素因数分解と最小公倍数・最大公約数の求め方【小学生も中学生も】2つの数のすだれ算【中学受験】

「最大公約数や最小公倍数を『書き出し』ではなく計算で求めたいな～」という小学５・6年生の方、お任せ下さい！

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「すだれ算」を使った最大公約数・最小公倍数の出し方と「すだれ算」を使った問題の解き方まで分かりやすく説明します。

読み終わった頃には「すだれ算」が得意になっているかも？！

「すだれ算がよく分からない」というあなたは、「素因数分解とすだれ算」を見ることをオススメします。

素因数分解と
公倍数・公約数

こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

前の記事「公約数の意味と書き出し」で、「素因数分解を使ってもっと簡単に公倍数・公約数を出す」とお伝えしました。今回はその方法を紹介します。

が、その前に…

素因数分解と公倍数・公約数がどのような関係かイメージを理解しておきましょう。

前回お伝えしたとおり公倍数は「最小公倍数の倍数」で、公約数は「最大公約数の約数」ですから、

公倍数・公約数の問題を解く時は、ある２つの数の最小公倍数と最大公約数を求めることが最も重要です。

前回使った12と18を例に出します(最小公倍数は36で最大公約数は6でした)

12と18を素因数分解すると
12=2×2×3
18=2×3×3
ですね。

ここで、素数ごとにケタを揃えて見やすくします。

最大公約数6は、12と18が共通して持っている素数、「2」1個と「3」1個の掛け算になっていますね。

一方、最小公倍数36は12と18が持っている素数全種類、「2」２個と「3」２個のかけ算になっています

このように
最小公倍数は2つの数が持つ全部の素数のかけ算
最大公約数は2つの数が共通して持つ素数のかけ算
とイメージしておきましょう

この例を色々作るだけで、楽しい授業ができそうですね♪

次は、今の考えを使って実際の問題を解いてみます

すだれ算で
最大公約数と最小公倍数を求める

では、イメージができたところで「二数のすだれ算」を実際にやってみます。

やり方を理解♪

1-1:(タイトル)

すだれ算で、12と18の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

まず、すだれ算の形に12と18を横に並べて書いて12と18を両方とも割り切れるできるだけ小さい素数を考えると…２なので、両方を2で割った答え6と9を下に書きます。

すだれ算(1)

2

12

18

6

9

小さな素数(2)で割る

次は、6と9を両方共割り切れる一番小さな素数を考えると3なので、6と9を3で割り、答え2と3を下に書きます。
2と3は両方とも素数でもう割れませんから、ここで終了です！

すだれ算(2)

2

12

18

3

6

9

2

3

さらに素数(3)で割って終了

出来上がった図の左に「2」「3」が縦に並んでいます。この2数は12と18が共通して持っていた約数で、その積2×3＝6が最大公約数です。

すだれ算(3)

2

12

18

3

6

9

2

3

最大公約数2×3=6
最小公倍数2×3×2×3=36

また、また、下に並んだ「2」「3」も合わせた積2×3×2×3=36が最小公倍数です

最大公約数:6,最小公倍数:36

まとめると、こうなりますね

以上が、すだれ算を使った最大公約数・最小公倍数の求め方になります。

分かりましたよね？

では、さっそく練習してみましょう！

練習して定着

類題1-1

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まず18と27両方を割れる最小の素数3で割ります

↓
次に6と9両方を割れる最小の素数3で割ります

2と3はともに素数なので完了です。
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これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

答: 最大公約数9,最小公倍数54

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類題1-2

[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

まず60と90両方を割れる最小の素数2で割ります

↓
次に30と45両方を割れる最小の素数3で割ります

↓
さらに10と15両方を割れる最小の素数5で割ります

2と3はともに素数なので完了です。

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これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解説と解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

答: 最大公約数30,最小公倍数180

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類題1-2

[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

まず、420と700両方を割れる最小の素数2で割ります

↓
次に、210と350両方を割れる最小の素数2で割ります

↓
続いて、105と175両方を割れる最小の素数5で割ります

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これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

答: 最大公約数140,最小公倍数2100

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すだれ算を使った問題

すだれ算の形を使った応用問題を解いてみます。

1-1:すだれ算の応用問題

最大公約数が3で最小公倍数が84である2つ数を求めよ。ただし2つの数は共に2ケタの数である。

この問題を解くために準備が必要です。それが「簡略化されたすだれ算」です。

「簡略化した」すだれ算

例えば、12と18の場合はすだれ算はこうなります(左の数字は普通2と3が縦に並ぶのですが、分かりやすいように6で一発で割ってしまいます。

ここに現れている数の関係を公式風にすると、こうなります。

*aとbはすだれ算の最下段なので公約数は1だけです。このような2つの数を「互いに素(たがいにそ)」と呼びます。

以上の図と知識を使って問題を解きます。

解法を理解

1-1:サブタイトル

最大公約数が3で最小公倍数が84である2つ数を求めよ。ただし2つの数は共に2ケタの数である。

(図解)

すだれ算利用図を書くと、こうなります。AとBを聞かれていますが、aとbを出すのがこの問題のポイントです。

利用図を書く:

3)A B

a b

最大公約数=3
最小公倍数84=3×a×b

3×a×b=84 から、a×b=28 と分かります。かけて28になる2数の組み合わせは、(1,28)と(2,14)そして(4,7)の3通りしかないので、(a,b)はこのどれかです。

このうち、(2,14)は「互いに素」でない(共に2で割れる)ので不適当です。
さらに(1・28)をすだれ算に入れてみると

a=1,b=28の場合:

3)3 84

1 28

最小公倍数84=3×1×28
A=3×1=3、B=3×28=84

Aが1ケタになってしまう

Aは3×1で3になり、問題文の「2ケタ」に反してしまうのでやはり不適当です。

結局(4,7)の組み合わせのみが残り、これですだれ算を作ると、

a=4,b=7の場合:

3)12 21

4 　7

最小公倍数84=3×4×7
A=3×4=12、B=3×7=21

AもBも2ケタになります♪

12と21が答えと分かります。

12,21

確認テスト
(2021.7.29作成中)

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