中学受験】植木算の公式っていくつあるの？主な公式をまとめました

「植木算の公式を復習したい、暗記したい」という中学受験生の方、おまかせ下さい♪東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすくまとめました。

「植木算の公式」では解けない?

さて、下のような式が、いろいろな場所で「植木算の公式」として紹介されています。

目につくのは「足し算と引き算しか無い」ことですね。これで本当に植木算の問題が解けるでしょうか？

実際に問題を解く時には「木の数」だけでなく「間かく」や「道の長さ」を使った「間の数」の計算(区切りの処理)のためにかけ算やわり算をしないといけません。

つまり、上のような「(狭い意味での)植木算の公式」だけでは問題は解けないのです！

「間の公式」

植木算を解く場合はかけ算わり算が入った「間の数」の公式も一緒に使わないといけません。

この「間の公式」と上で出てきた「(狭い意味での)植木算」を組み合わせたのが「(広い意味での)植木算の公式」になります

間の公式とセットで覚える

つまり「植木算」を解く際には「間の公式(かけ算・割り算)」と「木と間の公式(足し算・引き算)」の２つセットで使わないといけないのです。

これは珍しいことで、多くの分野はもっと単純に1つのグループ内の３つの語句・公式で答えが出ます。

例えば面積の計算は「たて」「よこ」「面積」という３つの語句・公式で答えが出せますし

速さの計算も「道のり」「速さ」「時間」を求める３つの語句・公式で答えが出せます。

2つの公式体系を使わないと解けない植木算を難しいと感じる生徒さんが多いのは、実は当たり前のことなのです。

それでは、問題のパターン別に植木算の公式を見ていきましょう

公式+図で解答力アップ

公式を覚えていたとしても、解答中に迷うことがあります。そういう時は悩まずに図を描いたほうが早く解けることが多いです。

こんな感じです。ここでは分かりやすいように色をつけていますが、実際はモノクロで書きます。

公式に使った4つの語句「木の数」「間の数」「道のり」「間隔」が入っているのに注目して下さい。

また途中を省略するのも図のコツです(100本の木は図に書けませんｗ)

パターン別の公式

問題文のパターン別に公式にしてみました。図を書いてパターンが分かる生徒さんの場合は「暗記」しなくても大丈夫かもしれません。

A:直線上で、両端にも植える場合

真っ直ぐな道の始めと終わりにも木を植える場合です。(両「端」です。両「側」ではありません)

木の数=間の数+1、または間の数=木の数-1 になります。暗記したい場合は「木の数が1つ多い」と覚えます。

公式全体は間の数とセットになります。

問題1

100mの道の端から端まで4m間隔で木を植えると木は全部で何本か

(解き方)
問題を読みながら、与えられた情報を公式の中に思い浮かべます。与えられているのは「道のり」と「間隔」で両方とも公式体系の左側(間の公式)にありますので、自然と間の数＝100÷4＝25個と出せます。

聞かれているのは(直線上)(両端に植える場合)の「木の数」なので、先程出した25を右に送って、木の数＝間の数＋1＝25＋1で26本と分かります。

問題2

４mおきに９本の旗を立てると端から端まで何ｍになるか？

(解き方)
与えられた情報を思い浮かべると、最初は「間隔」で左、次は「木(旗)」で右で、聞かれているのは「道のり」で左です。左→右→左で横断歩道渡る前の確認みたいですねｗこれが混乱している状態です。

では、どうすれば良かったかというと、「木」を見た時に「間」を9－1=8と出して、すぐに左に送ってしまえば…

自動的に左側で8×4＝32mと「道のり」が出せて、聞かれていることにも答えていた、で終わりです。

この問題は2つの経路が合流する形で少し複雑になっていました。

このように、「木の数」はすぐ「間の数」に直して左側に送り、主要な計算は左半分「間の公式」で行うのが解き方のコツになります。

問題

48mの道の端から端までに9本の旗を立てると、間隔は何mになるか

(解き方)
問題文で与えられている情報は「道のり」48mと「木」9本で左右両側に別れています…
慌てず騒がず、「木」の数を「間の数」8にして左に送ります。
左側で道のり÷間の数=間隔を計算して48÷8＝6mになります。

B:直線上で両端には植えない場合

木の数=間の数=1、間の数＝木の数-1 です。暗記したい場合は「木の数が一本少ない」と覚えます。

公式全体は間の数とセットになります。

問題4

160ｍの道に9本の木を植えるが、両端には記念塔を建てる。木を何ｍおきに植えれば良いか？

(解き方)
与えられた情報は道のり160ｍと木の数9本で左右両側に別れていますが、

慌てず騒がず右側の(両端に植えない場合)の 間の数＝木の数+1より間の数を10個と出して左側に送ります
左側で間隔の公式を使って160÷10＝16ｍおきと分かります。

C:直線上で片方の端にしか植えない場合

この場合は、木の数=間の数 になります。暗記した場合は「木と間の数は同じ」と覚えます。

「片方の端に植える」とは書いておらず、問題文の条件から「片方の端にしか植えない」と読み取るのが普通です。

公式全体は間の数とセットになります。

(例)
50m競争のコースに5mおきに旗を立てるが、ゴールには立てない。旗は全部で何本必要か？
→間の数=50÷5=10個。木(旗)の数=間の数なので10本。

D:直線の「両側」に植える場合

問題に「道の両側に植える」と書いてあることがあります。何も書いていない場合は「道の片側に植える」のですが、わざわざ書いてはいなかったのですね。

両側に植えると片側に植える場合の2倍になるので、まずは「両端に植える」「植えない」「片端」のどれかを判断して計算し、さらに2倍すれば答えが出ます。

(例)200mの道の「両側」に5mおきに旗を立てる。スタート地点とゴール地点には旗では無くゲートを立てる時、旗は全部で何本必要か？
→200÷5で間の数は40個。「両端に植えない」パターンなので木(旗)の数=間の数-1=39本。さらに「両側」に立てるので39×2=78本

E:円周上に植える場合

円周上に植える場合は、右側(木と間の公式)の下半分の公式を使うので、木の数=間の数　となります。

公式全体は間の数とのセットになります。

問題1

池の周りを一周する60mの道に4mおきに木を植える時、木は何本必要か？

与えられた情報は道のり60m、間隔4mで両方共左側にあります。左側で間の数が60÷4＝15個と出ます。

それを右側の(円周に植える)に移して、木の数＝間の数で15本です。

問題2

池の周りに3ｍおきに木を植えていったら、ちょうど30本になった。道の長さは何ｍか？

(解き方)
与えられた情報は間隔3mと木の数30本で左右に別れていますが
慌てず騒がず間の数＝木の数で、間の数30を出して、左に移します。

左側で道のりの公式を使って3×30＝90ｍです。

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