「最大公約数や最小公倍数を『書き出し』ではなく計算で求めたいな～」という小学５・6年生の方、お任せ下さい！
東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「すだれ算」を使った最大公約数・最小公倍数の出し方と「すだれ算」を使った問題の解き方まで分かりやすく説明します。
読み終わった頃には「すだれ算」が得意になっているかも？！
「すだれ算がよく分からない」というあなたは、「素因数分解とすだれ算」を見ることをオススメします。
素因数分解と
公倍数・公約数
こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。
前の記事「公約数の意味と書き出し」で、「素因数分解を使ってもっと簡単に公倍数・公約数を出す」とお伝えしました。今回はその方法を紹介します。
が、その前に…
素因数分解と公倍数・公約数がどのような関係かイメージを理解しておきましょう。
前回お伝えしたとおり公倍数は「最小公倍数の倍数」で、公約数は「最大公約数の約数」ですから、
公倍数・公約数の問題を解く時は、ある２つの数の最小公倍数と最大公約数を求めることが最も重要です。
前回使った12と18を例に出します(最小公倍数は36で最大公約数は6でした)
12と18を素因数分解すると
12=2×2×3
18=2×3×3
ですね。
ここで、素数ごとにケタを揃えて見やすくします。
12=2×2×3
18=2 ×3×3
最大公約数6は、12と18が共通して持っている素数、「2」1個と「3」1個の掛け算になっていますね。
12=2×2×3
18=2 ×3×3
☆ 2 ×3 =6(最大公約数)
一方、最小公倍数36は12と18が持っている素数全種類、「2」２個と「3」２個のかけ算になっています
12=2×2×3
18=2 ×3×3
☆ 2×2×3×3 =36(最小公倍数)
このように
最小公倍数は2つの数が持つ全部の素数のかけ算
最大公約数は2つの数が共通して持つ素数のかけ算
とイメージしておきましょう
Bがオレンジ🍊とパイン🍍のミックスジュース
だとすると…
最大公約数はオレンジ🍊ジュース
最小公倍数はオレンジ🍊とリンゴ🍎とパイン🍍のミックスジュース
という感じでしょうか
(^_^;)
この例を色々作るだけで、楽しい授業ができそうですね♪
次は、今の考えを使って実際の問題を解いてみます
すだれ算で
最大公約数と最小公倍数を求める
では、イメージができたところで「二数のすだれ算」を実際にやってみます。
やり方を理解♪
まず、すだれ算の形に12と18を横に並べて書いて12と18を両方とも割り切れるできるだけ小さい素数を考えると…２なので、両方を2で割った答え6と9を下に書きます。
次は、6と9を両方共割り切れる一番小さな素数を考えると3なので、6と9を3で割り、答え2と3を下に書きます。
2と3は両方とも素数でもう割れませんから、ここで終了です！
出来上がった図の左に「2」「3」が縦に並んでいます。この2数は12と18が共通して持っていた約数で、その積2×3＝6が最大公約数です。
最小公倍数2×3×2×3=36
また、また、下に並んだ「2」「3」も合わせた積2×3×2×3=36が最小公倍数です
まとめると、こうなりますね
左の積が最大公約数で、左と下の積が最小公倍数です。
以上が、すだれ算を使った最大公約数・最小公倍数の求め方になります。
分かりましたよね？
では、さっそく練習してみましょう！
練習して定着
類題1-1
[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
まず18と27両方を割れる最小の素数3で割ります
6 9
↓
次に6と9両方を割れる最小の素数3で割ります
3) 6 9
2 3
2と3はともに素数なので完了です。
[/su_spoiler]
これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]
答: 最大公約数9,最小公倍数54
[/su_spoiler]
類題1-2
[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
まず60と90両方を割れる最小の素数2で割ります
30 45
↓
次に30と45両方を割れる最小の素数3で割ります
3)30 45
10 15
↓
さらに10と15両方を割れる最小の素数5で割ります
3)30 45
5)10 15
2 3
2と3はともに素数なので完了です。
[/su_spoiler]
これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解説と解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]
答: 最大公約数30,最小公倍数180
[/su_spoiler]
類題1-2
[su_spoiler title=”すだれ算を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]
まず、420と700両方を割れる最小の素数2で割ります
210 350
↓
次に、210と350両方を割れる最小の素数2で割ります
2)210 350
105 175
↓
続いて、105と175両方を割れる最小の素数5で割ります
2)210 350
5)105 175
21 35
↓
さらに、21と35両方を割れる最小の素数7で割ります
2)210 350
5)105 175
7) 21 35
3 5
3と5はともに素数なので完了です。
[/su_spoiler]
これで答えは分かりますね
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]
答: 最大公約数140,最小公倍数2100
[/su_spoiler]
すだれ算を使った問題
すだれ算の形を使った応用問題を解いてみます。
1-1:すだれ算の応用問題
最大公約数が3で最小公倍数が84である2つ数を求めよ。ただし2つの数は共に2ケタの数である。
この問題を解くために準備が必要です。それが「簡略化されたすだれ算」です。
「簡略化した」すだれ算
例えば、12と18の場合はすだれ算はこうなります(左の数字は普通2と3が縦に並ぶのですが、分かりやすいように6で一発で割ってしまいます。
2 3
最小公倍数は6×2×3=36
ここに現れている数の関係を公式風にすると、こうなります。
a b
(aとbは互いに素*)
最大公約数=X
最小公倍数Y=X×a×b
A=X×a、B=X×b
*aとbはすだれ算の最下段なので公約数は1だけです。このような2つの数を「互いに素(たがいにそ)」と呼びます。
以上の図と知識を使って問題を解きます。
解法を理解
1-1:サブタイトル
図解
すだれ算利用図を書くと、こうなります。AとBを聞かれていますが、aとbを出すのがこの問題のポイントです。
a b
最大公約数=3
最小公倍数84=3×a×b
3×a×b=84 から、a×b=28 と分かります。かけて28になる2数の組み合わせは、(1,28)と(2,14)そして(4,7)の3通りしかないので、(a,b)はこのどれかです。
このうち、(2,14)は「互いに素」でない(共に2で割れる)ので不適当です。
さらに(1・28)をすだれ算に入れてみると
1 28
最小公倍数84=3×1×28
A=3×1=3、B=3×28=84
Aは3×1で3になり、問題文の「2ケタ」に反してしまうのでやはり不適当です。
結局(4,7)の組み合わせのみが残り、これですだれ算を作ると、
4 7
最小公倍数84=3×4×7
A=3×4=12、B=3×7=21
12と21が答えと分かります。
確認テスト
(2021.7.29作成中)
プリントダウンロード
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まとめ
「すだれ算」での最大公約数と最小公倍数の求め方
左に(縦に)並んだ数をかけると最大公約数になり
左と下に(横に)並んだ数全部をかけると最小公倍数になる。
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