小学生が中学受験で使う(等差)数列とは?問題と解き方。無料プリントあり

数列記事の一覧

等差数列の和

階差数列の問題

○群(グループ)数列

並行数列(その1)

並行数列(その2)

○数列の公式まとめ

「等差数列がよく分からない…苦手」という中学受験生の方、もしかしたら多くの事を覚えようとし過ぎなのかもしれませんよ。

実は、たった3~4個の公式で数列の半分以上の問題は解けてしまうのです。だから、その3~4個の公式と使い方をしっかり覚えるのが大切です。

この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が数列の最重要項目と公式・その使い方を分かりやすく説明します。

記事を読みながら練習問題を解いていけば数列が苦手ではなくなるのは間違いなし!もしかしたら得意になっているかもしれませんよ!

目次の好きな箇所をクリックするとジャンプできます。

数列入門(~小3)

低学年のうちに数字を並べて書くことに慣れておくと、きっと数列が得意になりますよ!!

倍数を書いてみる

まず、かけ算の九九を延長して倍数の列を書いてみると良いでしょう。

(例)3の倍数の列

 3, 6, 9,12,15,18,21,24,27,30
33,36,39,42,45,48,51,54,57,60
……

3から3ずつ大きくしていき
10個並べたら改行する。

はじめの20個を書きながら縦・横のリズムをつかみます。(横に3ずつ・縦に30ずつ増えているのが分かります)

途中の省略を覚えて、100番目・200番目も書けるようになったらOKです。

 

書き方の例は参考記事「数列入門」を見て下さい。

等差数列を書いてみる

はじめの数を決めて、それに同じ数を足していきます。

(例)はじめの数が5で、
3ずつ増えていく数列

 5, 8,11,14,17,20,23,26,29,32
35,38,41,44,47,50,53,56,59,62
……

5から3ずつ大きくしていき
10個並べたら改行する。

これもはじめの20個を書きながら縦・横のリズムをつかんだら途中の省略を覚えて、100番目・200番目も書けるようになったらOKです。

等差数列の基本(受験小4)

中学受験を始めた小4のお子さんが対象ですが、小さい整数を使えば小3からの受験準備にも使えますよ♪

等差数列の意味

等差数列は等しい差で増えていく(減っていく)数字の列です。

1.等差数列の意味

=「はじめの数」から「等しい差(公差)」で増えていく
数字の並び

数列を見たら「」と「番目」を書いて等差数列か見分けます。

上の図を見ると、等差数列には4つの要素があるのが分かります。
①「はじめの数」…上の図の「2」
②「公差」…等しく増えていく数。上の図の「3」
③「N」(「番目」)…上の図の丸数字
④「N番目の数」…「2」「5」「8」と並んでいる数字そのもの

等差数列の基本問題は、この4つのどれかを聞かれるクイズだと思えばよいでしょう。

「N番目の数」を求める

「はじめの数」と「公差」が分かれば「N番目の数」が自由に求められます。

この公式は絶対に覚えましょう!

❷.等差数列のN番目の数
図1:等差数列の例
公差は数の個数(N)よりも1つ少ないことに注意!

N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}

(例)10番目の数2+{3×(10-1)}=29

「公差」が「数字の個数=N」より1つ少ないことに注意します。

例えば3番目の数(N=3)は「はじめの数」に「公差」を3-2=2回プラスしたものです。

確認テスト(タッチで解答表示)

等差数列「1,4,7…」の8番目の数は?
はじめの数+{公差×(N-1)}=( 1+{3×(8-1)}=22 )

等差数列「4,9,14…」の21番目の数は?
はじめの数+{公差×(N-1)}=( 4+{5×(21-1)}=104 )

詳しい説明や応用問題が解きたい人は「等差数列とは?N番目の数の出し方」を見て下さい。

なお、この記事の一番下でプリントをダウンロードできます。

Nを求める

上とは反対に、ある数字が数列の何番目か=Nを求めることもできます。

3.等差数列での位置(N)

ある数が数列のN番目の数である時

数列での番目(N)
={N番目の数はじめの数公差}+1
=={…}は公差の回数を表す↑

(例)数列2,5,8…の32は何番目か?
{(3223}+1=11番目

「数字の個数=何番目か=N」は「公差」よりも1つ多いことに気をつけます。例えば「はじめの数」に「公差」を2回足した数は3番目の数です(N=3)。

この公式は、算数が得意な人は覚えなくても大丈夫です。苦手な人は覚えましょう。

確認テスト(タッチで解答表示)

80は数列「2,5,8…」の何番目ですか?
公差の回数=(N番目の数はじめの数公差
=( (8023=24 )回
80は( 24+1=25 )番目

391は数列「11,20,29…」の何番目ですか?
公差の回数は( {(391119}=42 )回
391は( 42+1=43 )番目

詳しい説明が読みたい・応用問題を解きたい人は「等差数列上の位置(N)を求めるには?」を見て下さい。

この記事の一番下でプリントをダウンロードできます。

公差を求める

数列の途中が抜けていても、数字が2個書いてあれば公差を求めることができます♪

4.等差数列の公差

=(N番目の数はじめの数(Nー1)
*(Nー1)が公差の回数になっています。

(例)等差数列「4,◯,◯,◯,32…」の公差?
→5番目の数が32,はじめの数なので、(32-4)÷(5-1)=7

公式自体を暗記しなくても問題が解ければOKです!

詳しい説明が読みたい人は「数列の初項・公差を求めるには?」を見て下さい

この記事の一番下でプリントをダウンロードできます。

初めの数を求める

はじめの数が分からない場合も、求めることができれば基本はカンペキです。

5.等差数列のはじめの数

N番目の数-{公差×(Nー1)}
*(Nー1)が公差の個数になっている

(例)等差数列「○,○,26,○,42」の「はじめの数」は?
→公差は(42-26)÷2=8
→はじめの数は26-{8×(3-1)}=10

公式を覚えずとも問題が解ければOKです。

詳しい説明が見たい人は「」を見て下さい。「数列の初項・公差を求めるには?

なお、この記事の一番下でプリントをダウンロードできます。

数列の和(受験小4)

等差数列の「はじめの数」から「N番目の数」までの合計(和)を次の公式で求めることができます。

この公式は絶対に覚えてください

❻.等差数列の和

等差数列の和=(はじめの数+N番目の数N÷2

(問題を解く手順)

  1. はじめの数公差N(合計を求める個数)を確認
  2. N番目の数はじめの数+{公差×(N-1)} で求める
  3. 数列の和を (はじめの数+N番目の数N÷2 で求める

確認テストをどうぞ

確認テスト1

等差数列「5,16,27…」のはじめの数から14番目の数までの和は?
14番目の数は( 5+{11×(14-1)}=148 )
→合計は( (5+14814÷2=1071 )

確認テスト2

2,9,16,23,30…という数列がある。50番目までの数の合計は?
50番目の数を求めると( 2+7×(50-1)=345 )
50番目までの合計は( (2+34550÷2=347×25=8675 )

はじめから520までの数を足すといくつになるか?
520の番目(N)を求めると( (52027+1=75番目 )
520までの合計を求めると( (2+52075÷2=522÷2×75=261×75=19575 )

詳しい説明が見たい人、もっと問題を解きたい人は「等差数列の和の求め方は?」を見て下さい。

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等差以外の数列

数列を見たら「差」を書き込んで等差数列か確かめます。もし差が等しくない(等差数列でない)場合は、次のような数列か調べてみましょう。

階差数列

4,5,7,10…

差を調べると、1,2,3…と等差数列になっている数列。(入試に出ます)

このあと詳しく説明します

フィボナッチ数列

1,2,3,5,8,13…

①1+②2=➂3、②2+➂3=④5、のように2つの和で3つ目を決めていく数列。(→ウィキペディアの説明)

たまに入試で出ます。

見分け方

差を取ると1,1,2,3,5…と最初の1個以外はもとの数列と同じになっています。

確認テスト(タッチで解答表示)

4,7,11,18,…という数列の7番目を求めなさい
→( (差を取ると)3,4,7と最初の1個以外はもとの数列と同じなのでフィボナッチと分かる。2つの和で次の数字を順番に決めていくと、4,7,11,18,29,47,76で76と分かる)

等比数列

1,2,4,8,16,32…

①1×2=②4、②2×2=➂4、➂4×2=④8、のように次々に何倍かしていく数列

入試にはあまり?出ません。

階差数列の利用(受験小5)

等差数列ではない(差が等しくはない)が、差を並べてみると等差数列になっているような数列は公式が使えます。
(差を並べてできる数列が「階差数列」です)

この公式は覚えましょう!

❼.階差数列の利用

差が等差数列(B)になる数列AN番目
=Aのはじめの数+Bの(N-1)番目までの

(例:A④=A①(1)+B①~B③(1+4+7=12)=13
*BではなくB③までなのがポイント!

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

「6,7,9,12,16」という数列の13番目はいくつか?
→(もとの数列(A)の差を並べると「1,2,3,4…」という等差数列(B)になっている。Aの13番目=Aのはじめ+(Bの1番目から12番目までの和)=6+(1+2+3+…+12)=6+(1+12)×12÷2=6+78=84 )

「5,8,13,20,29…」という数列の27番目はいくつか?
→(もとの数列(A)の差を並べると「3,5,7…」という等差数列(B)になっている。Aの27番目=Aのはじめ+(Bの1番目から26番目までの和)。Bの26番目は3+2×(26-1)=53なので、Aの27番目=5+(3+53)×26÷2=5+754=759 )

問題を解きたい人は関連記事「階差数列の利用」を見て下さい。

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並行数列(受験小5)

二種類の数列が並んだり混じったりしている問題です。

分数の数列

分数の分母と分子がそれぞれ二種類の数列になっています。

約分があるのに気をつけて表にして(イメージして)解きます。

 

問題を解きたい人は関連記事「分数数列」を見て下さい。

暗示的な並行数列

一見、並行していると分からない場合です。

表などにして考えます。

隠れた並行数列

二種類の数列が混じって並んでいる場合
→それぞれの数列を二段の表に分けてペア番号で考える。

(例) (男)1  (女)3  (男)4  (女)5  (男)7  (女)7  (男)10  (女)9
と並んでいる場合の前から15番目は?

 

ペア番号 1 2 3 N
男子 ①1 ③4 ⑤7 前から(N×2-1)番目
女子 ②3 ④5 ⑥7 前から(N×2)番目

→男子は「はじめ1公差3」女子は「はじめ3公差2」の等差数列

→男子はペア番号×2-1(奇数)、女子はペア番号×2(偶数)

→前から15番目は15=8×2-1より8番ペアの男子で、
その番号は「はじめ1公差3」の等差数列の8番目
=1+3×(8-1)=22番

問題を解きたい人は関連記事「隠れた並行数列」を見て下さい。

群(グループ)数列(受験小5)

グループに分かれている数列です。何種類かに分かれています。

 

 

等差数列を元にする連続型

等差数列をグループに分けたもので、周期算に出てきた三種類の番号(通番、周期番号、周期内番号)意識すると簡単になります。

周期算で使う三種類の番号

中学受験の周期算で使う3つの番号。周期番号・周期内番号・通し番号

一見面倒くさいですが、
これがラクに解くコツです。

周期算を復習したい人は参考記事「周期算の公式・解き方まとめ」を見てください。

等差等分型

等差数列を同じ個数に区切った、こういう数列です。

6-1-0:等差等分型の群数列

(2,4),(6,8),(10,12)…という数列について以下の問いに答えなさい

この数列は「2,4,6,8,10…」という等差数列(はじめの数=2、公差=2)を2個ずつに区切ったものです。

等差等分型の群数列
もとの等差数列
2,4,6,8,10,12…
等分して群数列に

2,4,/6,8,/10,12/…

これに、周期算で使った三種類の番号(通し番号周期番号周期内番号)をつけてみます。

図1:
2,
4,
6,
8,
10,
12,
14,
16…

 

説明書き

これを眺めると、数列と周期番号に特別な関係が見つかります。

それは第Nグループの最後(2番め)がN×4になっていることです。

これを利用すると、例えば第100グループの最後(2番目)の数、通し番号では2×100=200番目は100×4=「400」と分かりますし

((図))

図1:
2,
4,
6,
8,
10,
12,
〈N〉
(N×4)-1
[1]
(2×N)-1
N×4
[2]
(2×N)

 

説明書き

逆に「400」は100×4であることから100グループ目の最後の数で2×100=200番目とも分かります。

この性質を使って問題を解いていきましょう。

例題
(2,4),(6,8),(10,12)…という数列について以下の問いに答えなさい

Q.第 グループの最初の数は何か?

Q.第10グループの合計はいくつか?
→第10グループの最後(2番め)は40。
→第10グループは(38,40)なので合計は78

等差不等分型

等差数列を、不等分に区切ったタイプ

(例)
(2),(4,6),(8,10,12)…この数列も「始めの数2、差2の等差数列」を元にしているが、区切りが1個、2個、3個と増えている。第Nグループの最後の数が、もとの数列の(1+2+3+…+N)番目で、(1+2+3+…+N)×2になっているのを利用する。

Q.第7グループの前から3番目の数はいくつか?
→第6グループの最後の数は(1+2+…+6)×2=42、そこから右に3つ進むと第7グループの3番目になる。
→ 42),(44,46,48

Q.第10グループの合計はいくつか?
→第9グループの最後は(1+2+…+9)×2=90 なので第10グループの最初(左端)は、92。
→第10グループは10個の数が並び、初めの数92公差2の等差数列なのでグループ最後(右端)の数は92+2×(10-1)=110
→第10グループの合計は(92+110)×10÷2=1010

等差数列でない連続型

等差数列以外では、連続する整数から2つの数の倍数だけを並べたもの(A)や、反対に2つの数の倍数だけを除いたもの(B)がよく出題される。

倍数だけの並び

(例)3か4の倍数を並べた数列

3,4,6,8,9,12,15,16,18,20,21,24,…
3と4の公倍数12までの6個の数を1周期と考えると、第N周期の最後がN×12になっている
3,4,6,8,9,12/15,16,18,20,21,24/…
各グループの6個の数はN×12-9,N×12-8,N×12-6,N×12-4,N×12-3 で表されるのが分かる。一つ前のグループの「(N-1)×12」を使って、+1,+2,+3と考えても良い。

倍数を除いた並び

(例)3と4の倍数を除いた数列

1,2,5,7,10,11,13,14,17,19,22,23,…
3と4の公倍数12までの6個の数を1周期として、第N周期の最後にN×12が隠れていると考える。
1,2,5,7,10,11,(12)/13,14,17,19,22,23,(24)/…
すると各グループの数はN×12-11,N×12-10,N×12-7,N×12-5,N×12-2,N×12-2 で表されるのが分かる。一つ前のグループの「隠れた(N-1)×12」を使って、+1,+2,+3と考えても良い。

Q1.40番目の数はいくつか?
→この数列は3と4の最小公倍数12で割った余りが1,2,5,7,10,11になる6個の数の周期になり、第N番グループの数は12×(N-1)に+1,+2,+5,+7,+10,+11 したものになっている。
→40番目の数は40÷6=6…4より第7グループの4番目なので、12×(7-1)+7=79

Q2.119は何番目の数か?
→119÷12=9…11 より、あるグループの最後と分かる。
→N番グループの最後とすると、12×(N-1)+11=119
なのでこの逆算を解いてN=10。第10グループの最後と分かった。
→119は6×10+0=60番目

断続型

グループの区切りごとに並びがリセットされるタイプ。

例1 1/1,2/1,2,3/1,2,3,4/… (実際は区切り線は無い)

通し番号、グループ番号、グループ内番号を整理しないと上手に解けない。

整数

(例1)一番単純なパターン

(例2)
2,2,4,2,4,6,2,4,6,8…
「2,4,6,8…」という「もとになる数の並び」が、1個、2個、3個と区切られるたびにリセットされている。
第Nグループの最初の数の「通し番号」は(1+2+3+…+(N-1))番で、最後の数の「通し番号」は(1+2+3+…+N)番。グループ内番号を「もとになる数の並び」で使えば数字が求められる。

Q1.17番目の数はいくつか。17番目のグループ番号をまず考えると、1+2+3+4+5=15より、通し番号15が第5グループの最後の数で、通し番号17は第6グループの2番目と分かる。各グループの2番目は全て4なので、通し番号17は「4」

Q2.第グループの合計はいくつか

Q3.17番目の数から27番目の数までの合計はいくつか

 

分数

分数の場合も同様に考える。

11,12,22,13,23,33,14,24,34,44

 

 

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これで数列のまとめは終了です。
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最後まで読んでいただきありがとうございました♪この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです!

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す。

等差数列

=「はじめの数」から「等しい差(公差)」で増えていく
数字の並び

数列を見たら

等差数列とN番目の数
図1:等差数列の例
公差は数の個数(N)よりも1つ少ないことに注意!

N番目の数初めの数+{公差×(N-1)}

(例)10番目の数2+{3×(10-1)}=29

れれれ

 

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