作成中]中学受験】差集め算とは?全パターンのまとめ【特殊算

「差集め算が分からない!」「面積図と線分図どちらを書けば良いの?」という中学受験生と保護者の方、お任せ下さい。

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が色々なタイプの差集め算とその解法を分かりやすく教えます。

読み終える頃にはスッキリと理解できているでしょう。

差集め算の学習方法

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

面積図?線分図?

差集め算は線分図の問題に分類されますが、その中の「過不足算」は面積図で説明しているテキスト・塾が多いようです。

また「つるかめ算」も表や置き換え(差集め算)だけでなく面積図で解くことも多いですね。

このように、同じ問題を面積図と線分図の両方で解くことが出来るので、どちらが良いのか疑問に思う人も多いでしょう。

どちらでも良いのですが、学習を進めるうちに、どうしても面積図では表すのが難しい問題が出てきます。

従って「線分図を基本解法に面積図も書けるようにしておく」のが一番応用が利いてベストでしょう(2017.5.2)。

差集め算は線分図の終着駅

差集め算は線分図の「終着駅」で、難しい問題が多いです。

しっかり練習して上手に書けるようにして下さい。

基本の差集め

「差」を「集め」る

20人の生徒に鉛筆を7本配った時(A)と9本づつ配った場合(B)の必要な鉛筆の本数の差を求めます。

それぞれ合計を求めて(A)7×20=140本、(B)9×20=180本なので、差は180-140=40本と求められます。

しかし他にも求め方があります。

1人に配る鉛筆の本数の差は9-7=2本です。20人にくばると、この差2本が20人分集まるので20×2=40本と求められます。

このように、1人あたりの差を人数分あつめて、差の合計を求めるのが「差集め算」の基本的なやり方です。

公式にすると次のようになります。

差集め算の公式

●差の合計=1個あたりの差×個数(N)

○個数(N)=差の合計÷1個の差

○1個の差=差の合計÷個数(N)

一番使うのはBの公式です。

線分図にする

実際の問題では線分図を書いて解くので、先程の例を線分図にしてみます。

20人の生徒に鉛筆を7本配った時の鉛筆の本数140本はこのようになります。

図1:20人に7本ずつ配る

7×20=140本

9本づつ配った場合(B)の180本はこのようになります。

図2:20人に9本ずつ配る

9×20=180本

この二本の線分図を縦に並べた時の長さの違いが40本になり、これが1人の差2本×人数20人と等しくなります。

図3:20人に7本ずつ配った場合
と9本ずつ配った場合

線分AとBの20の赤い区切りを基準にする

図では20本目の区切りの右端(赤い部分)の差が「差の合計」を表しています。この同じ丸数字の区切りを強調して差の合計を作るという書き方が重要なので必ず憶えて下さい。

問題で定着

実際に練習してみましょう

過不足算A
(Nが揃っていて端数も無い)

パターンAは、決まった人数にアメを配ることを「計画」した時にアメが余ったり不足したりする次のような問題です。

 

さらに3つのケースに分けられます。

A-a余ったり不足したり(不足したり余ったり)
A-b余って、また余る
A-c不足して、また不足

順番に解いていきましょう。

余ったり不足したり

はじめの計画だと余り、つぎの計画で配る数を増やしたら足りない、という場合

例えば「何人かの子どもたちにアメを6個ずつ配ると11個余り、8個ずつ配ると3個足りない。アメと子供の数を求めよ」という問題

一般に「過不足算」と言って連想されるのはこのタイプです

線分図(差集め算)で解く

 

 

このように、ここからは「計画Aで必要な数」「実際の数」「計画Bで必要な数」の3本書いて解きます。

面積図で解く

過不足算Aは面積図で解説するテキストもあるので、そのやり方も載せておきます

 

この過不足算Aだけならば、面積図で解いても良いでしょう。

また余る場合

また余る(はじめは余り、つぎは配る数を増やしたのにまた余る、という場合)

何人かの子供たちにアメを12個ずつ配ると20個余り、14個ずつ配ると4個余る。

また不足する場合

はじめは不足し、つぎは配る数を減らしたのにまた不足、という場合

 

「沢山の問題を解きたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

過不足算B
(端数がある)

過不足算「B」は決まった数の人(椅子)に実際にアメを配る(人を座らせる)ような問題。

例えば「」

過不足算Aは「配る予定」でしたが、Bでは「実際に配る」ので、規定数より少ないアメしかもらえない人や、全くもらえない人のような「端数」が出てくるのが特徴。

この「端数」のせいで面積図にするのが難しくなるので、線分図で解くのが良い。

端数の表現法

 

 

解き方を理解

 

 

 

「詳しく知りたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

過不足算C
(Nが揃っていない)

配る人数が予定よりも増えたり減ったり、つまり予定と実際の「N」が揃っていない問題。

線分図を延長・短縮して、自分でNをそろえる必要がある。

さらに2つのケースに分けられる

Nを求める問題

 

★一つあたりの量を求める問題

Nでは無く、実際の一つあたりの量を求める問題。頭の使い方が他とは少し異なるので管理人自身も一瞬「ん?」と考えることがあります。

 

「詳しく知りたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

つるかめ算を線分図で解く

つるかめ算を面積図でなく線分図で解くと応用パターンにも対応できる。

基本のパターン

一般的には面積図が知られているが、実は差集め算で解く方が応用が利くのです。

 

 

関連記事「つるかめ算を面積図でないやり方で解く」も見て下さい。

マイナスがある場合(弁償算)

「皿洗いの仕事で洗うと賃金・割ると罰金」や「クイズに正解すると得点・不正解だと失点」などの場合。

この場合は、図を書きません(無理すれば書けますが訳分からなくなります)。数字だけで考えます。

差集め算の基本パターンで、公式Bを使って
「全問正解の場合」と「N問不正解の場合」の差の合計を差で割ってNを出します

詳しくは関連記事「つるかめの応用。弁償算の解き方」を見て下さい。

ペアを作る差集め算

二種類の量を別々の線分図に書いていたのを
二種類の量ひとつづつをセットにして、一本の線分にする

図の書き方

男子と女子をペアにして一本の線分図にして、余った男子(女子)を後ろにつなげる。

ペアを1個、2個…N個と数える。二種類の事例を二本の線分図にする。

つるかめ算の取り違え

二種類の量をペアにして一本の線分図にして、
余った量を後ろにつなげる。
余った量を1個、2個…N個と数える。
二種類の事例を二本の線分図にする。

詳しくは関連記事「個数を取り違えたつるかめ算」を見て下さい。

次のステップへ

これで差集め算は大丈夫ですね?和と差の問題には他には「」「」があります。

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