中学受験】差(階差数列)を利用する問題の解き方【無料プリントあり

中学受験を目指す小学5年生の方へ。数列の差が等しくないつまり等差数列でない場合は公式がつかえません。では、どうすればよいでしょうか?実はある条件を満たせば等差数列の公式を使うことができるのです!
東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が送るこの記事を読めば、数列の「差」を並べた数列「階差数列」の使い方が分かってライバルに差をつけられますよ!

目次で好きな箇所をクリックするとジャンプできます。

(復習)等差数列の確認

等差数列の基本をちょっとだけ確認。特に「等差数列の和」は絶対に思い出してください。

今回の記事の前提知識
等差数列の基本
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&
等差数列の和

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特に重要なのは「数列の和」

上の図を見ても「思い出せない…」人は「等差数列の基本とN番目の数の出し方」と「等差数列の和の公式と問題の解き方」を見て下さい。

差で作る数列(階差数列)

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

今まで「数列を見たら等差数列と思え!」という勢いで問題を解いてきましたが、差が等しくない場合はどうしたらよいでしょうか。

階差数列を理解する

1~階差数列の基礎
2,3,5,8,12…という数列がある。以下の問いに答えよ
この数の並びは等差数列ですか?

はじめの数(2)と2番目の数(3)の差は1ですが、2番目の数(3)と3番目の数(5)の差は2です。

差が等しくないので等差数列ではありません。

等差数列ではない
差はどのような数の並びになっているか?
5つの数全部の差をとって並べると…1,2,3,4 となっていますね。これは1ずつ等しく増えているので等差数列です!o(・∀・)o

はじめの数1,公差1の等差数列

このように差を並べた数列を「階差数列」と呼びます。

「階差数列」が指すもの

→タイトルではもとの数列を階差数列のように書いていますが、
もとの数列の差を並べたものが階差数列です…
(^_^;)

 

階差数列を作る練習

少し練習してみましょう。「↓開く↓」にポインタをのせるか(パソコン)クリックすると(スマホ)、解答を見ることができます。

1~階差数列を作る練習
以下の数列の「階差数列」はどのような数列か?
5,7,11,17,25…

差を並べると2,4,6,8…となります。

これは「はじめの数が2、差が2の等差数列」になります。

図1
差は2,4,6,8…
はじめの数が2、差が2の等差数列
14,19,25,32,40…

差を並べると5,6,7,8…となります。

これは「はじめの数が5、差が1の等差数列」になります。

図1
差は5,6,7,8…
はじめの数が5、差が1の等差数列

階差数列が分かったと思うので、これを利用した問題を解いてみましょう。

階差数列の利用

ここからが本番です。階差数列を利用して問題を解いてみましょう♪

解き方を理解

2~階差数列の利用
2,3,5,8,12…という数列がある。以下の問いに答えよ
もとの数列(2,3,5,8,12…)をA、階差数列(1,2,3,4)をBとする。Aの4番目を、Aのはじめの数とBの数列を使って表しなさい。

Aのはじめの数「2」から4番目の数「8」までは6増加しています。

この増加分の6と階差数列Bの関係を考えると、

Bのはじめの数「1」2番めの数「2」3番目の数「3」の合計(和)です。

Aの4番目=Aのはじめの数Bの番目までの和と表すことができます。

Bの4番目までの和ではなく、3番目までの和なることに注意です。植木算からずっと出てくる「木の数」と「間の数」の関係ですね

Aのはじめの数+Bの3番目までの和

Aの10番目の数を求めなさい

小問3の考え方を使うと…

先程の考え方を使うと、Aの10番目の数=Aのはじめの数Bの9番目までの和 です。

➀まず「Aのはじめの数」はです。

➁次に「Bの9番目までの和」を求めます。等差数列の和の公式 (はじめの数+N番目の数)✕N÷2 をB:1,2,3,4…にあてはめると、「はじめの数」=1,「9番目の数」=9「N」=9なので

「Bの9番目までの和」=(1+9)✕9÷2=45 になります。

以上より、Aのはじめの数=2,Bの9番目までの和=45なので、Aの10番目の数=2+45=47 になります。
47
このように「差(階差数列)が等差数列になる数列のN番目の数」は「和の公式」を使ってを求めることが出来ます。

等差数列になる「差」を利用

何度も言いますが、N番目の数を出すときは(N-1)です。

「80」はAの何番目か

はじめに種明かしをしてしまうと、階差数列の問題では「N番目の数」は計算(公式)で出せますが、「番目(N)」は計算(公式)では出せません。(計算で出せるのは中学3年生から)
気になるひとは参考記事「計算で出せない事柄」を見て下さい。
したがって、数列の基本に戻って手作業で出すことになります。(入試でも同じように手作業で出します)
小問4で、Aの10番目が「47」と分かり「80」はこれより後ろにあるのは確実なので、「47」の次の数字を出してみましょう。
図1:

ここから80まで出していく
「47」の直後にあるのはBの10番目で、Bの10番目は「10」なので、Aの11番目は47+10=57 と分かります。
図2:

A⑪は57

この続きの図を、Aに「80」が出てくるまで続ければ良いのです。

Aの12番は57+11=68、Aの13番は68+12=80(はい!出ました)。

図3:

80はA⑬でした

これで「80」はAの13番と分かりましたね。

計算間違いをしないように、図に書き込みながら解くことが重要です!

13番目

以上が階差数列を使った問題の解法です。

階差数列の利用法
  1. ある数列(A)の差が等しくなくても…
  2. 差を並べた階差数列(B)が
    等差数列になっていれば
  3. もとの数列AのN番目の数を
    階差数列Bを使って表現できる
  4. ある数のAでの位置(番目(N))
    は地道に調べるしかない

分かりましたね。類題で練習して下さい。

練習問題で定着

類題2-1

4,6,11,19,30,44…という数列がある。
(1)20番目の数を求めよ
(2)「396」は何番目の数か?
小問1
20番目の数を求めよ
図解

もとの数列(Aとします)の差を調べると等しくありませんが、とりあえず並べます。階差数列ができました(Bとします)。

Bは「2,5,8,11,14…」という数列で差を調べると全部3なので、はじめの数=2、公差=3の等差数列でした。
((図))

ここでさっきの公式を用いると、Aの20番目の数=Aのはじめの数Bの19番目までの和 になります。

Bの19番目=はじめの数2+公差3✕(19-1)=56 で、Bの19番目までの和は、(Bのはじめ+Bの19番目)✕19÷2=(2+56)✕19÷2=551

これで答えが出ますね。Aの20番目の数=Aのはじめの数Bの19番目までの和=4+の551=555 と分かります。

答: 555


小問2
「396」は何番目の数か
解説

番目=Nを出すので地道に調べますが、今まで分かった情報を元に「396」が、どの辺りにあるかを予想します。

設問で「44」が6番目、小問1で「555」が20番目と分かっているので、「396」は20番よりも前で、「555」から戻るように探すのが良いと分かります。

((図))

「555」の直前にあるBの19番を求めると、2+3×(19-1)=56と分かるので図を描きます。

((図))

計算した結果をこの図に書き込んでいきましょう。

Aの19番目は555-56=499
Aの18番目は499-53=446
Aの17番目は446-50=396 はい出ました!

「396」はAの17番目と分かりました。

答: 17番目


次は、少し変わった階差数列です

類題2-2

1,21,39,55,69,81…という数列の10番目を求めよ
解説

問題の数列(Aとします)の差を並べると、20,18,16,14,12 となります(階差数列=B)。Bの差は全て2で「減る」タイプの等差数列になっています。

減るタイプは公式が少し変わって「N番目の数=はじめ{差×(N-1)}」になることに気を付けましょう。

Aの10番目=Aのはじめの数+Bの9番目までの和 です。

Bの9番目=Bのはじめの数20-{Bの公差2✕(9-1)}=4、Bの9番目までの和=(Bはじめの数20+Bの9番目の数4)✕9÷2=108 と分かります。

これで、Aの10番目=Aのはじめの数+Bの9番目までの和=1+108=109と分かりました。

答: 109


次は少し応用です。

類題2-3

◯,◯,9,15,23,33,…という数列がある(◯は分からない)
(1)はじめの数を求めよ
(2)15番目の数を求めよ
小問1
はじめの数を求めよ

(ヒント)
問題の数列(A)が分かっている部分の差を調べて並べます

解説

問題の数列(A)が分かっている部分「9,15,23,33」の差を並べる(階差数列を作る)と「 6,8,10」 という等差数列になっていました♪

きちんとAとBを並べて書くと、Bの3番=6、4番=8、5番=10と分かるので、そこから遡るようにBの2番=4、Bのはじめ=2 も分かります

次にAをさかのぼってAの2番は9-4=5,Aのはじめは5-2= と分かります。

答: 3


小問2
15番目の数を求めよ

(ヒント)
Aのはじめの数が分かったので、階差数列の公式が使えますね

解説

Aの15番目=Aのはじめの数+Bの14番目までの和 です

Bの14番=Bのはじめの数2+{Bの公差2✕(14-1)}=28、Bの14番目までの和= (Bのはじめの数2+Bの14番目の数28)✕14÷2=210 と分かります。

これで、Aの15番目=Aのはじめの数3+Bの14番目までの和210=213とと分かりました。

答: 213

 

応用問題に挑戦

最後の類題は…応用です。

2-3~階差数列の応用
5,7,10,15,23,35,…という数列がある。差に注目して10番目の数を求めなさい

ひと目見れば等差数列ではないと分かります。

そこで階差数列を調べてみても、2,3,5,8,12…これも等差数列ではありません。

そこで、階差の差を調べると1,2,3,4… 見事に!等差数列になっていました。

つまり、この数列は「階差の階差が等差数列である数列」だったわけですね。

図1:

Cは初めの数1,公差1の等差数列

それでは10番目をどのように求めればよいでしょうか?

6番まで出ているので、10番までは少し頑張って図を完成させれば出せそうですね。

完成させると…

図2:

ちょっと面倒ですが…

こうなって143と分かりました。

小学生は、このように書き出すのが良いと思います(高校生になれば、これも公式にできるのですが…)。

143

階差数列の問題は以上終了です!

まとめとプリント

この記事で使った問題の「解答解説」プリントをダウンロードできます。書き込み可能な「問題」プリントはコチラでまとめてダウンロードできます。

「階差数列の利用」プリント
問題
(サンプルのみ)
&
解答解説

(ダウンロード可)
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無断転載引用はご遠慮ください。

 

爽茶そうちゃ
階差数列の利用は以上です。この他にも数列には応用問題があります。数列の総合案内から見て下さい!
「階差数列」がある問題集の紹介
「中学入試 塾技100(算数)」は全100単元の受験算数を網羅した参考書です。塾のテキストに匹敵する充実度なので塾なし受験の方に特にオススメです。

中学受験でお悩みの方へ

そうちゃ
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最後まで読んでいただきありがとうございました♪この記事があなたの役に立てたなら嬉しいです!

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す。

階差数列の利用法
  1. ある数列(A)の差が等しくなくても…
  2. 差を並べた階差数列(B)が
    等差数列になっていれば
  3. もとの数列AのN番目の数を
    階差数列Bを使って表現できる
  4. ある数のAでの位置(番目(N))
    は地道に調べるしかない

分かりましたね。類題で練習

数列

この記事のまとめ

階差数列」の公式
差が等差数列(B)になる数列AN番目
=Aのはじめの数+Bの(N-1)番目までの

(例:A④=A①(1)+B①~B③(1+4+7=12)=13
*BではなくB③までなのがポイント!

平行数

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