作成中]中学受験】差集め算とは？全パターンのまとめ【特殊算

「差集め算が分からない！」過不足算に面積図と線分図があるけれど、どちらを書けば良いの？」という中学受験生と保護者の方、お任せ下さい。

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が色々なタイプの差集め算とその解法を分かりやすく教えます。

読み終える頃にはスッキリと理解できているでしょう。

差集め算の学習方法

こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

面積図？線分図？

差集め算は線分図の問題に分類されますが、その中の「過不足算」は面積図で説明しているテキスト・塾が多いようです。

また「つるかめ算」も表や置き換え(差集め算)だけでなく面積図で解くことも多いですね。

このように、同じ問題を面積図と線分図の両方で解くことが出来るので、どちらが良いのか疑問に思う人も多いでしょう。

どちらでも良いのですが、学習を進めるうちに、どうしても面積図では表すのが難しい問題が出てきます。

従って「線分図を基本解法に面積図も書けるようにしておく」のが一番応用が利いてベストでしょう(2017.5.2)。

差集め算は線分図の終着駅

差集め算は線分図の「終着駅」で、難しい問題が多いです。

しっかり練習して上手に書けるようにして下さい。

基本の差集め

「差」を「集め」る

20人の生徒に鉛筆を7本配った時(A)と9本づつ配った場合(B)の必要な鉛筆の本数の差を求めます。

それぞれ合計を求めて(A)7×20=140本、(B)9×20=180本なので、差は180-140=40本と求められます。

しかし他にも求め方があります。

1人に配る鉛筆の本数の差は9-7=2本です。20人にくばると、この差2本が20人分集まるので20×2=40本と求められます。

このように、1人あたりの差を人数分あつめて、差の合計を求めるのが「差集め算」の基本的なやり方です。

公式にすると次のようになります。

2番目の公式を一番使いますが、1番目の公式だけを憶えて逆算で2番目・3番目を出しても良いでしょう。

線分図にする

実際の問題では線分図を書いて解くので、先程の例「20人の生徒に鉛筆を7本配った時(A)と9本づつ配った場合(B)の必要な鉛筆の本数の差」を線分図にしてみます。

20人の生徒に鉛筆を7本配った時の鉛筆の本数140本はこのようになります。

9本づつ配った場合(B)の180本はこのようになります。

この二本の線分図を縦に並べた時の長さの違いが40本になり、これが1人の差2本×人数20人と等しくなります。

図では20本目の区切りの右端(赤い部分)の差が「差の合計」を表しています。この同じ丸数字の区切りを強調して差の合計を作るという書き方が重要なので必ず憶えて下さい。

今の例を公式と比べるとこうなります。

たいていの場合は2番目の式でNを求めますが、一番上の式だけを覚えておいて「？」を入れて式を作って逆算で解いてもOKです。

面積図にする

面積図にもしてみます。

 

線分図の方が重要です。

問題で定着

この公式を使えば解けるはずです。

または？を入れて最初の式を作って逆算でもOK

 

基本の過不足算
(Nが揃っていて端数も無い)

決まった人数にアメを配ることを「計画」した時にアメが余ったり不足したりする問題です。

さらに3つの場合に分けられます。

余ったり不足したり(不足したり余ったり)
余って、また余る
不足して、また不足

が、3つの場合を説明する前に準備をしましょう。

準備(余りと不足の線分図)

まず、「余り」と「不足」の意味を理解して線分図にする練習。

二本の線分図の長短

余る・不足というのは「配ろうとする計画で必要な個数」と「実際にある個数」の大小関係と考えられます。

「余る」→ 計画(小) < 実際(大)
「不足」→ 計画(大) > 実際(小)

これを線分図にすると、

「余る」→ 計画の線分(短い) < 実際の線分(長い)
「不足」→ 計画の線分(長い) > 実際の線分(短い)

になります。「計画」と「実際」どちらの線分図が長いか(多いか)を考えると分かりやすいでしょう。

余りと不足の線分図

「計画」と「実際」の長短に注意する

練習問題

例1
20人の生徒にアメを3個づつ配ろうとしたら24個余った。アメは実際に何個あるか？

余ったので「実際」が「計画」より長くなります。

まず、配ろうという「計画」の線分を3の長さの区切りがつながった形で書き、その下に24長い「実際」の線分を書く

これで「実際」のアメの個数は3×20+24=84個と分かります。

例2
20人の生徒にアメを5個づつ配ろうとしたら16個足りなかった。アメは実際に何個あるか？

足りない場合は「計画」が「実際」より長くなります。

まず、配ろうという「計画」の線分を書き、その下に区切りの長さ(5)を基準にして16短い「実際」の線分を書く

そして「実際」の長さは20×5-16=84個です

確認テスト

 

面積図

 

余ったり不足したり

単純な「余り」と「不足」が書けたら、いよいよ「過不足算」の問題です。

まずは、はじめの計画(計画A)だと余り、つぎの計画(計画B)で配る数を増やしたら足りない、という場合(般に「過不足算」と言って連想されるのはこのタイプ)

「計画A」<「実際」<「計画B」になります。

例
クラスの生徒にアメを3個づつ配ろうとしたら24個余ったので、5個づつ配ろうとしたら16個足りなかった。アメは実際に何個あるか？

線分図(差集め算)で解く

文章の順に「計画A」「実際」「計画B」三本の線分を書きます。長さの関係が「計画A」<「実際」で「実際」<「計画B」になるように書きます。

((抽象的な三本の図))

生徒の人数が分からないのでNとして区切りを書きます。この時、Nの区切りの右端を濃く書いて下さい。

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で24+16=40個になります。

これで、差の合計(40)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=40÷2=20人と求めます。

さらにアメの個数は3×20+24(Aを使った計算)または5×20-16(Bを使った計算)で84個と分かりました。

確認テスト
何人かの子どもたちにアメを6個ずつ配ると11個余り、8個ずつ配ると3個足りない。アメと子供の数を求めよ

 

 

 

面積図で解く

基本の過不足算は面積図で解説するテキストもあるので、そのやり方も載せておきます

 

この基本の過不足算だけならば、面積図で解いても良いですが、線分図も書けるようにしておきましょう。

また余る

はじめの計画(計画A)で余り、つぎの計画(計画B)で配る数を増やしたのにまた余る、という場合です

さっきは「計画A」<「実際」<「計画B」という関係でしたが、今度は「実際」が「計画A」だけでなく「計画B」よりも多いので「計画A」<「計画B」<「実際」という関係になります。

((抽象的な図の比較))

 

例2
何人かの子供たちにアメを12個ずつ配ると20個余り、14個ずつ配ると4個余る。

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で20-4=16個になります。

これで、差の合計(16)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=16÷2=8人と求めます。

さらにアメの個数は12×8+20(Aを使った計算)または14×8+4(Bを使った計算)で116個と分かりました。

面積図の場合

また不足

はじめは不足し、つぎは配る数を減らしたのにまた不足、という場合

今度は「実際」<「計画B」<「計画A」という関係になります。

(抽象的な図)

これまで出てきた3つの場合を並べるとこうなります。

((3タイプの比較))

例
何人かの生徒にアメを8個ずつ配ろうとしたら33個足りなかったので6個ずつ配ろうとしたが、まだ1個足りなかった。アメは何個か？

1人の差は2個、人数は？(N)、「差の合計」はNの区切りの右端の差で33-1=32個になります。

これで、差の合計(32)=1つの差(2)×人数(N=?) という関係が分かるので、N=32÷2=16人と求めます。

さらにアメの個数は8×16-33(Aを使った計算)または66×16-1(Bを使った計算)で95個と分かりました。

確認テスト

 

小まとめ

 

「沢山の問題を解きたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

端数の過不足算
(Nがそろっているが端数がある)

基本の過不足算は配る「予定」でしたが、今度は実際に配ってみます。

すると、予定より少ないアメしかもらえない人や、全くもらえない人のような「端数」が出てきます。これが「端数の過不足算」です。

この「端数」のせいで面積図にするのが難しくなるので、線分図で解きましょう。

準備(端数の表現)

端数を線分図にする練習

例
21人の生徒にアメを6個づつ配ったところ、1人の生徒は4個しかもらえず、まったくもらえない生徒も1人いた。アメは何個あったか

「不足」なので「計画A」が「実際」よりも短くなります。

(抽象的な線分図)

「計画」の線分図は最後の区切り(㉑)がゼロ(6個分が点線になる)で、最後から2番目の区切りは(⑳)4個だけで(2個分が点線になる)です。

(計画の線分のアップ)

「実際」は「計画」の線分図の実線部分と等しくなるので

(二本の線分図)

「計画」全体の長さ(6×21)から、「計画」の空白部分(6+2)を引けばOKです。

(二本の線分図端数(点線合計)表示)

(6×21)-(6+2)=118個と分かります。

確認テスト

余って足りない

例
何人かの生徒にアメを5個ずつ配ったところ13個余ったので、今度は6個ずつ配り直したところ1人の生徒は4個しかもらえず、まったくもらえない生徒も1人いた。アメは何個あったか

「計画A」と「実際」の線分図は基本の書き方でOKですね。

((図))

「実際」の下に「計画B」の線分図を書きます。コツはまず「実際」と同じ長さの実線を書くことです

(途中図)

この長さを基準に、4個しかもらえない人(区切り)を書きます。

(アップ)

続けて全くもらえない人(区切り)を書き、㉑を加えます。

(完成図)

この状態で㉑の右の区切り線の距離が「差の合計」になります。

 

また不足

 

 

「詳しく知りたい」という人は別記事「過不足算」を見て下さい

不ぞろいの過不足算
(Nが揃っていない)

配る人数が予定よりも増えたり減ったり、つまり予定と実際の「N」が揃っていない問題。

線分図を延長・短縮して、自分でNをそろえる必要がある。

さらに2つのケースに分けられる

Nを求める問題

 

 

★一つあたりの量を求める問題

Nでは無く、実際の一つあたりの量を求める問題。

頭の使い方が他とは少し異なるので管理人自身も一瞬「ん？」と考えることがあります。

 

 

つるかめ算を線分図で解く

つるかめ算を面積図でなく線分図で解くと応用パターンにも対応できる。

基本のパターン

一般的には面積図が知られているが、実は差集め算で解く方が応用が利くのです。

関連記事「つるかめ算を面積図でないやり方で解く」も見て下さい。

マイナスがある場合(弁償算)

「皿洗いの仕事で洗うと賃金・割ると罰金」や「クイズに正解すると得点・不正解だと失点」などの場合。

この場合は、図を書きません(無理すれば書けますが訳分からなくなります)。数字だけで考えます。

差集め算の基本パターンで、公式Bを使って
「全問正解の場合」と「N問不正解の場合」の差の合計を差で割ってNを出します

詳しくは関連記事「つるかめの応用。弁償算の解き方」を見て下さい。

ペアを作る差集め算

二種類の量を別々の線分図に書いていたのを
二種類の量ひとつづつをセットにして、一本の線分にする

図の書き方

男子と女子をペアにして一本の線分図にして、余った男子(女子)を後ろにつなげる。

ペアを1個、2個…N個と数える。二種類の事例を二本の線分図にする。

つるかめ算の取り違え

二種類の量をペアにして一本の線分図にして、
余った量を後ろにつなげる。
余った量を1個、2個…N個と数える。
二種類の事例を二本の線分図にする。

詳しくは関連記事「個数を取り違えたつるかめ算」を見て下さい。

次のステップへ

これで差集め算は大丈夫ですね？和と差の問題には他には「」「」があります。

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