で買う個数を逆にしてしまった問題です。

当ブログでは面積図ではなく、線分図を使って差集め算的なアプローチで解くのをすすめています。

ちなみに差集め算の公式は以下の通りでした。

差集め算の公式

●差の合計=一個の差×N(個数)

●N(個数)=差の合計÷一個の差

●一個の差=差の合計÷N(個数)

取り違え問題では二番目の公式「N(個数)=差の合計÷一個の差」を使います。

個数の取り違え

100円のアンパンと120円のクリームパンを合わせて20個買う予定でお店に行きましたが、買う個数を逆にしてしまったので160円高くなってしまいました。もともとの予定ではアンパンを何個買う予定だったでしょうか?
ヒント

差集め算っぽい線分図を書いてみましょう

図解

品物Aと品物Bの個数を取り違える問題の場合、

(予定金額と実際金額の差)÷(品物Aと品物Bの一個の値段の差)=AとBの個数の差 になります。
((図))

これと問題文に書いてある個数の和と合わせると和差算になります!

この問題の場合、予定金額と実際金額の差は160円、アンパンとクリームパンの一個の値段の差は120-100=20円なので、

160÷20=8個 がアンパンとクリームパンの個数の差になります。

問題文より個数の和が20個なので、

「大(もともとの個数が多い方)」「小(少ない方)」2つの数の和が20,差が8の和差算を解いて、「小」=(20-8)÷2=6 「大」=(20+8)÷2=14 と分かります

((図))

次に、アンパンとクリームパンのどちらが「小」か「大」かを考えると…

取り違えた結果高くなったので、もともとは値段が高いクリームパンの方が少なかった「小」と分かります。

よってもともとのアンパンは「大」で14個です。

答: 14

旅人算と和差算

旅人算の基本公式から…

旅人算の基本公式

●出会う時間=2人の距離÷2人の速さの和

●追いつく時間=2人の距離÷2人の速さの差

出会う時間と追いつく時間が分かっている場合には速さの和と差が分かります。

速さの和と差

●速さの和=距離÷出会う時間

●速さの差=距離÷追いつく時間

すると、速さの和と差で和差算が作れるので、2人それぞれの速さが出せます。

旅人算の和差算

池を一周する1800mの道があります。道沿いのスタート地点からAとBが反対方向に走り出すと4分後に出会い、同じ方向に走り出すと36分後にAがBに追いつきました。AとBの速さはそれぞれ毎分mですか?
ヒント

速さの和と差を求めましょう

図解

4分で出会っているので2人の速さの和=1800÷4=450m/分

36分で追いついているので2人の速さの差=1800÷36=50m/分

AとBは和450、差50の和差算(追いついているAが「大」)を解いて…

A=(450+50)÷2=250  B=(450-50)÷2=200  と分かります

答: A:250m/分,B:200m/分

流水算

流水算の船の速さは次の通りです。

平均の三公式と面積図

●川を下る時の速さ
=静水時の速さ+川の速さ

●川を上る時の速さ
=静水時の速さ-川の速さ

(静水=止まっている水)

線分図だけを拡大すると下図のようになります。

これは三量の和差算と同様の関係ですね。

この図より、上る速さと下る速さが分かっていれば、静水時の速さと川の流れの速さが求められます。

流水算の川の速さなど

●静水時の速さ=(上りの速さ下りの速さ)÷2

●川の速さ=(上りの速さ下りの速さ)÷2

これを使って問題を解いてみましょう。

流水算の和差算

川にそって15km離れて下流にA地点、上流にB地点がある。船に乗ってAからBまで往復したところ、行きは1時間40分、帰りは1時間かかった。この船の静水時の速さと川の流れの速さを求めなさい。
ヒント

まず上りと下りの速さをだしましょう。

図解

行きの速さ(上りの速さ)は15÷14060=9km/時、帰りの速さ(下りの速さ)は15÷1=15km/時なので

静水時の船の速さは(15+9)÷2=12km/時、川の流れの速さは(15-9)÷2=3km/時と分かります

静水時の速さ:12km/時
川の速さ:3km/時

爽茶そうちゃ
他分野との融合問題は以上です。

応用問題(2)
二重の和差算の解き方

爽茶そうちゃ

「二重の和差算」というのは、こんな問題です。「三つの数との和差算」との違いが分かりますか?

二重和差算の例

3つの数ABCの合計は220である。BはCより29大きく、AはBとCの和より14大きい。ABCはそれぞれいくつか?

「二つの数BCの和」と「残りの数A」との差が書いてあるのが特徴ですね!

解き方

「まず解いている所を見たい!」人は下のスライダーを使って下さい。画像の右端をクリックすると進みます。

二重の和差算

(例)ABCの合計は220で
AはBCの和より14大きくBはCより29大きい

  1. Aと「B+C」の和差算を始める
  2. AとB+C(BCの和)が出る。
  3. BとCの和差算を始める
  4. BとCが出て、終了~♪

このやり方で、例題を実際に解いてみましょう。

二重和差算の例題

3つの数ABCの合計は220である。AはBとCの和より14大きく、BはCより29大きい。ABCはそれぞれいくつか?
ヒント

❶AとB+Cの和差算を解く→❷BとCの和差算を解く という手順で解きましょう。

図解

❶AとB+Cの和差算を解く

「ABCの合計が220」で「AはBとCの和より14大きい」ので、BとCを別々に書かずにB+Cという一本の線分にして、AとB+Cという二本の線分で和差算と同じ図が書けますね。

これでAとB+Cの和差算を解いてA=117,B+C=103と分かります。

❷BとCの和差算を解く

ここでB+C=103というのは「BとCの和が103」と言うことですね。

問題文より「BはCより29大きい」ので、BとCの和は103、差は29(BがCより大きい)になります。

このBCの和差算を解いて、B=(103+29)÷2=66、B=(103-29)÷2=37と分かります。

答:A=117,B=66,C=37

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もっと問題を解きたい人向けに、記事の一番下でおすすめ教材を紹介しています。

和差算の発展問題
合計が書いていない場合

爽茶そうちゃ
最後は、三つの数があるのに「三つの合計」が書いてない!問題です。
(ここでは「疑似和差算」と読んでおきます)
疑似和差算には三種類ありますが、最後のタイプが重要です。

差が一つだけの問題

3つの数があって差が一つしか書いていないこんな問題です。

差が一つだけの例題

AとBの和が23、BとCの和が29、AとBの差が3である時、ABCはそれぞれいくつですか?

和差算と違って全部の合計が書いてありませんね。

よく読むか図を書くと分かりますが、AとBは和も差もかいてあります。

「ABの和差算にもう一つの数Cとの和がついた問題」と考えることができます。(「和差和わさわ算」と呼んでおきます)

この問題はABの和差算を解いてAとBを出した後、BCの和からBを引いてCを出せばOKです。

和が一つだけの問題

3つの数があって和が一つしか書いていないこんな問題です。

和が一つだけの例題

AとBの和が22、AとBの差が2、BとCの差が9である時、ABCはそれぞれいくつですか?

今度はAとBの「和」と「差」に加えてもう一つの数Cとの「差」が書いてあります。

和差算にもう一つ「差」がついた問題と考えられますね(「和差差わささ算」と呼んでおきます)

この問題はABの和差算を解いてAとBを出した後、BCの差をBに足してCを出せばOKです。

和しか書いてない問題の解き方

3つの数があって和しか書いていない(差が全く書いてない!)こんな問題です。

和しかない問題の例

3つの数ABCがあります。AとBの和が17、BとCの和が22、AとCの和が25の時、ABCはそれぞれいくつですか?

和が3つなので「和和和算(わわわざん)」と呼んでおきます。

このタイプはよく出題されるので出来るようにしておきましょう。ただ、解き方が少し複雑です。

例題を解きながら解法を理解して下さい(2020.2.12 解法を訂正しました)。

和和和算の例題

3つの数ABCがあります。AとBの和が17、BとCの和が22、AとCの和が25の時、ABCはそれぞれいくつですか?
手順

❶和の式を並べる→❷三つの和の式から3数の合計を求める→❸三つの和の式と問題の和の式から3数を求める

図解

❶和の式を並べる

今まで問題を読んだら(読みながら)線分図を書きましたが、「和和和算」はまず三つの「和の式」を縦に並べて書きます。

図1
A+B=
B+C=
A+C=
17
22
25
2数それぞれの和

❷和の式の合計÷2で3数の合計を出す

三つの「和の式」を全部合計すると、「=」をはさんで左側は「A+B + B+C + A+C」になり、右側は「17+22+25」になります。

それぞれを整理すると左側は「(A+B+C)+(A+B+C)」に、右側は「64」になります。

図2
A+B=
B+C=
+) A+C=
A+B+B+C+A+C=
A+B+C+A+B+C=
17
22
25
17+22+25
64
A+B+C二組の和が分かる

(A+B+C)が2つで64なので、A+B+Cつまり3数の合計は64÷2=32 と分かりました。

図3
(A+B+C)+(A+B+C)=
(A+B+C)=
64
64÷2=32
ABCの合計が分かりました。

❸三つの和の式と問題の和の式から3数を求める

②で求めた3つの和の式「A+B+C=32」と問題の和の式の一つ「A+B=17」を並べてみます。

引き算をすると、二つの式の違い32-17=15はCそのものと分かります。

図2:
A+B+C=32
- A+B+C=17
C=15
Cを求める

同様に、ABも求めます。

図3:
A+B+C=32
A+B+C=22
A+B+C=10
Aを求める
図4:
A+B+C=32
- A+B+C=25
A+B+C=27
Bを求める

A:10,B:7,C:15

和しか書いていない問題(六和算)

4つの数から2つづつ選んだ和しか分からない問題です(六和算!)

X-2:六和算

4つの数を小さい順にA,B,C,Dと名付ける。2つずつ和を求めると5,7,8,9,10,12になった。A,B,C,Dはそれぞれいくつか。
(ヒント)

6個の和の数字の真ん中の2個がポイントです。

(解説)

和が6個出てきますが、このうち上2つと下2つは由来が分かります。下の2つはA+B=5,A+C=7で上の2つはB+D=10,C+D=12です。真ん中の2つはA+DかB+Cのどちらですが、どちらが8でどちらが9というのはすぐには分かりません。

((図))

A+B=5とA+C=7(またはB+D=10とC+D=12)からBとCの差が2と分かります。後はB+Cが8か9のどちらかが分かれば和差算でBとCを求められます。

ここで、差が2である2つの数の和は必ず偶数になる(詳しい説明はクリック)のでB+C=8で、和差算でB=3,C=5と分かります。

BCが分かったので、まだ使っていない式を利用してADを求めます。

A+B=5からA=2,C+D=12からD=7と分かります。

A=2,B=3,C=5,D=7

 

これで和差算の類似問題は終了です。

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疑似和差算を練習したい人のために、大量9枚のプリントを用意しました(前半は二重の和差算です)。コチラへどうぞ。

変化する問題

これまでは、数量の関係は固定されていましたが、一度出来た数量関係が変化する場合があります。

そのような変化の問題は「分配算」の方にたくさんありますが、和差算でも問題は作れます。

例えばこういう問題です。

「変化の和差算」の例

AとBは合わせて460円持っていたが、Aが80円使ってBは120円もらったので二人の金額は等しくなった。ABは最初いくらづつ持っていたか

変化する前と後を分けて、線分図を書きます。左端をきちんとそろえたら、あとはできるだけ単純に書きましょう

次に「後」の線から上に向かって線を引き、使った金額ともらった金額を書き込みます。

すると「前」の和と差が分かって、和差算になりました。

いつもの和差算でA=330,B=130と分かります。

このように「金額がそろった」場合は、無理して図をまとめず2つ書いてから、そろった図からもう一方に線を引くと考えやすくなります。

変化する問題(そろう場合)
  1. 「前」と「後」2つの図を書く
  2. そろった方の線の先から、一方に線を引く
  3. 「スキマ」に数値を書き込み考える。

ためしに一問どうぞ。

確認テスト(タッチで解答表示)

AとBは同じ金額をもっていたが、Aが100円使って、Bが300円もらったところ、2人の合計は980円になった。はじめいくら持っていたか?
→( 図を書くと和が980,差が400の和差算になる。 )
→( 後のAは(980-400)÷2=290。Bは(980+400)÷2=690 )
→( 前のABの金額は290+100=(690-300=)390円 )

これで和差算は終了です!

オススメ教材

爽茶そうちゃ

他にも「和と差」の分野の記事があるので見て下さい!
→分配算へ →平均算

おすすめ問題集紹介
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