以前この記事を御覧になった方へ(2021.6.10)
表示が乱れて全く読み取れない途中式が数多くございました。昨日全て修正致しました。大変失礼いたしました!
「消去算ってイマイチやりにくいなあ」と悩んでいる中学受験生の方へ。
実は、消去算は他の特殊算とは違う「書き方」をするだけで一気に簡単になるんですよ。
この記事では、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が消去算独特の「式の書き方」を分かりやすく説明します!
真似して練習すれば、アッと言う間に消去算が苦手でなくなりますよ♪
注:保護者・指導者の方へ
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目次(クリックでジャンプ)
消去算に慣れよう

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。
消去算は今まで習った問題とは式の書き方が変わっています。簡単な問題で式の書き方に慣れましょう!ちなみに、塾やテキストで「消去算」が分かりづらいのは、この「式の書き方」を練習しないからです。
式の書き方
最初は問題ではありません!気軽に読んで下さい♪
例えば「りんご2つとみかん3つを買ったら440円だった」とします。
今までは線分図を書いたりしましたが、今回の消去算ではこういう式を書きます。
440円だった」
りんご2つ + みかん3つ = 440円
「問題文そのままじゃん!」と思ったアナタ、その通りですwww。
ただ、これから毎回「り」「ん」「ご」とか書いていくのは面倒くさいですね(チョコレートだったらもっと面倒くさい)。
そこで、もっと簡単にします。
440円だった」
り2 + み3 = 440
どうですか?これなら簡単ですね。
問題文をこのような簡単な式に直すのが「消去算」の第一歩です。
次の文を式にしなさい
「チョコレート5箱とアメ3袋で950円だった」
→( チ5 + ア3 = 950 )
「えんぴつ10本、消しゴム2個、ノート1冊を買ったら410円だった」
→( え10 + け2 + ノ1 = 410 )
消去算は受験算数の中では変わった存在で、「絵」や「図」を使うよりは「式」だけで解くのが簡単です(私自身、消去算の授業ではイラストを書くことはほとんどありません)
はじめの消去算(片方が同じ)
片方が1個だけ違う
では、クイズです。「りんご1個とみかん1個で190円、りんご1個とみかん2個では270円だった。みかん1個の値段はいくらでしょう?」
この問題をさっきの式を使って解いてみます(答えがわかっちゃった人も読み進めて下さい…)。
まず問題文をさっきのような「簡単な式」にすると、2つの式にできます。
りんご1個とみかん2個では270円」
り1+み1=190 り1+み2=270
2つの式をタテに並べるとこうなります。式に名前も付けておきましょう。
りんご1個とみかん2個では270円」
り2 + み2 =
270(式2)
タテに並んだ式の数字を見比べると、りんごは「1」で変わらず、みかんが「1」から「2」へ1個増えて値段が270-190=80円ふえているので、「みかん1個は80円」と分かりますね!
り2 + み2 =
み1 =
270(式2)
270-190=80
みかん1個の値段が出る
実はこれが消去算(の前半)です。もう一つやってみましょう。
片方が複数個違う
問題「りんご2個とみかん2個で380円、りんご2個とみかん5個では620円だった」
数が増えましたが、まずは式を書いてそれから考えます。タテに並べて書くと、こうですね。
りんご2個とみかん5個では620円
り2 + み5 =
620(式2)
りんごの数は2個で変わらず、みかんが3個増えて、値段は430-190=240円増えているので「みかん3個が240円」ですね。これでみかん1個は240÷3=80円と分かります。
り2 + み5 =
み3 =
み1 =
620(式2)
620-380=240
240÷3=80
ついでに、りんご1個の値段も出しましょう!式1をもう一回見て下さい。
り2 + み5 =
620(式2)
「み2」は「みかん2個の値段」なので80×2=160円 と書いても同じはずですね。「160」と書き換えましょう(これを「代入(だいにゅう)」と言います)。
↓代入
り2+み2=
り2+160=
380
代入した式1を見ると、「り2」つまりりんご2個は380-160=220円と分かるので、りんご1個は220÷2=110です!これで消去算を解いたことになります。
↓代入
り2+み2=
り2+160=
り2=
り1 =
380
380-160=220
220÷2 =110
全部の式をもう一度見ると、二段階になっています。
り2 + み5 =
み3 =
み1 =
620(式2)
620-380=240
240÷3=80
↓代入
り2+み2=
り2+160=
り2=
り1 =
380
380-160=220
220÷2=110
はじめは「りんご」と「みかん」2種類のモノの式だったのが、途中から「りんご」が消えて「みかん」1種類だけの式になったということです(だから「消去」算です)。
このように、2種類のものがあった時に、数が同じ方を消去して1種類の式にするのが消去算のコツです。
また、1種類の式にして値段を出した後、はじめの式に「戻る」のも消去算の特徴です。「一種類を出すまで」と「出してから」の2ステップで解くことになります。
(例)りんご2個とみかん2個で380円、
りんご2個とみかん5個では620円だった
り2 + み5 =
620(式2)
- 消去
2種類の品目のうち、個数が同じ品目を消去し
残りの品目の値段を出すり2 + み2 =
り2 + み5 =
み3 =
み1 =380(式1)
620(式2)
620-380=240
240÷3=80 - 代入
はじめの式に戻って求めた値段を代入して
もう1種類の品目の値段を出すみ1=80 → み2=160
↓代入
り2+み2=
り2+160=
り2=
り1 =
380(はじめの式1)
380
380-160=220
220÷2 =110
確認テストをどうぞ
チョコ5個とガム3個で460円、チョコ9個とガム3個では660円だった。チョコとガムはいくらか?
→( 式を並べて書くとチョコ9-5=4個で660-440=200円と分かる )
→( チョコ1個は200÷4=50円 )
→( はじめの式に戻って、チ5の代わりに50×5=250 を入れると、ガム3個で210円 )
→( ガム1個は210÷3=70円 )
り2 + み5 =
み3 =
み1 =
620(式2)
240
80
↓代入
り2+み2=
り2+160=
り2=
り1=
380
380-160=220
220÷2 =110

消去算その1~加減法

それが加減法です。
「式」を「倍」する
さっきの調子で解いてみましょう♪
「りんご1個とみかん2個で270円、りんご2個とみかん3個で460円。りんごとみかんの値段は?」
まず式を書きましょう。考えるのはその後です。
りんご2個とみかん3個で460円」
り2 + み3 =
460(式2)
さっきのように数が同じモノを消して…アレ??「りんご」も「みかん」も数が違いますね。どうすれば良いでしょうか
上の式を見て、実際の様子をイメージしてみましょう。りんご1個とみかん2個が袋に入って「セットで270円」で売っていると考えます。
このセットを2セット買うと、りんごは1×2で2個、みかんは2×2で4個、値段は270×2で540円になりますね。
つまり「りんご2個とみかん4個で540円」→「り2 + み4 = 540」という式になります(「式1改」とします)。
りんご、みかん、値段、3つの数が全部2倍されているのが分かります。数を2倍3倍するのと同じように「式」も「倍」することができるのです。
今の倍した式(式1改)と式2を並べると…
り2+み3=
460( 式2 )
式1改と式2で、りんごの数が同じになっています!これで「りんご」を消して「みかん」だけの式ができるので、みかん一個が分かります。
り2+み3=
み1=
460( 式2 )
540-460=80
さらにじめの式「り1 + み2 = 270」の「み2」を160円に変えて、りんごを出せば終了です。
↓代入
り1+み2 =
り1+160=
り1=
270
270-160=110
全部の式を見ると、3ステップになっています。
り2+み3=
460( 式2 )
り2+み3=
み1=
460( 式2 )
540-460=80
↓代入
り1+み2 =
り1+160=
り1=
270
270-160=110
このように、2種類のモノ両方の数値がそろっていない場合は、まずどちらかの式を何倍かして数値をそろえられないか考えます。
今回はこのような状態だったので…
り2 + み3 =
980(式2)
りんごの数値「1」「2」とみかんの数値「2」「3」を見比べて、式1を2倍すれば良いと考えました。
解き方をまとめるとこんな感じです。
- 式を倍する
式を何倍かして一種類の個数をそろえるり1+み2=270(式1)→り2+み4=
り2+み3=540(式1改)
460( 式2 ) - 消去
個数が同じ方を消去して、
1種類の式にして1個の値段を出すり1+み2=270(式1)→り2+み4=
り2+み3=
み1=540(式1改)
460( 式2 )
540-460=80 - 代入
はじめの式に戻って代入して
もう1種類の値段も出すみ1=80→み2=160
↓代入
り1+み2 =
り1+160=
り1=270(はじめの式1)
270
270-160=110
確認テストとして、まず式を「倍」して数値をそろえる練習をしてみましょう。
「ピザまん1個とあんまん2個で320円、ピザまん3個とあんまん3個で660円。」→2つ式を書いてタテに並べなさい
ピ3 + あ3 = 660(式2)
ピザまんかあんまんどちらかの数を揃えなさい
→( ピザまんの数をそろえるために式1を3倍して… )
ピ3+あ3= 660(式2 )
式を「倍」するのが出来た人は、続きを解きましょう
「ピザまん1個とあんまん2個で320円、ピザまん3個とあんまん3個で660円。ピザまんとあんまんはいくらか?」
→( 数をそろえた式を並べて見るとあんまん6-3=3個で960-660=300円と分かる )
→( あんまん1個は300÷3=100円 )
→( はじめの式に戻って、あ2の代わりに100×2=200 を入れると、ピザまん1個で120円 )
ピ1 + あ2 = 320(式1)
ピ3+ あ6 = 960(式1改)
ピ3 + あ3 = 660(式2)
❷あんまんを出す
り1 +あ3 = 0300(式1)
り1 +あ1 = 1000(式1)
↓代入
ピ1 + 200 =
ピ1 =
320-200=110
式を2つとも「倍」する
これが「加減法」の最後の問題、ラスボスです!
「りんご2個とみかん3個で460円、りんご3個とみかん2個で490円。りんごとみかんの値段は?」
まず式を書いて、りんごとみかんの4つの数値を観察しましょう。
りんご3個とみかん2個で490円」
り3+み2=
490(式2)
りんごの数値「2」と「3」、みかんの数値「3」と「2」は、さっきと違ってどちらかを倍にしてもそろいません!どうすればよいでしょうか?
こういうときは、2つの式をそれぞれ何倍かして数値をそろえます。結論から言うと「最小公倍数」にそろえればよいのです。
(どちらを消しても大丈夫ですが)今回は「りんご」の数値をそろえて「りんご」を消します。
「りんご」の数値は2と3なので最小公倍数6にそろえます。
つまり出来上がりはこうなります。?の部分はいくつになるでしょうか?
り3+み2=490(式2)→り6+み?=
??(式2改)
この作業は分数の「通分」で、分母を倍したのと同じように分子も倍にしたあの感覚でやって下さい。
1つ目の式は「り2」を「り6」にするので3倍です。「み3」も3倍して「み9」に「460」も3倍して「1380」にします。
2つめの式は3を6にするので「2倍」です。「み2」を2倍して「み4」に「490」も2倍して「980」になります。
最後の数字を倍するのを忘れることが多いので気をつけて下さい。
り3+み2=490(式2)→り6+み4=
980(式2改)
これでりんごの数値がそろったので、答えが出せますね。
り3+み2=490(式2)→り6+み4=
み5=
み1=
980(式2改)
1380-980=400
400÷5=80
↓代入
り2+み3=
り2+240=
り2=
り1=
460
460-240=220
220÷2=110
最後に、加減法の解き方をまとめると、こうなります。
(例)りんご2個とみかん3個で460円、
りんご3個とみかん2個で490円
り3+み2=
490(式2)
- 式を倍する
どちらかの品目の個数がそろうように、式をそれぞれ何倍かするり2+み3=460(式1)→り6+み9=
り3+み2=490(式2)→り6+み4=1380(式1改)
980(式2改) - 消去
個数がそろった品目を消去し、残った品目の値段を出すり6+み9=
り6+み4=
み5=
み1=1380(式1改)
980(式2改)
1380-980=400
400÷5 =80 - 代入
はじめの式に戻って求めた値段を代入し、もう一方の値段も出すみ1=80→み3=240
↓代入
り2+ み3 =
り2+240=
り2=
り1=460(はじめの式1)
460
460-240=220
220÷2=110
1)確認テストとして、まず式を「倍」して数値をそろえる練習をしてみましょう。
(2019.11.19作成中です)
式を「倍」するのが出来た人は、続きを解きましょう
(2019.11.11作成中です)

消去算その2~代入法

代入法の基礎(単純代入)
代入法は問題文が先程の加減法と異なります。こういう問題です。
「りんご1個はみかん1個より30円高い。りんご個1とみかん2個で270円になった。りんごとみかんの値段は?」
文の後半は加減法で何度も作った式にできますね。
「り1 + み2 = 270」
一方、文の前半「りんご1個はみかん1個より30円高い」は初めて見る形です。これを式にすると「り1=み1 + 30」となり、並べるとこうなります。
りんご個1とみかん2個で270円」
り1 = み1 + 30(式1)
り1+ み2 = 270(式2)
式1は「り1」と「み1 + 30」が同じということなので、式2の「り1」の代わりに「み1 + 30」を入れて新しい式を作ります(式3)。
↓代入する
り1 + み2=
み1+30+み2=
270(式3)
新しくできた式3は「みかんが1+2=3個と30円で270円になる」という意味なので、「み3 + 30 = 270」という式にできます。
この式から「み3」つまりみかん3個は270-30=240円と分かるので、みかん1個は240÷3=80と求められます!
↓代入する
り1 + み2=
み1+30+み2=
み3+30=
み3=
み1=
270
270
270-30=240
240÷3=80
この後は、式1に戻って「み1」に80を代入してりんごを求めます。
り1=
り1=
↓代入する
み1+30(はじめの式1)
80+30
110
消去算(代入法)の解き方をもう一度まとめると、こうなります。
- 式を代入
2つの式のうち「1種類をもう1種類で表した式」
を残りの式に代入して1種類を消し残りを求めるり1=み1+30(式1)
↓代入する
り1 + み2=
み1+30+み2=
み3+30=
み3=
み1=270(はじめの式2)
270
270
270-30=240
240÷3=80 - 数値を代入
はじめの式に戻って数値を代入し、もう1種類の値段も出す。り1=
り1=
り1=
み1=80
↓代入する
み1+30(はじめの式1)
80+30
110
式1に代入してリンゴを求める
確認テストをどうぞ
作成中
代入法(代入後にも処理)
次はこういう問題です。
「りんご1個はみかん1個より30円高い。りんご個3とみかん2個で490円になった。りんごとみかんの値段は?」
式はさっきとだいたい同じです。
りんご個3とみかん2個で490円になった」
り3+み2=
490(式2)
そして、さっきと同じように式1を式2に代入したいのですが、式2が「り1」ではなく「り3」になっているので、そのままでは代入できません…
そこで加減法で使った「式を倍する」テクニックで式1を3倍します。
り1=み1+30(式1)→り3=み3+90(式1改)
これを式2に代入します。
↓代入する
り3 + み2=
み3+90+み2=
み5+90=
み5=
み1=
490
490
490-90=400
400÷5=80
新しくできた式3は「み5 + 90 = 490」という式にできます。この式から「み5」つまりみかん5個は490-90=400円と分かるので、みかん1個は400÷5=80と求められます!
あとは、式1に戻ってりんごを出して終了です。
り1=
り1=
↓代入する
み1+30(はじめの式1)
80+30
110
消去算(代入法)の解き方をもう一度まとめると、こうなります。
(例)りんご1個はミカン1個より30円高い。
りんご個3とミカン2個で490円になった。
り3+み2=
490(式2)
- 式を代入
2つの式のうち「1種類をもう1種類で表した式」
を残りの式に代入して1種類の値段を求めるり1=み1+30(式1)→り3=み3+90
↓代入する
り3 + み2=
み3+90+み2=
み5+90=
み5=
み1=490(式2)
490
490
490-90=400
400÷5=80 - 代入
はじめの式に戻り求めた値段を代入して、もう1種類の値段も出す。り1=
り1=
り1=
み1=80
↓代入する
み1+30(はじめの式1)
80+30
110
確認テストをどうぞ
作成中

消去算の応用問題
ここでは2種類の消去算をあげておきます。
三量の消去算(代入法+加減法)
代入法と加減法が合わさった、こんな問題です。
「チョコはガムより40円高く、チョコ2個とアメ3個で270円、ガム3個とアメ2個で210円だった。チョコ・ガム・アメの値段を求めなさい」
まず式を書いてみます
チョコ2個とアメ3個で270円
ガム3個とアメ2個で210円」
チ1=ガ1+40(式1)
チ2+ア3=270(式2)
ガ3+ア2=210(式3)
モノが3種類もあるし式に出てくるモノもバラバラで、一瞬どうしたら良いか分からず泣きそうになりますが…式1が代入法の式なので、それを式2のチョコに代入してみましょう!
↓代入する
チ2 + ア3=
ガ2+80+ア3=
ガ2+ア3=
ガ2+ア3=
270
270-80
190(式4)
式4が新しく出来ました。これを式3とタテに並べてみると、
ガ3 + ア2 =
210(式3)
見事に加減法の形になっています!式4を3倍、式3を2倍してガムを6にそろえて消し、アメを出します。
ガ3+ア2=210(式3)→ガ6+ア4=
ア5=
ア1=
420(式3改)
570-420=150
150÷5=30
次ははじめの式3に戻って(アメの数が一番少ないので)、ア2に60を代入してガムを出します
代↓入
ガ3+ア2=
ガ3+60=
ガ3=
ガ1=
210
210-60=150
150÷3=50
さらにはじめの式1に戻って、ガ1に50を代入してチョコを出して終了です。
チ1=
↓代入
ガ1+40(はじめの式1)
50+40=90
チョコ90円、ガム50円、アメ30円が答えでした!
大変でしたが…何度か練習すればできるようになります。
「できるよ!」という人は確認テストをどうぞ。
作成中
三量の消去算(和の式が三つ)
三種類のモノがあって、そのうち二種類ずつの和の式が三つかいてある場合で、例えばこういう問題です。
「アンパンとジャムパンを1個ずつ買うと190円、ジャムパンとクリームパンを1個ずつ買うと210円、クリームパンとアンパンを1個ずつ買うと220円。パンの値段はそれぞれいくらか?」
「ア」「ジ」「ク」で関係式を作るとこうなります
ジャムパンとクリームパンを1個ずつ買うと210円
クリームパンとアンパンを1個ずつ買うと220円」
ジ1 + ク1=
ク1 + ア1=
210(式2)
220(式3)
さらにパンの種類ごとに位置をそろえるとこうなります。
ジ1+ク1=
ア1 +ク1=
210(式2)
220(式3)
この3つの式を全部合計すると三種類のパン2個ずつの合計になり、それを÷2すると三種類のパン1個づつの合計が出ます(式4)。
ジ1+ク1=
+)ア1 +ク1=
ア2+ジ2+ク2=
ア1+ジ1+ク1=
210(式2)
220(式3)
620
620÷2=310(式4)
この式4と式1を比べると、ク1が310-190=120 と分かります。
ー)ア1+ジ1 =
ク1=
190(式1)
120
同様に式4と式2からア1=310-210=100、式4と式3からジ1=310-220=90と分かります!
ー) ジ1+ク1=
ア1 =
210(式2)
100
ー)ア1 +ク1=
ジ1 =
220(式3)
90
消去算というか、式の操作という感じの問題でした。例題が理解出来た人は確認テストにチャレンジしてみましょう。
作成中

●消去算だけを解きたい人には「消去算」(サイパー算数)
●他の単元も合わせて復習したい小6受験生には「算数ベストチェック」(日能研)
●単元学習中の小4小5には「算数の基本問題(小5)」(日能研)
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