作成中]中学受験】差集め算とは？過不足算と合わせて説明【特殊算

中学受験算数の「差集め算」が分からない！とお悩みの受験生の方へ

確かに「差集め算」は線分図の系統の最後の問題、いわば線分図の集大成なので難しいのです…でも、これで線分図は終了です！これをマスターすれば大抵の入試問題の線分図にも歯が立つようになりますよ

線分図の集大成なので書き方が少し難しいですが、この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が色々なタイプの差集め算とその解法を分かりやすく説明します

また受験算数の「過不足算」も実は線分図で解いた方が応用が効くので「差集め算」の一種として説明します

記事を読みながら真似して線分図を練習すれば、読み終える頃には「差集め算」「過不足算」が苦手ではなくなっているでしょう

記事が長いのでブックマークして何回かに分けて読むのをオススメします

面積図？線分図？

差集め算の一種「過不足算」や「つるかめ算」を面積図で解説するテキストや塾は少なくありません。

面積図と線分図のどちらが良いのか疑問に思う人も多いでしょう。

正直解ければどちらでも良いのですが、学習を進めるうちに面積図では表すのが難しい問題が出てきます。

従って「線分図を基本解法にして、面積図も書けるようにしておく」のが一番応用が利いてベストでしょう(2017.5.2)。

基本の差集め

「差」を「集め」る

普通の考え方(引き算)

20人の生徒に鉛筆を9本配った時(計画A)と7本づつ配った場合(計画B)の必要な鉛筆の本数の差を求めます。

単純に考えると、Aでは9×20=180本、Bでは7×20=140本なので、差は180-140=40本と求められます。

このような「引き算」が普通の考え方ですが、他にも求め方があります。それが「差を集める」考え方です。

差を集める考え方(かけ算)

配る鉛筆の1人あたりの差は9-7=2本です。

20人にくばると、この差2本が20人分集まるので20×2=40本と求められます。

180や140等の合計を出していないのが特徴です

このように、1人あたりの差を人数分あつめて、差の合計を求めるのが「差集め算」の基本的なやり方です。

公式にすると次のようになります。

2番目の公式を一番使いますが、1番目の公式だけを憶えて逆算で2番目・3番目を出しても良いでしょう。

線分図にする

実際の問題では線分図を書いて解くので、先程の例「20人の生徒に鉛筆を7本配った時(A)と9本づつ配った場合(B)の必要な鉛筆の本数の差」を線分図にしてみます。

9本ずつ20人に配る計画Aでの140本と7本ずつ配る計画Bでの140本の差を求めて、180-140=40本と引き算で出すのが単純な考え方

図1:単純な考え方(引き算)

(9×20)-(7×20)=40という計算

一方、1人の差2を20人分集める、つまりかけ算が「差集め」の考え方です。

計画A計画Bそれぞれ最後の(20)の区切りの右端が太くなっているのに注意して下さい。2つの太い区切りの間の長さが「差の合計」を表しています。

「同じカッコ数字(この場合は20)の区切りを太くして差を見つける」というのが差集め算の基本なので必ず憶えて下さい。

今の例を公式と並べるとこうなります。

たいていの場合は2番目の式でNを求めますが、一番上の式だけを覚えておいて「？」を入れて式を作って逆算で解いてもOKです。

面積図にする

面積図にもしてみます。

 

問題文の条件が複雑になると、面積図は書くのが難しくなるので、当サイトでは線分図をオススメします。

問題で定着

この公式を使えば解けるはずです。

または？を入れて最初の式を作って逆算でもOK

個数の異なる(不揃いの)差集め算

Nを求める問題

妹は65円の鉛筆を何本か買い、姉は80円の鉛筆を妹より2本多くかったところ代金が340円高くなった。妹は何本買ったか？

少ない妹の本数を「N」にして姉は「N+2」とします。姉の線分図は(N)で終わらずに(N+1)(N+2)まで続けます。

図1:

説明書き

姉妹の(N)の右端の間の大きさが差の合計です。

340-160=180円と分かる。

図1:

説明書き

1個の差は80-65=15円なので、本数(N)=180÷15=12本

一方の単価を求める問題

例題
リンゴをちょうど8個買える金額を用意していたが、気が変わって40円高い洋梨にしたところ6個買えて20円余った。リンゴは1個何円か？

個数(N)が全部書いてあるのが特徴です。

まずリンゴと洋梨の線分図を描きます。少ない方の個数(6)を両方の線分に描きましょう

図1:

説明書き

いつもは(N)の右端を比べますが、今回はリンゴと洋梨の(6)の右端同士を比べましょう

図1:

説明書き

差の合計は240円で、これに余り20を加えた260円がA2つ分なので、リンゴは260÷2=130円と分かります。

 

次は「過不足算」です。

過不足算の準備

「過不足算」を解く前に準備をしましょう。

準備(余りと不足の線分図)

まず、「余り」と「不足」の意味を理解して線分図にする練習。

二本の線分図の長短

余る・不足というのは「配ろうとする計画で必要な個数」と「実際にある個数」の大小関係と考えられます。

「余る」→ 計画(小) < 実際(大)
「不足」→ 計画(大) > 実際(小)

これを線分図にすると、

「余る」→ 計画の線分(短い) < 実際の線分(長い)
「不足」→ 計画の線分(長い) > 実際の線分(短い)

になります。「計画」と「実際」どちらの線分図が長いか(多いか)を考えると分かりやすいでしょう。

余りと不足の線分図

「計画」と「実際」の長短に注意する

練習問題

例1
20人の生徒にアメを3個づつ配ろうとしたら24個余った。アメは実際に何個あるか？

余ったので「実際」が「計画」より長くなります。

まず、配ろうという「計画」の線分を3の長さの区切りがつながった形で書き、その下に24長い「実際」の線分を書く

これで「実際」のアメの個数は3×20+24=84個と分かります。

例2
20人の生徒にアメを5個づつ配ろうとしたら16個足りなかった。アメは実際に何個あるか？

足りない場合は「計画」が「実際」より長くなります。

まず、配ろうという「計画」の線分を書き、その下に区切りの長さ(5)を基準にして16短い「実際」の線分を書く

そして「実際」の長さは20×5-16=84個です

確認テスト

 

面積図

 

基本の過不足算
(Nが揃っていて端数も無い)

単純な「余り」と「不足」が書けたら、いよいよ「過不足算」の問題です。

「基本の過不足算」は決まった人数にアメを配ることを「計画」した時にアメが余ったり不足したりする問題です。

3つの場合に分けられます。

順に説明します

余ったり不足したり

まずは、はじめの計画(計画A)だと余り、つぎの計画(計画B)で配る数を増やしたら足りない、という場合(一般に「過不足算」と言って連想されるのはこのタイプ)

1-1:余ったり不足したり

クラスの生徒にアメを3個づつ配ろうとしたら24個余ったので、5個づつ配ろうとしたら16個足りなかった。アメは実際に何個あるか？

線分図(差集め算)で解く

文章の順に「計画A」「実際」「計画B」三本の線分を書きます。長さの関係が「計画A」<「実際」で「実際」<「計画B」になるように書きます。

「余って足りない」

余りa

不足b

計画A

実際

計画B

計画A<実際<計画B
差の合計はa+bになる

さらに、AとBの差を四本目として書き込むと図が完成です。

 

これを頭に入れて、先程の例題を解いていきます。

クラスの生徒にアメを3個づつ配ろうとしたら24個余ったので、5個づつ配ろうとしたら16個足りなかった。アメは実際に何個あるか？

生徒の人数が分からないのでNとして区切りを書きます。この時、Nの区切りの右端を濃く書いて下さい。

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で24+16=40個になります。

これで、差の合計(40)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=40÷2=20人と求めます。

さらにアメの個数は3×20+24(Aを使った計算)または5×20-16(Bを使った計算)で84個と分かりました。

 

確認テスト
何人かの子どもたちにアメを6個ずつ配ると11個余り、8個ずつ配ると3個足りない。アメと子供の数を求めよ

 

 

 

面積図で解く

基本の過不足算は面積図で解説するテキストもあるので、そのやり方も載せておきます

 

この基本の過不足算だけならば、面積図で解いても良いですが、線分図も書けるようにしておきましょう。

また余る

はじめの計画(計画A)で余り、つぎの計画(計画B)で配る数を増やしたのにまた余る、例えば「何人かの子供たちにアメを12個ずつ配ると20個余り、14個ずつ配ると4個余る。」という場合です。

さっきは「計画A」<「実際」<「計画B」という関係でしたが、今度は「実際」が「計画A」だけでなく「計画B」よりも多いので「計画A」<「計画B」<「実際」という関係になります。

「また余る」場合

余り
b

計画A

実際

余りa

計画B

計画A<計画B<実際
差の合計はa-bになる

例2
何人かの子供たちにアメを12個ずつ配ると20個余り、14個ずつ配ると4個余る。

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で20-4=16個になります。

これで、差の合計(16)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=16÷2=8人と求めます。

さらにアメの個数は12×8+20(Aを使った計算)または14×8+4(Bを使った計算)で116個と分かりました。

面積図の場合

また不足

はじめは不足し、つぎは配る数を減らしたのにまた不足、という場合

今度は「実際」<「計画B」<「計画A」という関係になります。

「また足りない」場合

不足a

不足b

計画A

実際

計画B

実際<計画A<計画B
差の合計はb-aになる

例
何人かの生徒にアメを8個ずつ配ろうとしたら33個足りなかったので6個ずつ配ろうとしたが、まだ1個足りなかった。アメは何個か？

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で33-1=32個になります。

これで、差の合計(32)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=32÷2=16人と求めます。

さらにアメの個数は8×16-33(Aを使った計算)または66×16-1(Bを使った計算)で95個と分かりました。

確認テスト

 

小まとめ

これまで出てきた3つの場合を並べるとこうなります。

((3タイプの比較))

 

「沢山の問題を解きたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

 

不ぞろいの過不足算
(Nが揃っていない)

配る人数が予定よりも増えたり減ったり、つまり予定と実際の「N」が揃っていない問題。

線分図に(N)を2つ書いて、その間の大きさを見つけます。

(例題)
何人かの生徒にチョコを6個ずつ配ると3個余るはずだったが、当日1人が欠席し配るのも5個づつに減らしたので20個余った。チョコは何個あるか？

当日の人数がN人、計画時が(N+1)人。

図1:

説明書き

(N)の右端を見比べると差の合計は20-(3+6)=11個。

1人の差が1個なので、当日の人数(N)=11÷1=11人

チョコは5×11+20=75個

端数の過不足算
(Nがそろっているが端数がある)

基本の過不足算は配る「予定」でしたが、今度は実際に配ってみます。

すると、予定より少ないアメしかもらえない人や、全くもらえない人のような「端数」が出てきます。これが「端数の過不足算」です。

この「端数」のせいで面積図にするのが難しくなるので、線分図で解きましょう。

準備(端数の表現)

端数を線分図にする練習

例
21人の生徒にアメを6個づつ配ったところ、1人の生徒は4個しかもらえず、まったくもらえない生徒も1人いた。アメは何個あったか

「不足」なので「計画A」が「実際」よりも短くなります。

「計画」の線分図は最後の区切り(21)がゼロで、最後から2番目の区切り(20)は4個だけでです。

 

「実際」は「計画」の線分図の実線部分と等しくなるので

(二本の線分図)

「計画」全体の長さ(6×21=126)から、「計画」の青い部分(6+2)を引けばOKです。

(6×21)-(6+2)=118個と分かります。

図1:

説明書き

確認テスト

余って足りない

例
何人かの生徒にアメを5個ずつ配ったところ13個余ったので、今度は6個ずつ配り直したところ1人の生徒は4個しかもらえず、まったくもらえない生徒も1人いた。アメは何個あったか

計画Aでは13個余り、

計画Bでは「4個しかもらえない生徒」と「全くもらえない生徒」の分が2+6=8個足りない

これをに線分図を書くとこうなります。

図1:

説明書き

2つの(N)の右端を比べると…差の合計は21と分かります。

図1:

説明書き

1人の差は6-5=1個なので、人数(N)=21÷1=21人。

アメの個数は6×21-8=118個

 

また不足

 

 

「詳しく知りたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

 

ペアを作る過不足算

二種類の量を別々の線分図に書いていたのを
二種類の量ひとつづつをセットにして、一本の線分にする

例えばクラスの男女それぞれに違う量を与える場合

人数の差が分かっている場合

例題
男子が女子より3人多い。男子に3個、女子に4個ずつアメをあげると8個余る。一方、男子に5個、女子に3個ずつあげると7個足りない。

男子と女子をペアにする(N組できたとする)。3人の男子はペアになれない。

最初の計画では1ペアに7個ずつ、3人の男子には計9個のアメを配って8個余る

二番目の計画では1ペアに8個ずつ、3人の男子には計15個のアメを配って7個足りない

アメの個数を真ん中に三段の線分図を書き、ペアの個数(N)の右端を比べる

図1:

ペアの右端の区切りを比較

差の合計は9になり、一つの差は1なので、N=9÷1=9で、ペアは9組(女子の人数と同じ)で、男子は9+3=12人になる。

合計が分かっている場合

男女差が分からず男女の合計が分かっている場合は、二種類の事例での男女の配布量の合計が等しくなっている

例題
男女の合計が18人。男子に4個、女子に4個ずつアメをあげると7個余る。一方、男子に3個、女子に5個ずつあげると5個余る。

問題文から、女子に増やした計画の方が必要なアメの個数が多くなるので女子の人数が多いと予想できる(N人多いとしておく)。

ペアをつなげると、どちらの計画でも1ペアのアメは8っ子なので、ペアの部分は長さが同じになる。

図1:

ペアの部分は等しくなっている

余った女子N人の部分で差の合計が2になり、1人の差が1なので、N=2÷1=2で余りの女子が2人、つまり女子が2人多いと分かる。

男女の和が18で差が2なので和差算の計算により、男子8人・女子10人と求められる。

図1:

説明書き

この特殊な場合がつるかめの取り違え(後述)になる

 

つるかめ算を線分図で解く

つるかめ算を面積図でなく線分図で解くと応用パターンにも対応できる。

基本のパターン

一般的には面積図が知られているが、実は差集め算で解く方が応用が利くのです。

「100円のピザまんと80円の肉まんを合わせて20個買ったら1860円だった」場合

全部ピザまんだった場合の仮合計(2000)と実際の代金(1860)の合計の差140は、1個をピザまんから肉まんに買えた場合の差(100-80=20)がN個集まった(つまり肉まんをN個買った)もの、と考える。

「100円のピザまんと
80円の肉まんを
合わせて20個買ったら
1860円だった」

肉まんをN個した線分図

140÷20=7が肉まんの個数

関連記事「つるかめ算を面積図でないやり方で解く」も見て下さい。

マイナスがある場合(弁償算)

「皿洗いの仕事で洗うと賃金・割ると罰金」や「クイズに正解すると得点・不正解だと失点」などの場合。

例えば、「クイズに正解すると100円もらえるが、不正解だと30円の罰金になる20問のクイズで1350円もらえた場合、何問正解したか？」という問題

差集め算の基本パターンで、公式Bを使って
「全問正解の場合の仮合計」と「N問不正解の場合」の差の合計を1問を不正解になった場合の差(100+30=130:足し算になることに注意)で割ってNを出します

図1:

説明書き

N=650÷130=5で、不正解は5問と分かります。

詳しくは関連記事「つるかめ算のまとめ」内の「弁償算の解き方」を見て下さい。

個数取り違え

例題
90円のピザまんと120円の肉まんを合計20個買うのに、ピザまんと肉まんの買う個数を予定と逆にしてしまったので、予定よりも180円高くなってしまった。 ピザまんと肉まんをそれぞれ何個ずつ買う予定だったか

上で見た「ペアを作る過不足算」の「プランABでペアの合計が同じ場合」の特殊例です

取り違えても個数が共通する部分は変わらない。例えばアメ3個とガム5個を取り違えた場合

図1:

説明書き

共通する3個分は取り違えても変わらずに、個数の「差」2個分のみ変化する。この考えを利用する

例題の場合、ピザまんと肉まんの個数の差をNとして線分図を書く

図1:

説明書き

個数の差N=6と分かるので、ピザまんと肉まんの個数は和20,差6の和差算になる

図1:

説明書き

ピザまん13個、肉まん7個と分かります。

詳しくは関連記事「個数を取り違えたつるかめ算」を見て下さい。

次のステップへ

これで差集め算は大丈夫ですね？和と差の問題には他には「」「」があります。

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