作成中]中学受験】差集め算とは？過不足算と合わせて説明【特殊算

中学受験算数の「差集め算」が分からない！とお悩みの受験生の方へ

確かに「差集め算」は線分図の系統の最後の問題、いわば線分図の集大成なので難しいのです…でも、これで線分図は終了です！これをマスターすれば大抵の入試問題の線分図にも歯が立つようになりますよ

線分図の集大成なので書き方が少し難しいですが、この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が色々なタイプの差集め算とその解法を分かりやすく説明します

また受験算数の「過不足算」も実は線分図で解いた方が応用が効くので「差集め算」の一種として説明します

記事を読みながら真似して線分図を練習すれば、読み終える頃には「差集め算」「過不足算」が苦手ではなくなっているでしょう

記事が長いのでブックマークして何回かに分けて読むのをオススメします

基本の差集め

「差」を「集め」る

普通の考え方(引き算)

20人の生徒に鉛筆を9本配った時(計画A)と7本づつ配った場合(計画B)の必要な鉛筆の本数の差を求めます。

単純に考えると、Aでは9×20=180本、Bでは7×20=140本なので、差は180-140=40本と求められます。

このような「引き算」が普通の考え方ですが、他にも求め方があります。それが「差を集める」考え方です。

差を集める考え方(かけ算)

配る鉛筆の1人あたりの差は9-7=2本です。

20人にくばると、この差2本が20人分集まるので20×2=40本と求められます。

180や140等の合計を出していないのが特徴です

このように、1人あたりの差を人数分あつめて、差の合計を求めるのが「差集め算」の基本的なやり方です。

公式にすると次のようになります。

2番目の公式を一番使いますが、1番目の公式だけを憶えて逆算で2番目・3番目を出しても良いでしょう。

線分図にする

実際の問題では線分図を書いて解くので、先程の例「20人の生徒に鉛筆を7本配った時(A)と9本づつ配った場合(B)の必要な鉛筆の本数の差」を線分図にしてみます。

9本ずつ20人に配る計画Aでの140本と7本ずつ配る計画Bでの140本の差を求めて、180-140=40本と引き算で出すのが単純な考え方

図1:単純な考え方(引き算)

(9×20)-(7×20)=40という計算

一方、1人の差2を20人分集める、つまりかけ算が「差集め」の考え方です。

計画A計画Bそれぞれ最後の(20)の区切りの右端が太くなっているのに注意して下さい。2つの太い区切りの間の長さが「差の合計」を表しています。

「同じカッコ数字(この場合は20)の区切りを太くして差を見つける」というのが差集め算の基本なので必ず憶えて下さい。

今の例を公式と並べるとこうなります。

たいていの場合は2番目の式でNを求めますが、一番上の式だけを覚えておいて「？」を入れて式を作って逆算で解いてもOKです。

面積図にする

面積図にもしてみます。

 

問題文の条件が複雑になると、面積図は書くのが難しくなるので、当サイトでは線分図をオススメします。

問題で定着

この公式を使えば解けるはずです。

または？を入れて最初の式を作って逆算でもOK

端数のある差集め算

 

次は「過不足算」です。

過不足算の準備

「過不足算」を解く前に準備をしましょう。

準備(余りと不足の線分図)

まず、「余り」と「不足」の意味を理解して線分図にする練習。

二本の線分図の長短

余る・不足というのは「配ろうとする計画で必要な個数」と「実際にある個数」の大小関係と考えられます。

「余る」→ 計画(小) < 実際(大)
「不足」→ 計画(大) > 実際(小)

これを線分図にすると、

「余る」→ 計画の線分(短い) < 実際の線分(長い)
「不足」→ 計画の線分(長い) > 実際の線分(短い)

になります。「計画」と「実際」どちらの線分図が長いか(多いか)を考えると分かりやすいでしょう。

余りと不足の線分図

「計画」と「実際」の長短に注意する

練習問題

例1
20人の生徒にアメを3個づつ配ろうとしたら24個余った。アメは実際に何個あるか？

余ったので「実際」が「計画」より長くなります。

まず、配ろうという「計画」の線分を3の長さの区切りがつながった形で書き、その下に24長い「実際」の線分を書く

これで「実際」のアメの個数は3×20+24=84個と分かります。

例2
20人の生徒にアメを5個づつ配ろうとしたら16個足りなかった。アメは実際に何個あるか？

足りない場合は「計画」が「実際」より長くなります。

まず、配ろうという「計画」の線分を書き、その下に区切りの長さ(5)を基準にして16短い「実際」の線分を書く

そして「実際」の長さは20×5-16=84個です

確認テスト

 

面積図

 

基本の過不足算
(Nが揃っていて端数も無い)

単純な「余り」と「不足」が書けたら、いよいよ「過不足算」の問題です。

「基本の過不足算」は決まった人数にアメを配ることを「計画」した時にアメが余ったり不足したりする問題です。

3つの場合に分けられます。

順に説明します

余ったり不足したり

まずは、はじめの計画(計画A)だと余り、つぎの計画(計画B)で配る数を増やしたら足りない、という場合(一般に「過不足算」と言って連想されるのはこのタイプ)

1-1:余ったり不足したり

クラスの生徒にアメを3個づつ配ろうとしたら24個余ったので、5個づつ配ろうとしたら16個足りなかった。アメは実際に何個あるか？

線分図(差集め算)で解く

文章の順に「計画A」「実際」「計画B」三本の線分を書きます。長さの関係が「計画A」<「実際」で「実際」<「計画B」になるように書きます。

「余って足りない」

余りa

不足b

計画A

実際

計画B

計画A<実際<計画B
差の合計はa+bになる

さらに、AとBの差を四本目として書き込むと図が完成です。

 

これを頭に入れて、先程の例題を解いていきます。

クラスの生徒にアメを3個づつ配ろうとしたら24個余ったので、5個づつ配ろうとしたら16個足りなかった。アメは実際に何個あるか？

生徒の人数が分からないのでNとして区切りを書きます。この時、Nの区切りの右端を濃く書いて下さい。

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で24+16=40個になります。

これで、差の合計(40)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=40÷2=20人と求めます。

さらにアメの個数は3×20+24(Aを使った計算)または5×20-16(Bを使った計算)で84個と分かりました。

 

確認テスト
何人かの子どもたちにアメを6個ずつ配ると11個余り、8個ずつ配ると3個足りない。アメと子供の数を求めよ

 

 

 

面積図で解く

基本の過不足算は面積図で解説するテキストもあるので、そのやり方も載せておきます

 

この基本の過不足算だけならば、面積図で解いても良いですが、線分図も書けるようにしておきましょう。

また余る

はじめの計画(計画A)で余り、つぎの計画(計画B)で配る数を増やしたのにまた余る、例えば「何人かの子供たちにアメを12個ずつ配ると20個余り、14個ずつ配ると4個余る。」という場合です。

さっきは「計画A」<「実際」<「計画B」という関係でしたが、今度は「実際」が「計画A」だけでなく「計画B」よりも多いので「計画A」<「計画B」<「実際」という関係になります。

「また余る」場合

余り
b

計画A

実際

余りa

計画B

計画A<計画B<実際
差の合計はa-bになる

例2
何人かの子供たちにアメを12個ずつ配ると20個余り、14個ずつ配ると4個余る。

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で20-4=16個になります。

これで、差の合計(16)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=16÷2=8人と求めます。

さらにアメの個数は12×8+20(Aを使った計算)または14×8+4(Bを使った計算)で116個と分かりました。

面積図の場合

また不足

はじめは不足し、つぎは配る数を減らしたのにまた不足、という場合

今度は「実際」<「計画B」<「計画A」という関係になります。

「また足りない」場合

不足a

不足b

計画A

実際

計画B

実際<計画A<計画B
差の合計はb-aになる

例
何人かの生徒にアメを8個ずつ配ろうとしたら33個足りなかったので6個ずつ配ろうとしたが、まだ1個足りなかった。アメは何個か？

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で33-1=32個になります。

これで、差の合計(32)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=32÷2=16人と求めます。

さらにアメの個数は8×16-33(Aを使った計算)または66×16-1(Bを使った計算)で95個と分かりました。

確認テスト

 

小まとめ

これまで出てきた3つの場合を並べるとこうなります。

((3タイプの比較))

 

「沢山の問題を解きたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

端数の過不足算
(Nがそろっているが端数がある)

基本の過不足算は配る「予定」でしたが、今度は実際に配ってみます。

すると、予定より少ないアメしかもらえない人や、全くもらえない人のような「端数」が出てきます。これが「端数の過不足算」です。

この「端数」のせいで面積図にするのが難しくなるので、線分図で解きましょう。

準備(端数の表現)

端数を線分図にする練習

例
21人の生徒にアメを6個づつ配ったところ、1人の生徒は4個しかもらえず、まったくもらえない生徒も1人いた。アメは何個あったか

「不足」なので「計画A」が「実際」よりも短くなります。

(抽象的な線分図)

「計画」の線分図は最後の区切り(㉑)がゼロ(6個分が点線になる)で、最後から2番目の区切りは(⑳)4個だけで(2個分が点線になる)です。

(計画の線分のアップ)

「実際」は「計画」の線分図の実線部分と等しくなるので

(二本の線分図)

「計画」全体の長さ(6×21)から、「計画」の空白部分(6+2)を引けばOKです。

(二本の線分図端数(点線合計)表示)

(6×21)-(6+2)=118個と分かります。

確認テスト

余って足りない

例
何人かの生徒にアメを5個ずつ配ったところ13個余ったので、今度は6個ずつ配り直したところ1人の生徒は4個しかもらえず、まったくもらえない生徒も1人いた。アメは何個あったか

「計画A」と「実際」の線分図は基本の書き方でOKですね。

((図))

「実際」の下に「計画B」の線分図を書きます。コツはまず「実際」と同じ長さの実線を書くことです

(途中図)

この長さを基準に、4個しかもらえない人(区切り)を書きます。

(アップ)

続けて全くもらえない人(区切り)を書き、㉑を加えます。

(完成図)

この状態で㉑の右の区切り線の距離が「差の合計」になります。

 

また不足

 

 

「詳しく知りたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

不ぞろいの過不足算
(Nが揃っていない)

配る人数が予定よりも増えたり減ったり、つまり予定と実際の「N」が揃っていない問題。

線分図を延長・短縮して、自分でNをそろえる必要がある。

さらに2つのケースに分けられる

Nを求める問題

 

 

★一つあたりの量を求める問題

Nでは無く、実際の一つあたりの量を求める問題。

頭の使い方が他とは少し異なるので管理人自身も一瞬「ん？」と考えることがあります。

 

 

つるかめ算を線分図で解く

つるかめ算を面積図でなく線分図で解くと応用パターンにも対応できる。

基本のパターン

一般的には面積図が知られているが、実は差集め算で解く方が応用が利くのです。

関連記事「つるかめ算を面積図でないやり方で解く」も見て下さい。

マイナスがある場合(弁償算)

「皿洗いの仕事で洗うと賃金・割ると罰金」や「クイズに正解すると得点・不正解だと失点」などの場合。

この場合は、図を書きません(無理すれば書けますが訳分からなくなります)。数字だけで考えます。

差集め算の基本パターンで、公式Bを使って
「全問正解の場合」と「N問不正解の場合」の差の合計を差で割ってNを出します

詳しくは関連記事「つるかめの応用。弁償算の解き方」を見て下さい。

ペアを作る差集め算

二種類の量を別々の線分図に書いていたのを
二種類の量ひとつづつをセットにして、一本の線分にする

図の書き方

男子と女子をペアにして一本の線分図にして、余った男子(女子)を後ろにつなげる。

ペアを1個、2個…N個と数える。二種類の事例を二本の線分図にする。

つるかめ算の取り違え

二種類の量をペアにして一本の線分図にして、
余った量を後ろにつなげる。
余った量を1個、2個…N個と数える。
二種類の事例を二本の線分図にする。

詳しくは関連記事「個数を取り違えたつるかめ算」を見て下さい。

次のステップへ

これで差集め算は大丈夫ですね？和と差の問題には他には「」「」があります。

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