中学受験】素因数分解/すだれ算/連除法(はしご算)で最小公倍数/最大公約数を求める方法

「最大公約数や最小公倍数を『書き出し』ではなく計算で求めたいな~」という小学5・6年生の方、お任せ下さい!

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「はしご算(連除法)」を使った最大公約数・最小公倍数の出し方から問題の解き方まで分かりやすく説明します。

読み終わった頃には「はしご算(連除法)」が得意になっているかも?!

「すだれ算がよく分からない」というあなたは、「素因数分解とすだれ算」を見ることをオススメします。

素因数分解と
公倍数・公約数

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

前の記事「公約数の意味と書き出し」で、「素因数分解を使ってもっと簡単に公倍数・公約数を出す」とお伝えしました。今回はその方法を紹介します。

が、その前に…

素因数分解と公倍数・公約数がどのような関係かイメージを理解しておきましょう。

前回お伝えしたとおり公倍数は「最小公倍数の倍数」で、公約数は「最大公約数の約数」ですから、

公倍数・公約数の問題を解く時は、ある2つの数の最小公倍数と最大公約数を求めることが最も重要です。

前回使った12と18を例に出します(最小公倍数は36で最大公約数は6でした)

12と18を素因数分解すると
12=2×2×3
18=2×3×3
ですね。

ここで、素数ごとにケタを揃えて見やすくします。

図1:12と18

12=2×2×3
18=2    ×3×3

素因数分解したところ

最大公約数6は、12と18が共通して持っている素数、「2」1個と「3」1個の掛け算になっていますね。

図2:最大公約数

12=2×2×3
18=2   ×3×3
☆  2    ×3  =6(最大公約数)

共通する素数のかけ算になっている

一方、最小公倍数36は12と18が持っている素数全種類、「2」2個と「3」2個のかけ算になっています

図3:最小公倍数

12=2×2×3
18=2   ×3×3
☆  2×2×3×3 =36(最小公倍数)

素数全種類のかけ算になっている

このように
最小公倍数は2つの数が持つ全部の素数のかけ算
最大公約数は2つの数が共通して持つ素数のかけ算
とイメージしておきましょう

ジュースに例えると…Aがオレンジ🍊とリンゴ🍎のミックスジュース
Bがオレンジ🍊とパイン🍍のミックスジュース
だとすると…
最大公約数はオレンジ🍊ジュース
最小公倍数はオレンジ🍊とリンゴ🍎とパイン🍍のミックスジュース
という感じでしょうか
(^_^;)

この例を色々作るだけで、楽しい授業ができそうですね♪

次は、今の考えを使って実際の問題を解いてみます

はしご算で
最大公約数と最小公倍数を求める

では、イメージができたところで「はしご算(二数のすだれ算)」を実際にやってみます。

やり方を理解♪

1-1:2数のはしご算

はしご算で、12と18の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。
解説

まず、すだれ算の形に12と18を横に並べて書き、12と18を両方とも割り切れるできるだけ小さい素数を考えると…2なので、両方を2で割った答え6と9を下に書きます。

12と18のはしご算(1)
2
12
18
6
9
小さな素数(2)で割る

このような形を「はしご算」とか「連除法」と言います。

次は、6と9を両方共割り切れる一番小さな素数を考えると3なので、6と9を3で割り、答え2と3を下に書きます。
2と3は両方とも素数でもう割れませんから、ここで終了です!

12と18のはしご算(2)
2
12
18
3
6
9
2
3
さらに素数(3)で割って終了

出来上がった図の左に「2」「3」が縦に並んでいます。この2数は12と18が共通して持っていた約数で、その積2×3=6が最大公約数です。

12と18のはしご算(3)
2
12
18
3
6
9
2
3
最大公約数:2×3=6
最小公倍数:
2×3×2×3=36

また、また、下に並んだ「2」「3」も合わせた積2×3×2×3=36が最小公倍数です

最大公約数:6,最小公倍数:36

まとめると、こうなりますね

すだれ算を使った最大公約数と最小公倍数の求め方
左の積が最大公約数で、
左と下の積が最小公倍数です。

以上が、はしご算(連除法:2数のすだれ算)を使った最大公約数・最小公倍数の求め方になります。

分かりましたね?では、さっそく練習してみましょう!

練習して定着

1-1:2数のはしご算

すだれ算で、以下の2数の最大公約数・最小公倍数を求めなさい
18と27の最大公約数・最小公倍数
解説

まず18と27両方を割れる最小の素数3で割ります

18と27のはしご算(1)
3
18
27
6
9
素数(3)で18と27を割る

次に6と9両方を割れる最小の素数3で割ります

18と27のはしご算(2)
3
18
27
3
6
9
2
3
さらに素数(3)で6と9を割る

2と3はともに素数なので完了です。

18と27のはしご算(3)
3
18
27
3
6
9
2
3
最大公約数:3×3=9
最小公倍数:
3×3×2×3=54
最大公約数:9,最小公倍数:54
60と90の最大公約数・最小公倍数
解説

まず60と90両方を割れる最小の素数2で、次に30と45両方を割れる最小の素数3で、さらに10と15両方を割れる最小の素数5で割ります

60と90のはしご算(1)
2
60
90
3
30
45
5
10
15
2
3

2と3はともに素数なので完了です。

60と90のはしご算(2)
2
60
90
3
30
45
5
10
15
2
3
最大公約数:2×5=30
最小公倍数:
2×5×2×3=180
最大公約数:30,最小公倍数:180
420と720の最大公約数・最小公倍数
解説

まず、420と700両方を割れる最小の素数2から始めて、どんどん割っていきます。

420と700のはしご算(1)
2
420
700
2
210
350
5
105
175
7
21
35
3
5

3と5はともに素数なので完了です。

420と700のはしご算(2)
2
420
700
2
210
350
5
105
175
7
21
35
3
5
最大公約数:2×2×5×7=140
最小公倍数:
2×2×5×7×3×5=2100
最大公約数:140,最小公倍数:2100

これではしご算の方法は分かったので、次は応用問題に挑戦です

はしご算を使った問題

はしご算の形を使った応用問題を解いてみます。

こんな問題です

1-1:はしご算の応用問題

最大公約数が3で最小公倍数が84である2つ数を求めよ。ただし2つの数は共に2ケタの数である。

この問題を解くために準備が必要です。それが「簡略化されたはしご算」です。

「簡略化した」はしご算

例えば12と18の場合、左端には2と3が縦に並ぶのが基本ですが、分かりやすいように6で一発で割ってしまいます。

簡略化したはしご算
最大公約数→6)12 18

2  3
最小公倍数は6×2×3=36

ここに現れている数の関係を公式風にすると、こうなります。

はしご算利用の準備図:
X)A B

a b

(aとbは互いに素*)
最大公約数=X
最小公倍数Y=X×a×b
A=X×aB=X×b

*aとbは、はしご算の最下段なので公約数は1だけです。このような2つの数を「互いに素(たがいにそ)」と呼びます。

以上の図と知識を使って問題を解きます。

解法を理解

1-1:はしご算の利用問題

最大公約数が3で最小公倍数が84である2つ数を求めよ。ただし2つの数は共に2ケタの数である。
図解

はしご算利用図を書くと、こうなります。AとBを聞かれていますが、abを出すのがこの問題のポイントです。

利用図を書く:
3)A B

a b

最大公約数=3
最小公倍数84=3×a×b

3×a×b=84 から、a×b=28 と分かります。かけて28になる2数の組み合わせは、(1,28)と(2,14)そして(4,7)の3通りしかないので、(a,b)はこのどれかです。

このうち、(2,14)は「互いに素」でない(共に2で割れる)ので不適当です。
さらに(1・28)をはしご算に入れてみると

a=1,b=28の場合:
3)3 84

1 28

最小公倍数84=3×1×28
A=3×1=3B=3×28=84

Aが1ケタになってしまう

Aは3×13になり、問題文の「2ケタ」に反してしまうのでやはり不適当です。

結局(4,7)の組み合わせのみが残り、これではしご算を作ると、

a=4,b=7の場合:
3)12 21

4  7

最小公倍数84=3×4×7
A=3×4=12B=3×7=21

AもBも2ケタになります♪

12と21が答えと分かります♪

12,21

確認テスト
(2021.7.29作成中)

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二数すだれ算(問題)

説明書き
二数すだれ算(解説)

説明書き

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まとめ

この記事のまとめ

「はしご算」での最大公約数と最小公倍数の求め方
すだれ算を使った最大公約数と最小公倍数の求め方
左に(縦に)並んだ数をかけると最大公約数になり
左と下に(横に)並んだ数全部をかけると最小公倍数になる。

爽茶そうちゃ
はしご算は分かりましたか?
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