中学受験】消去算の分かりやすい解き方は?基本(加減法/代入法)から応用まで

「消去算ってイマイチやりにくいなあ」と悩んでいる中学受験生の方へ。

実は、消去算は他の特殊算とは違う「書き方」をするだけで一気に簡単になるんですよ。

この記事では、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が消去算独特の「式の書き方」を分かりやすく説明します!

真似して練習すれば、アッと言う間に消去算が苦手でなくなりますよ♪

注:保護者・指導者の方へ

今回の消去算は、中学以降で習う「方程式」そのものです。負の数が出てこないのと未知数に「x」「y」を使わないこと以外は、考え方も式の変形も全て同じです。受験算数は「方程式を使わないで解く」のが基本なので、今回の消去算は特殊な存在と言えます。

目次をクリックすると好きなところにジャンプして読めます。

消去算に慣れよう

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

消去算は今まで習った問題とは式の書き方が変わっています。簡単な問題で式の書き方に慣れましょう!
ちなみに、塾やテキストで「消去算」が分かりづらいのは、この「式の書き方」を練習しないからです。

式の書き方

最初は問題ではありません!気軽に読んで下さい♪

例えば「りんご2つとみかん3つを買ったら440円だった」とします。

今までは線分図を書いたりしましたが、今回の消去算ではこういう式を書きます。

りんご2つ + みかん3つ = 440円 

消去算の「式」

「問題文そのままじゃん!」と思ったアナタ、その通りですwww。

ただ、これから毎回「り」「ん」「ご」とか書いていくのは面倒くさいですね(チョコレートだったらもっと面倒くさい)。

そこで、もっと簡単にします。

図:消去算の「式」

り2 + み3 = 440

これなら簡単ですね

どうですか?これなら簡単ですね。
問題文をこのような簡単な式に直すのが「消去算」の第一歩です。

確認テスト(タッチで解答表示)

次の文を式にしなさい
「チョコレート5箱とアメ3袋で950円だった」
→( チ5 + ア3 = 950 )

「えんぴつ10本、消しゴム2個、ノート1冊を買ったら410円だった」
→( え10 + け2 + ノ1 = 410 )

消去算は受験算数の中では変わった存在で、「絵」や「図」を使うよりは「式」だけで解くのが簡単です(私自身、消去算の授業ではイラストを書くことはほとんどありません)

はじめの消去算(片方が同じ)

では、クイズです。「りんご1個とみかん1個で190円、りんご1個とみかん2個では270円だった。みかん1個の値段はいくらでしょう?」

この問題をさっきの式を使って解いてみます(答えがわかっちゃった人も読み進めて下さい…)。

まず問題文をさっきのような「簡単な式」にすると、2つの式にできます。

図1:

り1+み1=190 り1+み2=270

2つの式をタテに並べるとこうなります。式に名前も付けておきましょう。

図2:

り1 + み1 = 190(式1)
り1 + み2 = 270(式2)

式をタテに並べる

タテに並んだ式の数字を見比べると、りんごは「1」で変わらず、みかんが「1」から「2」へ1個増えて値段が80円ふえているので、「みかん1個は80円」と分かりますね!

実はこれが消去算(の前半)です。もう一つやってみましょう。

問題「りんご2個とみかん1個で300円、りんご2個とみかん4個では540円だった」

数が増えましたが、まずは式を書いてそれから考えます。タテに並べて書くと、こうですね。

図2:

り2 + み2 = 380(式1)
り2 + み5 = 620(式2)

式をタテに並べる

りんごの数は2個で変わらず、みかんが3個増えて、値段は430-190=240円増えているので「みかん3個が240円」ですね。これでみかん1個は240÷3=80円と分かります。

図4
り2 + み2 =
り2 + み5 =
み3 =
み1 =
380(式1)
620(式2)
620-380=240
240÷3=80
みかん1個の値段が出た

ついでに、りんご1個の値段も出しましょう!式1をもう一回見て下さい。

「み2」は「みかん2個の値段」なので80×2=160円 と書いても同じはずですね。「160」と書き換えましょう(これを「代入(だいにゅう)」と言います)。

図5
み2=160代入
り2+み2=
り2+160=
380
380(式1)
380
みかんの値段を代入

代入した式1を見ると、「り2」つまりりんご2個は380-160=220円と分かるので、りんご1個は220÷2=110です!これで消去算を解いたことになります。

図6
み2 =
り2 + 160 =
り2 =
り1 =
 160
 380(式1)
380-160=220
220÷2 =110
りんごの値段も出ました♪

全部の式をもう一度見ると、二段階になっています。

❶みかんを出すまで
り2 + み2 =
り2 + み5 =
み3 =
み1 =
380(式1)
620(式2)
240
80
式1と式2の引き算→割り算
❷みかんを出してから
み2=160
↓代入
り2 + 160 =
り2 =
り1 =
 

380(式1)
380-160=220
220÷2 =110
代入して、割り算

はじめは「りんご」と「みかん」2種類のモノの式だったのが、途中から「りんご」が消えて「みかん」1種類だけの式になったということです(だから「消去」算です)。

このように、2種類のものがあった時に、数が同じ方を消去して1種類の式にするのが消去算のコツです。

また、1種類の式にして値段を出した後、はじめの式に「戻る」のも消去算の特徴です。「一種類を出すまで」と「出してから」の2ステップで解くことになります。

消去算の基本(片方の数が同じ)
  1. 2種類のモノ(りんご、みかん)があった時に、数が同じモノ(りんご)を消去して、1種類のモノ(みかん)の式にして1個の値段を出す
    ➀消去
    り2 + み2 =
    り2 + み5 =
    み3 =
    み1 =
    380(式1)
    620(式2)
    620-380=240
    240÷3=80
    数が同じりんごを「消去」して
    みかん1個の値段が求めます
  2. はじめの式に戻って数値を代入して、もう1種類のモノ(りんご)1個の値段も出す。
    ②代入
    み2=160↓代入
    り2 + 160 =
    り2 =
    り1 =
    380
    380(式1)
    380-160=220
    220÷2 =110
    みかん2個の値段を「代入」して
    りんごの値段も求めます

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

チョコ5個とガム3個で460円、チョコ9個とガム3個では660円だった。チョコとガムはいくらか?
→( 式を並べて書くとチョコ9-5=4個で660-440=200円と分かる )
→( チョコ1個は200÷4=50円 )
→( はじめの式に戻って、チ5の代わりに50×5=250 を入れると、ガム3個で210円 )
→( ガム1個は210÷3=70円 )

❶みかんを出すまで
り2 + み2 =
り2 + み5 =
み3 =
み1 =
380(式1)
620(式2)
240
80
式1と式2の引き算→割り算
❷みかんを出してから
み2 =
り2 + 160 =
り2 =
り1 =
 160
 380(式1)
380-160=220
220÷2 =110
代入して、割り算
爽茶そうちゃ
これで消去算の基礎は終了です。次は基本的な問題を解いていきましょう!

消去算その1~加減法

爽茶そうちゃ
消去算の基礎にもう1ステップ加えると標準的な問題を解くことができます!
それが加減法です。

「式」を「倍」する

さっきの調子で解いてみましょう♪「りんご1個とみかん2個で270円、りんご2個とみかん3個で460円。りんごとみかんの値段は?」

まず式を書きましょう。考えるのはその後です。

り1 + み2 = 270(式1)
り2 + み3 = 460(式2)

さっきのように数が同じモノを消して…アレ??「りんご」も「みかん」も数が違いますね。どうすれば良いでしょうか

上の式を見て、実際の様子をイメージしてみましょう。りんご1個とみかん2個が袋に入って「セットで270円」で売っていると考えます。
このセットを2セット買うと、りんごは1×2で2個、みかんは2×2で4個、値段は270×2で540円になりますね。つまり「りんご2個とみかん4個で540円」→「り2 + み4 = 540」という式になります(「式1改」とします)。

1 + み2 = 270(式1) 
→り2 + み4 = 540(式1改)

りんご、みかん、値段、3つの数が全部2倍されているのが分かります。数を2倍3倍するのと同じように「式」も「倍」することができるのです。

今の倍した式(式1改)と式2を並べると…

り1 + み2 = 270(式1)
→り2 + み4 = 540(式1改)
2 + み3 = 460(式2)

式1改と式2で、りんごの数が同じになっています!これで「りんご」を消して「みかん」だけの式ができるので、みかん一個が分かります。

り1 + み2 = 270(式1)
→り2 + み4 = 540(式1改)
2 + み3 = 460(式2)
り1 + み1 = 080(式2)

さらにじめの式「り1 + み2 = 270」の「み2」を160円に変えて、りんごを出せば終了です。

全部の式を見ると、3ステップになっています。

❶式を倍してそろえる
り1 + み2 = 270(式1) 
2+ み4 = 540(式1改)
り2 + み3 = 460(式2) 
❷みかんを出す
り1 +
み1 = 080 (式1)
❸りんごを出す
り 1 +
み2
= 160(式2)
り1 + 160 = 270(式1)
り1 + り1 = 110(式2)

このように、2種類のモノ両方の数値がそろっていない場合は、まずどちらかの式を何倍かして数値をそろえられないか考えます。今回はこのような状態だったので…

1 + み2 = 270(式1)
2 + み3 = 460(式2)

りんごの数値「1」「2」とみかんの数値「2」「3」を見比べて、式1を2倍すれば良いと考えました。

解き方をまとめるとこんな感じです。

消去算(加減法:片方の数が同じ)
  1. 2種類のモノ(りんご、みかん)があった時に「式を倍」して数をそろえる
  2. 数が同じモノ(りんご)を消去して、1種類のモノ(みかん)の式にして1個の値段を出す。
  3. はじめの式に数値を入れて、もう1種類のモノ(りんご)1個の値段も出す。

確認テストとして、まず式を「倍」して数値をそろえる練習をしてみましょう。

確認テスト(タッチで解答表示)

「ピザまん1個とあんまん2個で320円、ピザまん3個とあんまん3個で660円。」→2つ式を書いてタテに並べなさい

ピ1 + あ2 = 320(式1)
ピ3 + あ3 = 660(式2)

ピザまんかあんまんどちらかの数を揃えなさい
→( ピザまんの数をそろえるために式1を3倍して… )

ピ1 + あ2 = 320(式1)
→ピ3 + あ6 = 960(式1改)
3 + あ3 = 660(式2)

式を「倍」するのが出来た人は、続きを解きましょう

確認テスト(タッチで解答表示)

「ピザまん1個とあんまん2個で320円、ピザまん3個とあんまん3個で660円。ピザまんとあんまんはいくらか?」
→( 数をそろえた式を並べて見るとあんまん6-3=3個で960-660=300円と分かる )
→( あんまん1個は300÷3=100円 )
→( はじめの式に戻って、あ2の代わりに100×2=200 を入れると、ピザまん1個で120円 )

❶式を倍してそろえる
ピ1 + あ2 = 320(式1) 
3+ あ6 = 960(式1改)
ピ3 + あ3 = 660(式2) 
❷あんまんを出す
り1 +
あ3 = 0300(式1)
り1 +
あ1 = 1000(式1)
❸ぴざまんを出す
り 1 +
あ2
= 200(式2)
ピ1 + 200 = 320(式1)
り1 + ピ1 = 120(式2)

式を2つとも「倍」する

これが「加減法」の最後の問題、ラスボスです!

「りんご2個とみかん3個で460円、りんご3個とみかん2個で490円。りんごとみかんの値段は?りんごとみかんの値段を求めよ」

まず式を書いて、りんごとみかんの4つの数値を観察しましょう。

り2 + み3 = 460(式1)
り3 + み2 = 490(式2)

りんごの数値「2」と「3」、みかんの数値「3」と「2」は、さっきと違ってどちらかを倍にしてもそろいません!どうすればよいでしょうか?

こういうときは、2つの式をそれぞれ何倍かして数値をそろえます。結論から言うと「最小公倍数」にそろえればよいのです。

(どちらを消しても大丈夫ですが)今回は「りんご」の数値をそろえて「りんご」を消します。

「りんご」の数値は2と3なので最小公倍数6にそろえます
つまり出来上がりはこうなります。?の部分はいくつになるでしょうか?

2 + み3 = 460(式1)
→り6 + み? = ???(式1改)
3 + み2 = 490(式2) 
→り6 + み? = ???(式2改)

この作業は分数の「通分」で、分母を倍したのと同じように分子も倍にしたあの感覚でやって下さい。

1つ目の式は「り2」を「り6」にするので3倍です。「み3」も3倍して「み9」に「460」も3倍して「1380」にします。

2つめの式は3を6にするので「2倍」です。「み2」を2倍して「み4」に「490」も2倍して「980」になります。
最後の数字を倍するのを忘れることが多いので気をつけて下さい。

2 + み3 = 460(式1)
→り6 + み9 = 1380(式1改)
3 + み2 = 490(式2) 
→り6 + み4 = 980(式2改)

これでりんごの数値がそろったので、答えが出せますね。

2 + み3 = 460(式1)
→り6 + み9 = 1380(式1改)
3 + み2 = 490(式2) 
→り6 + み4 = 980(式2改)
み5 = 400
み1 = 080
 り2 + み3 = 240(式1)
り2 + 240 = 460(式1)
り1 + り2 = 220(式1)
り1 + り1 = 110(式1)

最後に、加減法の解き方をまとめると、こうなります。

消去算(加減法まとめ)
  1. 2種類のモノ(りんご、みかん)があった時に、「式を倍」して数をそろえる
    2 + み3 = 460(式1)
    →り6 + み9 = 1380(式1改)
    3 + み2 = 490(式2) 
    →り6 + み4 = 980(式2改)
  2. 数が同じモノ(りんご)を消去して、1種類のモノ(みかん)の式にして1個の値段を出す。
    み5 = 400
    み1 = 080
  3. はじめの式に戻って数値を代入して、もう1種類のモノ(りんご)1個の値段も出す。
    り2 + み3 = 240(式1)
    り2 + 240 = 460(式1)
    り1 + り2 = 220(式1)
    り1 + り1 = 110(式1)

確認テストとして、まず式を「倍」して数値をそろえる練習をしてみましょう。

確認テスト(タッチで解答表示)

(2019.11.19作成中です)

式を「倍」するのが出来た人は、続きを解きましょう

確認テスト(タッチで解答表示)

(2019.11.11作成中です)

爽茶そうちゃ
「加減法」はこれで終了です。つぎは「代入法」です。
もっと問題を解きたい人向けに記事の一番下でおすすめ問題集を紹介しています。

消去算その2~代入法

爽茶そうちゃ
加減法の次は代入法です。さっき「代入」という言葉が出てきましたね。アレと似たことをします。

代入法の基礎(単純代入)

代入法は問題文が先程の加減法と異なります。こういう問題です。

「りんご1個はみかん1個より30円高い。りんご個1とみかん2個で270円になった。りんごとみかんの値段は?」

文の後半は加減法で何度も作った式にできますね。
「り1 + み2 = 270」

一方、文の前半が初めて見る形ですが、これを式にすると「り1=み1 + 30」となり、並べるとこうなります。

り1 + み2 り1 = み1 + 30(式1)
り1 + み2 = 270(式2)

式1は「り1」と「み1 + 30」が同じということなので、式2の「り1」の代わりに「み1 + 30」を入れると「み1+30 + み2 = 270」という式ができます(式3)。

 1 り1 み1+30(式1)
み +30り(代入)12 = 270(式2)
み +30り1 + み2 = 270(式2)
み1+30 + み2 = 270(式3)

新しくできた式3は「みかんが1+2=3個と30円で270円になる」という意味なので、「み3 + 30 = 270」という式にできます。この式から「み3」つまりみかん3個は270-30=240円と分かるので、みかん1個は240÷3=80と求められます!

 1 り1 み1+30(式1)
み +30り(代入)12 = 270(式2)
み +30り1 + み2 = 270(式2)
み1+30 + み2 = 270(式3)
み3 + 30 = 270  + 303 = 240
  + 30み1 = 080

この後は、式1に戻って「み1」に80を代入してりんごを求めます。

 1 り1 み1+30(式1)
み +30り
(代入)12 = 270(式2)
み +30り1
+ み2 = 270(式2)
み1+30
+ み2 =270(式3)
み3 + 30 = 270
  + 30
み3 = 240
  + 30
み1 = 080 (式1)
り 1 + み1 = 080(式2)
み3 +り1 = 80 +30(式1)
り1 + り1 = 110(式2)

消去算(代入法)の解き方をもう一度まとめると、こうなります。

消去算(代入法)
  1. 1種類(りんご)をもう1種類(みかん)で表した式を代入すると、1種類(りんご)が消去される。
    り1 み1+30(式1) 
    (代入)12 = 270(式2)
    り1 + み2 = 270(式2)
    み1+30 + み2 = 270(式3)
  2. 1種類(みかん)の式から1個の値段を出す。
    み3 + 30 = 270
      + 30
    み3 = 240 
      + 30
    み1 = 080 
  3. はじめの式に戻って数値を代入して、もう1種類のモノ(りんご)1個の値段も出す。
    り 1 + み1 = 080(式2)
    み3 +り1 = 80 +30(式1)
    り1 + り1 = 110(式2)

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

作成中

代入法(代入後にも処理)

次はこういう問題です。

「りんご1個はみかん1個より30円高い。りんご個3とみかん2個で490円になった。りんごとみかんの値段は?」

式はさっきとだいたい同じです。

り1 + み2 り1 = み1 + 30(式1)
り3 + み2 = 490(式2)

そして、さっきと同じように式1を式2に代入したいのですが、式2が「り1」ではなく「り3」になっているので、そのままでは代入できません…

そこで加減法で使った「式を倍する」テクニックで式1を3倍します。

り1 = み1 + 30(式1)
→り3 = み3 + 90(式1改)

「り1」を3倍するだけでなく、「み1」も「み3」に、「30」も「90」にするのを忘れずに!

これを式2に代入します。

り1 り1 = み1 + 30(式1)
り1 り3 = み3 + 90(式1改)
み 30り(代入)12 = 270(式2)
み +30り3 + み2 = 490(式2)
み3+90 + み2 = 490(式3)

新しくできた式3は「み5 + 90 = 490」という式にできます。この式から「み5」つまりみかん5個は490-90=400円と分かるので、みかん1個は400÷5=80と求められます!

り1 り1 = み1 + 30(式1)
り1 り3 = み3 + 90(式1改)
み 30り(代入)12 = 270(式2)
み +30り3 + み2 = 490(式2)
み3+90 + み2 = 490(式3)
+み5 + 90 = 490
  + 305 = 400
  + 30み1 = 080

あとは、式1に戻ってりんごを出して終了です。

り1 り1 = み1 + 30(式1)
り1 り3 = み3 + 90(式1改)
み 30り(代入)12 = 270(式2)
み +30り3 + み2 = 490(式2)
み3+90 + み2 = 490(式3)
+み5 + 90 = 490
  + 30み5 = 400
  + 30み1 = 080
り 1 + み1 = 080(式2)
み3 +り1 = 80 +30(式1)
り1 + り1 = 110(式2)

消去算(代入法)の解き方をもう一度まとめると、こうなります。

消去算(代入法まとめ)
  1. 1種類(りんご)をもう1種類(みかん)で表した式を(場合によっては倍してから)代入すると、1種類(りんご)が消去される。
    り1 り1 = み1 + 30(式1)
    り1 り3 = み3 + 90(式1改)
    み 30り(代入)12 = 270(式2)
    み +30り3 + み2 = 490(式2)
    み3+90 + み2 = 490(式3)
  2. 1種類(みかん)の式から1個の値段を出す。
    +み5 + 90 = 490
      + 30み5 = 400
      + 30み1 = 080
  3. はじめの式に戻って数値を代入して、もう1種類のモノ(りんご)1個の値段も出す。
    り 1 + み1 = 080(式2)
    み3 +り1 = 80 +30(式1)
    り1 + り1 = 110(式2)

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

作成中

爽茶そうちゃ
これで消去算の標準的な解法は終了です。中学受験をする小4はここまでできればひとまずOKです。
もっと問題を解きたい人向けに記事の一番下でおすすめ問題集を紹介しています。

消去算の応用問題

ここでは2種類の消去算をあげておきます。

三量の和差算(代入法+加減法)

代入法と加減法が合わさった、こんな問題です。

「チョコはガムより40円高く、チョコ2個とアメ3個で270円、ガム3個とアメ2個で210円だった。チョコ・ガム・アメの値段を求めなさい」

まず式を書いてみます

チ1=ガ1 + 40(式1)
チ2 + ア3 = 270(式2)
ガ3 + ア2 = 210(式3)

モノが3種類もあるし式に出てくるモノもバラバラで、一瞬どうしたら良いか分からず泣きそうになりますが…式1が代入法の式なので、それを式2のチョコに代入してみましょう!

チ1=ガ1 + 40(式1)(式1)
チ2=ガ2 + 80(式1(式1))
↓代入(式1(式(式1)1))
チ2 + ア3 = 270(式2)
(式1)ガ2 + 80 + ア3 = 270(式(式1)1)(式2)
ガ2 + ア3 = 190(式4)

式4が新しく出来ました。これを式3とタテに並べてみると、

ガ2 + ア3 = 190(式4)
ガ3 + ア2 = 210(式3)

見事に加減法の形になっています!式4を3倍、式3を2倍してガムを6にそろえて消し、アメを出します。

ガ2 + ア3 = 190(式4)
→ガ6 + ア9 = 570(式4改)
ガ3 + ア2 = 210(式3)
→ガ6 + ア4 = 420(式3改)
ア5 = 150
ア1 = 30

次ははじめの式3に戻って(アメの数が一番少ないので)、ア2に60を代入してガムを出します

ア1 = 30
ア2 = 60
↓代入(
ガ3 + ア2 = 210(式3)
→ガ3 + 60 = 210(式3))
ガ3 = 150
ガ1 = 50

さらに前の式1に戻って、ガ1に50を代入してチョコをだして終了です。

ガ1 = 50
↓代入式)
チ1=ガ1 + 40(式1)
→チ1=50 + 40(式(式1)
チ1=90式(式1)1)1)

チョコ90円、ガム50円、アメ30円が答えでした!大変でしたが…何度か練習すればできるようになります。
「できるよ!」という人は確認テストをどうぞ。

確認テスト(タッチで解答表示)

作成中

三量の消去算(和の式が三つ)

三種類のモノがあって、そのうち二種類ずつの和の式が三つかいてある場合で、例えばこういう問題です。

「アンパンとジャムパンを1個ずつ買うと190円、ジャムパンとクリームパンを1個ずつ買うと210円、クリームパンとアンパンを1個ずつ買うと220円。パンの値段はそれぞれいくらか?」

「ア」「ジ」「ク」で関係式を作るとこうなります。

ア1 + ジ1 = 190(式1)
ジ1 + ク1 = 210(式2)
ク1 + ア1 = 220(式3)

さらにパンの種類ごとに位置をそろえるとこうなります。

ア1 + ジ1 + ク1 = 190(式1)
ア1 + ジ1 + ク1 = 210(式2)
ア1 + ジ1 + ク1 = 220(式3)

この3つの式を全部合計すると三種類のパン2個ずつの合計になり、それを÷2すると三種類のパン1個づつの合計が出ます(式4)。

ア1 + ジ1 + ク = 190(式1)
ア +  ジ1 + ク1 = 210(式2)
ア1  +   + ク1 = 220(式3)
ア2 + ジ2 + ク2 = 620(式1)
ア1 + ジ1 + ク1 = 310(式4)

この式4と式1を比べると、ク1が310-190=120 と分かります。

ア1 + ジ1 + ク = 190(式1)
ア1 + ジ1 + ク1 = 310(式4)
ア1 + ジ1 + ク1 = 120(式4)

同様に式4と式2からア1=310-210=100、式4と式3からジ1=310-220=90と分かります!

消去算というか、式の操作という感じの問題でした。例題が理解出来た人は確認テストにチャレンジしてみましょう。

確認テスト(タッチで解答表示)

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爽茶そうちゃ
「消去算」は以上です。お疲れ様でした!
オススメ問題集を紹介。
●消去算だけを解きたい人には「消去算」(サイパー算数)がオススメ
●他の単元も合わせて復習したい小6受験生には「算数ベストチェック」(日能研)がコンパクトにまとまっていてオススメですが詳しい解説がほしい人は「中学入試 塾技100(算数)」の方が良いかも。
●単元学習中の小4小5には「算数の基本問題(小5)」(日能研)がオススメ

中学受験でお悩みの方へ

そうちゃ
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