「最大公約数や最小公倍数を『書き出し』ではなく計算で求めたいな～」という小学５・6年生の方、お任せ下さい！東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「すだれ算」を使った方法を分かりやすく説明します。読み終わった頃には最大公約数・最小公倍数がスラスラ出るようになりますよ！
「すだれ算がよく分からない」というあなたは、「素因数分解とすだれ算」を見ることをオススメします。
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素因数分解と
公倍数・公約数
こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。
前の記事「公約数の意味と書き出し」で、「素因数分解を使ってもっと簡単に公倍数・公約数を出す」とお伝えしました。今回はその方法を紹介します。
が、その前に…
素因数分解と公倍数・公約数がどのような関係かイメージを理解しておきましょう。
前回お伝えしたとおり公倍数は「最小公倍数の倍数」で、公約数は「最大公約数の約数」ですから、
公倍数・公約数の問題を解く時は、ある２つの数の最小公倍数と最大公約数を求めることが最も重要です。
前回使った12と18を例に出します(最小公倍数は36で最大公約数は6でした)
12と18を素因数分解すると
[su_spoiler title=”解説と解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
12=2×2×3
18=2×3×3
ですね。
[/su_spoiler]
ここで、素数ごとにケタを揃えて見やすくします。
18=2 ×3×3
最大公約数6は、12と18が共通して持っている素数、「2」1個と「3」1個の掛け算になっていますね。
12=2×2×3
18=2 ×3×3
☆ 2 ×3 =6(最大公約数)
一方、最小公倍数36は12と18が持っている素数全種類、「2」２個と「3」２個のかけ算になっています
18=2 ×3×3
☆ 2×2×3×3 =36(最小公倍数)
このように
最小公倍数は2つの数が持つ全部の素数のかけ算
最大公約数は2つの数が共通して持つ素数のかけ算
とイメージしておきましょう
Bがオレンジ🍊とパイン🍍のミックスジュース
だとすると…
最大公約数はオレンジ🍊ジュース
最小公倍数はオレンジ🍊とリンゴ🍎とパイン🍍のミックスジュース
という感じでしょうか
(^_^;)
この例を色々作るだけで、楽しい授業ができそうですね♪
次は、今の考えを使って実際の問題を解いてみます
すだれ算で
最大公約数と最小公倍数を求める
では、イメージができたところで「二数のすだれ算」を実際にやってみます。
やり方を理解
例題1
まず、12と18を並べて書き…
↓
12と18を両方とも割り切れるできるだけ小さい素数を考えます。…２ですね。
12と18を2で割り、答えを下に書きます。
[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]
6 9
[/su_spoiler]
↓
次は、6と9を両方共割り切れる一番小さな素数を考えます…3ですね
6と9を3で割り、答えを下に書きます
[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]
3) 6 9
2 3
2と3は両方共素数で、もう割れませんから、ここで終了です！
[/su_spoiler]
出来上がった図の左に、「2」「3」が縦に並んでいます。
この2数は12と18が共通して持っていた約数で、その積2×3＝6が最大公約数になりましたね
3) 6 9
2 3
(最大公約数)
2×3＝6
12=2×2×3
18=2 ×3×3
☆ 2 ×3 =6(最大公約数)
また、下に並んだ「2」「3」も合わせた積
2×2×3×3=36が最小公倍数になります
3) 6 9
2 3
(最小公倍数)
2×2×3×3＝36
12=2×2×3
18=2 ×3×3
☆ 2×2×3×3 =36(最小公倍数)
答: 最大公約数6,最小公倍数36
まとめると、こうなりますね
左の積が最大公約数で、左と下の積が最小公倍数です。
以上が、すだれ算を使った最大公約数・最小公倍数の求め方になります。分かりましたよね？
では、さっそく練習してみましょう！
練習して定着
類題1-1
[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
まず18と27両方を割れる最小の素数3で割ります
6 9
↓
次に6と9両方を割れる最小の素数3で割ります
3) 6 9
2 3
2と3はともに素数なので完了です。
[/su_spoiler]
これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]
答: 最大公約数9,最小公倍数54
[/su_spoiler]
類題1-2
[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
まず60と90両方を割れる最小の素数2で割ります
30 45
↓
次に30と45両方を割れる最小の素数3で割ります
3)30 45
10 15
↓
さらに10と15両方を割れる最小の素数5で割ります
3)30 45
5)10 15
2 3
2と3はともに素数なので完了です。
[/su_spoiler]
これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解説と解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]
答: 最大公約数30,最小公倍数180
[/su_spoiler]
類題1-2
[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
まず、420と700両方を割れる最小の素数2で割ります
210 350
↓
次に、210と350両方を割れる最小の素数2で割ります
2)210 350
105 175
↓
続いて、105と175両方を割れる最小の素数5で割ります
2)210 350
5)105 175
21 35
↓
さらに、21と35両方を割れる最小の素数7で割ります
2)210 350
5)105 175
7) 21 35
3 5
3と5はともに素数なので完了です。
[/su_spoiler]
これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]
答: 最大公約数140,最小公倍数2100
[/su_spoiler]
これで練習は終了です。お疲れ様でした!
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まとめ
「すだれ算」での最大公約数と最小公倍数の求め方
左に(縦に)並んだ数をかけると最大公約数になり
左と下に(横に)並んだ数全部をかけると最小公倍数になる。
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