「等差数列の基本を固めたい」という中学受験生の方、まかせて下さい。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「ある数の等差数列上での位置＝N」の出し方を分かりやすく説明します。
等差数列の基礎(復習)
爽茶こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。
まず等差数列の基礎を確認します。
こうでしたね。
確認テストをどうぞ
等差数列 3,10,17,24…の13番目の数を求めなさい
→( はじめの数は3、公差は7、Nは13 なので
13番目の数＝3+{7×(13-1)}＝3+84＝87 )
確認テストができない人は「等差数列の基本とN番目の数」を見た方が良いかもしれません。
できた人は今日の内容に進みましょう♪
Nを求める
爽茶解き方を理解♪
●例題1
等差数列 2,5,8,11…がある。32が何番目の数か考える。
「はじめの数」と「公差」を使って考えます。
例題1(1)
32は はじめの数2に+30した数です。
30
例題1(2)
＋30は公差３の10回分(30÷3)にあたります。
10回分
例題1(3)
等差数列では、数が公差より一つ多くなります(植木算の木と間の関係)。
今回の問題では、公差が10回なので数は11個になります。つまりN=11で32は11番目の数です♪
11番目
解き方を公式化
今の計算を振り返ると、こうでした。
これから先は何回もNを求めるので、この計算自体を公式としておきましょう！
中括弧{…}の部分が公差の回数になっているのが分かります。
これで等差数列の「N」の求め方は分かりました。類題で公式を使う練習をしましょう
練習問題で定着！
●類題1-1
9,15,21…という等差数列があります。以下の問いに答えなさい。
類題1(1)
公式を使いましょう。
公式「N={N番目の数–はじめの数)÷公差}+1」にN番目の数=75,はじめの数=9,公差=6を代入すると、N={75–9)÷6}+1={11}+1=12番目と分かりますね！
12番目
類題1(2)
ありますか？と聞かれているということは…
N番目の数=100,はじめの数=9,公差=6を代入すると公式に入れて計算するとN={(100-9)÷6}+1=16.1…で、Nが整数になりません。
つまり、100は数列上にはありません。
N=16.1…ということは、100は16番目と17番目の間にあるということです。
ない。16番と17番の間
類題1(3)
小問(2)がヒントになっています
N番目の数を1000にして公式を使うと、N={(1000-9)÷6}+1=166.1…で1000は数列上になく、166番目と167番目の間にあると分かります。
したがって1000を越えるのは167番目の数ですね！
167番目
●類題1-2
12,16,20…という等差数列が76まで続いています。以下の問いに答えなさい。
類題1-2(1)
深く考えずに…
N番目の数=76,はじめの数=12,公差=4を公式に代入すると、N={(76-12)÷4}+1=16+1=17なので、最後の数76は17番目とわかります。
17個
類題1-2(2)
真ん中のものは「(1+全部の数)÷2」番目です。
全部17個並んでいるので、真ん中の数字は(1+17)÷2=9番目です。
前回の公式「N番目の数=初めの数+{公差×(N-1)}」にはじめの数=12,公差=4,N=9を代入して計算すると12+{4×(9-1)}=44です。
44
等差数列では、真ん中の数は「初めの数＋最後の数)÷2」でも求められます。(12+76)÷2でやはり44になります。
類題1-2(3)
全部で10個ある時の前から4番目の数は、後ろから数えると10-(4-1)=7番目です。
40が(前から)何番目か求めると、N={(40-12)÷4}+1=8番目です。つまり「40」の前には数字が8-1=7個あります。
この数列は全部で17個の数字があるので、後ろから数えると「40」は17－7＝10番目になります。(詳しくは参考記事「数え方」を見て下さい)
10番目
後ろからの番目を聞かれているので、数列を前後逆向きにして、初めの数=76,最後の数=12と考えます。公差は4で変わりません(減っていきます)。
Nを求める公式「N={}+1」に代入すると、N={(76-40)÷4}+1=10番目と分かります。
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まとめとプリント
まとめ
今回の公式「Nを求める」と前回の公式「N番目を求める」、それに等差数列の基本図をまとめてみました。
公式に直接書いていない「公差の個数(青い波線)」がポイントです。
この記事で使った問題の「解答解説」プリントをダウンロードできます。書き込み可能な「問題」プリントはコチラでまとめてダウンロードできます。
無断転載引用はご遠慮ください。
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●数列だけを解きたい場合、低学年の入門用には「等差数列(上)」
●数列だけでなく算数全体の復習をしたい場合、小4受験生には「算数の基本問題4年」(日能研)
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