小学生】等差数列の応用問題！並行する数列(２)分数の数列【中学受験

先程の表を使って10番目の分子(上段)を計算すると、等差数列のN番目の数の公式「N番目の数=はじめの数+公差×(N-1)」を使って 2+{3×(10-1)}＝29です。

同様に10番目の分母(下段)を計算すると、3+{4×(10-1)}＝39なので…

10番目の分数は2939です。2939

分子を使って解いてみます。分子が62なので、表の上の段の何番目が62になるか(N)を求めます。

等差数列の「N」を求める公式「N={(N番目の数-はじめの数)÷公差}+1」 を使うと、?={(62-2)÷3}+1=21 です。

6283は21番目です。21番目

まず分母が67になるのが何番目か(N)を求めます

公式「N={(N番目の数-はじめの数)÷公差}+1」を使って、N={(67-3)÷4}+1=17番目です。

次に分子の17番目(表の◯)を、等差数列のN番目を求める公式で求めると、◯=2+{3×(17-1)}=50です。

以上より「ある分数」は5067で、◯は50です。50

この問題の場合は、一番目の差が1、二番目の差が2…と広がっていくので…差が33になるのは33番目と直感で分かります。33番目

ただ…他の問題にも対応できるようにしたいので、こういう問題は「旅人算」のつもりで観察するとおぼえておきましょう。

この問題の場合は、最初の分子と分母の差は1で、分子が3ずつ分母が4ずつ増えていくので、差は4-3=1 ずつ、どんどん開いていきます。

この差が33になるのは、あと32差がつかないといけないので、32÷(4-3)=32番後で、1番目の32番後なので、1+32=33番目 と計算します。

番目と番後について詳しく知りたい人は参考記事「番号付き植木算」を見て下さい。

とりあえず、先程と同じように分子と分母を2列の表にしてみます。

分子を見ると「5,7,3,11,13…」となっていて、3と5の周辺が等差になりません！3が9，5が15だったら良いのに…
(>_<)

分母も4と7の周辺が等差になりません！4が12、7が21だったら良いのに…
(>_<)

ところが、よく見ると…分子も分母も両方とも、3番目と6番目がおかしいですね。
Σ(ﾟ◇ﾟ;)!!

「約分してあったんだ！」と気付きます

34を912に、57を1521に直すと、表はこうなります。

これで、答えられますね。

分子:はじめの数5,公差2の等差数列

分母:はじめの数6,公差3の等差数列

12番目の分子(上段)を計算すると 5+{2×(12-1)}＝27で、12番目の分母(下段)を計算すると、6+{3×(12-1)}＝39 になります。

以上より、12番目の数は2739ですが約分をして913と答えないといけません。913

分子が35なので表の上の段の何番目が35になるか(N)を求めたくなります。しかし、この問題では約分があるので…「35」が約分した数字で,元々は35×3＝105 であった可能性があるのです。

すなわち、２つの場合が考えられるということです。

●場合その1(35は約分していない数字)

●場合その2(35は約分した結果)

このように２つの場合があって、しかもどちらの場合が正しいのかパッと分からない時は、易しい方から確かめていきましょう。

今回は「35」は約分していない数字だとして、つまり場合1として計算します。

すると…N={(35-5)÷2}+1=16　です。

次に、分母の16番目が約分せずに51になるか確認をします。 6+{3×(16-1)}＝51 になりました(ホッ)

これで、自信を持って3551は16番目と答えられますね。16番目

分子が27なので、小問3と同様にとりあえず「27」は約分していない数字だとして計算すると N={(27-5)÷2}+1=12 です。次に、分母の12番目が40になるか、確認すると…6+{3×(12-1)}＝39 ってアレ？
40になりません(泣)

つまり、分子の「27」は約分した数字で分子の元々の数字は27×3＝「81」だったんですね

気を取り直して…分子が81になるのは何番目か計算すると N={(81-5)÷2}+1=39 です。

次に、分母の39番目が40×3＝「120」になるか確認すると…6+{3×(39-1)}＝120　良かった。OKです。

これで自信を持って2740(約分する前は81120)は39番目といえますね。39番目