中学受験用の等差数列の和。公式の求め方と問題の解き方！無料プリントも

「等差数列の数列の和の出し方が良く分からない…」とお悩みの中学受験生の方、もう大丈夫ですよ！東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく教えます。これを読めば数列の和は得意になりますよ！

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等差数列の基本(復習)

爽茶そうちゃ

こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

等差数列は「『はじめの数』から『等しい差(公差)』で増えていく数の並び」でした。
基本図と公式を見て思い出して下さい。

特に最初の「N番目の数」の公式が大事なので、確認テストをしてみましょう。

爽茶そうちゃ

確認テストが出来なかった人は「等差数列の基本とN番目の数の求め方」に目を通すのをオススメします。

等差数列の和の公式を求める

数列の和

「等差数列の和」というのは数列の「はじめの数」から何番目かの数までを全部足したものです。

例えば「2,5,8…という数列の1番目から5番目までの和」なら、「2,5,8,11,14」を合計して2+5+8+11+14=40 となります。

今のように5個の数の和なら単純に足せば良いのですが、「100番目までの数の和」になると計算(公式)で求めないと無理ですね。

ここでは三種類の求め方(公式)を順に紹介します。
❶「ペア」式
❷「逆二段」式
❸「台形」式

公式は知ってる・分かるという人は問題へジャンプして下さい

2つをセットにする「ペア式」

低学年の生徒さんや、数や図形が苦手な生徒さんでも直感的に分かりやすいのが「ペア式」です。

例題1(ペア式)

このように、等差数列の合計(和)は、ペア数字の和✕ペアの個数で求められます。

「ペアの和」は、どのペアを選んでも同じなので、分かりやすいように「はじめの数と最後の数」で代表させましょう。

そして「ペアの個数」は10÷2 つまり「数字の個数÷2」でしたので、こういう公式ができます。

今の問題は数字が10個しかありませんでしたが、この公式を使って、もっと多くの数字がある数列の合計を出してみましょう！

類題1(ペア式の練習)

以上のペア式で、等差数列の合計(和)を出す問題は解けますが、ペア式は、数が奇数個の場合に直感的な理解が難しいので、異なる説明も紹介します。

逆向きの列を足す「逆二段式」

これは数字好きな生徒さん向きかもしれないので、ペア式で十分という人は三番目の「面積式」へ飛んで下さい。

まず、数列の合計を書き出して(図1)、

同じ数列を最後から並べたものをもとの数列の下に置きます(図2)

ここで、足し算の筆算のように段の上下の数字を足します(図3)。

すると「＝」の右側は「1(はじめの数)＋199(最後の数)」と等しい200が100個(数の個数)並ぶので、右側の合計は 200✕100＝20000になります。

一方、「＝」の左側は 合計＋合計で合計2個分になるので、全体としては、合計2個分＝20000となります。

したがって、合計＝20000÷2＝10000　と分かります。

このように、逆二段式でもペア式と同じく「(初めの数＋最後の数)×数の個数÷2」で合計が求められるのです。

階段を組み合わせる「面積式」

三番目の説明は、図形を使った説明です(個人的にはコレが好きです)

スペースの都合上、例題の数列を「 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 」で説明をします。

この数列の様子を棒グラフを横倒したように表現すると階段のような形ができて、この面積が数列の合計になります(図1)。

ここで、同じ形をもう一つ作り、逆さまにひっくり返してもとの形と組み合わせると、長方形になります。(図2)

この長方形はタテが10(数の個数)になり、ヨコは1(初めの数)+19(最後の数)で20になるので(図3)、面積は20×10=200になります。(図3)

そしてこれは階段の形2個分なので、階段1つ分すなわち数列の合計は 200÷2＝100 と分かります(図4)

今行った計算は「(1+19)×10÷2」でこれは「(初めの数＋最後の数)×数の個数÷2」です。

ペア式・逆二段式と同じ式「(初めの数＋最後の数)×数の個数÷2」で合計を求めているのが分かります。
(実は、台形の面積の求め方と全く同じ考え方を使っています)

和の公式が完成♪

上の3つのどの説明でも、数列の和は「(はじめの数＋最後の数)×数の個数÷2」で求められますが、覚えやすくするために今まで出てきた数列の公式と共通の言葉にそろえましょう！

「最後の数」は「N番目の数」、「数の個数」は「N」でしたね！

こうして数列の和の公式「等差数列の和＝(はじめの数+N番目の数)×N÷２」が完成しました！ﾜ~~~~ﾊﾟﾁﾊﾟﾁﾊﾟﾁ

爽茶そうちゃ

ここから先は、この公式を使って問題を解いていきましょう。

数列の和の問題を解く

爽茶そうちゃ

では、公式「等差数列の和＝(はじめの数+N番目の数)×N÷２」を使って問題を解いていきましょう！

基本解法

もう一度確認すると、こうです。

では確認に1問解いて下さい

実は、最後の計算(163×50÷2=4075)にはコツがあります。

練習問題をどうぞ

計算を楽にするコツはありますが、最後は筆算をしなくてはいけないので、計算力をつけておきましょう。

次は少し応用した問題を解いてみましょう。

プチ応用

分かりましたね？

もっと問題を解きたい人はこの下にある「オススメ教材」のコーナーを見て下さい

まとめとプリント

数列の和の公式をもう一度示します。数字だけでなく必ず日本語で「記憶」してください。

この記事で使った問題の「解答解説」プリントをダウンロードできます。書き込み可能な「問題」プリントはコチラでまとめてダウンロードできます。

「等差数列の和」プリント

問題用紙

(サンプルのみ)

&

解答解説

(ダウンロード可)

著作権は放棄しておりません。
無断転載引用はご遠慮ください。

爽茶そうちゃ

「これで等差数列の和」は終了です。お疲れ様でした！

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爽茶そうちゃ

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