中学受験】割り切れる回数・末尾の0の数…素因数分解の応用問題

素因数分解の構成

図解

この問題はAを考えればBが分かります。

まず600を素因数分解すると2×2×2×3×5×5なので、A×600=A×2×2×2×3×5×5 と直せます。素因数が2,3,5の三種類あるのが分かりました。

ところで、B×B×Bのように同じ数を三回かけた数は、素因数分解するとBを作る素因数3つずつのかけ算になります。

よって、さっきの A×600=A×2×2×2×3×5×5 も素因数3つずつのかけ算になるはずです。

すでにある2,3,5を減らすことはできないので、2,3,5を増やして3つずつにした (2×2×2)×(3×3×3)×(5×5×5)=2×2×2×3×3×3×5×5×5 なら良さそうです。

問題の A×600=A×2×2×2×3×5×5と今作った良さげな形「2×2×2×3×3×3×5×5×5」を並べてみましょう。

問題文の形の方が素因数が少なく見えます。数えると「3」が2つと「5」が1つ少ないです。

➀と②は等しいので、足りなく見える「3」が2つと「5」はAに含まれていたのでした。つまりA=3×3×5 ということです。

②を「B×B×B」の形に直すと(2×3×5)×(2×3×5)×(2×3×5)になります。この(2×3×5)=30=Bになります。

補足説明

これで答えは出たのですが、問題文に「最小の」とあるのは何故でしょうか？

実は条件を満たすBというかAはいくらでも作ることが出来るのです。

例えば、A=3×3×5 でしたが、さらに素因数を加えてA=3×3×5×7×7×7とする場合を考えます。

A×600=3×3×5×7×7×7×2×2×2×3×5×5 = 2×2×2×3×3×3×5×5×5×7×7×7」=　という風に3つずつのかけ算になるのでB×B×Bの形にすると(2×3×5×7)×(2×3×5×7)×(2×3×5×7)になり、(2×3×5×7)=210=B もOKになります。

同じ調子で「×7×7×7」だけではなく「×2×2×2」や「×3×3×3」を加えた場合もOKになります。

つまり、素因数を3回かけたものを加えていけばいくらでも答えが作れるのですね。

そこで設問文章に「最小の」という条件が加わっているのです。

割り切れる回数(1)

「1680を2で割っていくと何回割り切れるか」

割り切れる回数(1)

解説

「2で割り切れる回数=素因数分解した時の「2」の個数」です。

1680を素因数分解すると 2×2×2×2×3×5×7 です。

「2」が4つ入っているので、2で4回割り切れます。

割り切れる回数(2)

割り切れる回数(2)

解説

1から75までの整数をすべてかけた 1×2×3×…×74×75 を素因数分解した中に「2&5」のセットがどれくらい入っているか考えます。

かけ算される75個の数の約半分が2の倍数(偶数)であるのに対し5の倍数はそこまで多くないので、素因数分解すると「5」の方が「２」よりも少ないと考えられます。

したがって「2&5」セットの数は少ない「5」の数をかぞえれば分かります(男性100人女性3人のパーティーで成立する男女のカップルは3組です)

まず1から75までの間に5の倍数がいくつあるか計算すると75÷5=15個なので「5」の数は15個と思うかもしれませんが「5」はまだあるのです！

数え方の注意

例えば5の倍数の中でも25,50,75の25の倍数には「5」が2個ずつ含まれていますが、これらは先程は1個ずつしか数えられていません。数え残しが3個あったのです。

この図より「5」は15+3=18個あり「2&5」のセットも18個あるので、10で割り切れる回数も18回と分かりますね。

末尾に並ぶ0の個数A

ヒント

「末尾に0が並ぶ」というのは、百なら「100」なので2個、十万なら「100000」なので5個並んでいるということです。

これは何回10をかけたか、つまり10で何回割り切れるかと同じ意味なので、上で解いた問題と同じく素因数分解したときに「2&10」のセットがいくつできるかということですね。

そして、この問題でも「2」より「5」の数の方が少なそうなので、素因数分解した時の「5」の個数を調べれば良いですね。

解説

1から50までに5の倍数は50÷5＝10個、25(5×5)の倍数は50÷25=2個、125(5×5×5)の倍数はない。

「5」は10+2=12個あり、10で12回割り切れて、末尾に並ぶ0の数も12個と分かりました。

末尾に並ぶ0の数B

解説

2,4,5を1回ずつ使ってできる3ケタの数は「245」「254」「425」「452」「524」「542」の6通り。

これらをかけた数の末尾に並ぶ「0」の数は「2&5」セットの数=「5」の数

6通りの数のうち5の倍数は「245」と「425」なので、この中の「5」の数をカウントすればよい。

素因数分解すると、245=5×7×7、425=5×5×17 で「5」は3個入っている

したがって、末尾に並ぶ「0」は3個と分かる