「等差数列がよく分からない!」苦手…」という中学受験生の方、おまかせ下さい。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすくまとめました。
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数列入門(~小3)
低学年のうちに数字を並べて書くことを楽しむ・慣れておけると、お子さんの将来が広がります！
倍数を書いてみる
九九の延長として倍数の列を書いてみる。
はじめの20個を書きながら縦・横のリズムをつかんだら途中の省略を覚えて、100番目・200番目も書けるようになったらOKです。
等差数列を書いてみる
はじめの数を決めて、同じ数ずつ増やしていきます。
これもはじめの20個を書きながら縦・横のリズムをつかんだら途中の省略を覚えて、100番目・200番目も書けるようになったらOKです。
等差数列の基本(受験小4)
中学受験を始めた小4のお子さんが対象ですが、小さい整数を使えば小3からの受験準備にも使えますよ♪
等差数列の意味
等差数列は等しい差で増えていく(減っていく)数字の列です。数列を見たら「差」と「番目」を書いて等差数列か見分けます。
＝「はじめの数」から「等しい差(公差)」で増えていく数字の並び
等差数列には4つの要素があります。
①「はじめの数」…上の図の「2」
②「公差」…等しく増えていく数。上の図の「3」
③「N」(「番目」)…上の図の丸数字
④「N番目の数」…「2」「5」「８」と並んでいる数字そのもの
「N番目の数」を求める
「はじめの数」と「公差」が分かれば「N番目の数」が自由に求められます。
「公差」が「数字の個数=N」より1つ少ないことに注意します。
例えば3番目の数(N=3)は「はじめの数」に「公差」を3-2=2回プラスしたものです。
等差数列「1,4,7…」の8番目の数は？
→はじめの数+{公差×(N-1)}=( 1+{3×(8-1)}=22 )
等差数列「4,9,14…」の21番目の数は？
→はじめの数+{公差×(N-1)}=( 4+{5×(21-1)}=104 )
詳しい説明や応用問題が解きたい人は「等差数列とは？N番目の数の出し方」を見て下さい。
Nを求める
上とは反対に、ある数字が数列の何番目か=Nを求めることもできます。
「数字の個数=何番目か=N」は「公差」よりも1つ多いことに気をつけます。例えば「はじめの数」に「公差」を２回足した数は3番目の数です(N=3)。
80は数列「2,5,8…」の何番目ですか？
→公差の回数=(N番目の数–はじめの数)÷公差
=( (80–2)÷3=24 )回
→80は( 24+1=25 )番目
391は数列「11,20,29…」の何番目ですか？
→公差の回数は( {(391–11)÷9}=42 )回
→391は( 42+1=43 )番目
詳しい説明が読みたい・応用問題を解きたい人は「等差数列上の位置(N)を求めるには？」を見て下さい。
公差を求める
数列の途中が抜けていても、数字が2個書いてあれば公差を求めることができます♪
＝(N番目の数－はじめの数)÷(Nー1)
*(Nー1)が公差の回数になっています。
(例)等差数列「４,◯,◯,◯,32…」の公差?
→5番目の数が32,はじめの数なので、(32-4)÷(5-1)=7
公式自体を暗記しなくても問題が解ければOKです！
詳しい説明が読みたい人は「数列の初項・公差を求めるには？」を見て下さい
初めの数を求める
はじめの数が分からない場合も、求めることができれば基本はカンペキです。
＝N番目の数－{公差×(Nー1)}
*(Nー1)が公差の個数になっている
(例)等差数列「○,○,26,○,42」の「はじめの数」は？
→公差は(42-26)÷2=8
→はじめの数は26-{8×(3-1)}=10
公式を覚えずとも問題が解ければOKです。
詳しい説明が見たい人は「」を見て下さい。「数列の初項・公差を求めるには？」
数列の和(受験小4)
等差数列の「はじめの数」から「N番目の数」までの合計(和)を求められるようにしましょう
等差数列の和＝(はじめの数+N番目の数)×N÷2
(問題を解く手順)
- はじめの数、公差、N(合計を求める個数)を確認
- N番目の数を はじめの数+{公差×(N-1)} で求める
- 数列の和を (はじめの数+N番目の数)×N÷2 で求める
確認テストをどうぞ
等差数列「5,16,27…」のはじめの数から14番目の数までの和は？
→14番目の数は( 5+{11×(14-1)}=213 )
→合計は( (5+213)×14÷2=1526 )
2,9,16,23,30…という数列がある。50番目までの数の合計は？
→50番目の数を求めると( 2+7×(50-1)=345 )
→50番目までの合計は( (2+345)×50÷2=347×25=8675 )
はじめから520までの数を足すといくつになるか？
→520の番目(N)を求めると( (520–2)÷7+1=75番目 )
→520までの合計を求めると( (2+520)×75÷2=522÷2×75=261×75=19575 )
詳しい説明が見たい人、もっと問題を解きたい人は「等差数列の和の求め方は？」を見て下さい。
階差数列(受験小5)
群(グループ)数列(受験小4)
並行数列(受験小6)
強い暗示がある場合
弱い暗示がある場合
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