素因数分解の応用問題を解きたい」という中学受験生の方へ
東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。
記事を読んで真似すれば、素因数の応用問題が苦手ではなくなるでしょう♪
素因数分解(復習)
素因数分解のやり方
「二分解式」と「すだれ算」の2つのやり方があります。
→素数になるまでどんどん分解する方法
60=6×10=2×3×2×5
=2×2×3×5←小さい順に並べ直して完成
約数の個数を素因数分解から求める
詳しくは「(公)約数倍数まとめ」内の「約数の個数」を見て下さい。
素因数分解の構成を考える問題
例えばこんな問題です。
素因数分解の構成
図解
この問題はAを考えればBが分かります。
まず600を素因数分解すると2×2×2×3×5×5なので、A×600=A×2×2×2×3×5×5 と直せます。素因数が2,3,5の三種類あるのが分かりました。
ところで、B×B×Bのように同じ数を三回かけた数は、素因数分解するとBを作る素因数3つずつのかけ算になります。
(例:6×6×6)
6×6×6
=(2×3)×(2×3)×(2×3)
=(2×2×2)×(3×3×3)
よって、さっきの A×600=A×2×2×2×3×5×5 も素因数3つずつのかけ算になるはずです。
すでにある2,3,5を減らすことはできないので、2,3,5を増やして3つずつにした (2×2×2)×(3×3×3)×(5×5×5)=2×2×2×3×3×3×5×5×5 なら良さそうです。
問題の A×600=A×2×2×2×3×5×5と今作った良さげな形「2×2×2×3×3×3×5×5×5」を並べてみましょう。
問題文の形:A×2×2×2×3×5×5
良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5
問題文の形の方が素因数が少なく見えます。数えると「3」が2つと「5」が1つ少ないです。
➀問題文の形:A×2×2×2×3×5×5
②良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5
(➀に無いものを緑にした)
➀と②は等しいので、足りなく見える「3」が2つと「5」はAに含まれていたのでした。つまりA=3×3×5 ということです。
➀問題文の形:A×2×2×2×3×5×5
➀Aを変える:3×3×5×2×2×2×3×5×5
②良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5
②B×B×B形:(2×3×5)×(2×3×5)×(2×3×5)
②を「B×B×B」の形に直すと(2×3×5)×(2×3×5)×(2×3×5)になります。この(2×3×5)=30=Bになります。
補足説明
これで答えは出たのですが、問題文に「最小の」とあるのは何故でしょうか？
実は条件を満たすBというかAはいくらでも作ることが出来るのです。
例えば、A=3×3×5 でしたが、さらに素因数を加えてA=3×3×5×7×7×7とする場合を考えます。
A×600=3×3×5×7×7×7×2×2×2×3×5×5 = 2×2×2×3×3×3×5×5×5×7×7×7」= という風に3つずつのかけ算になるのでB×B×Bの形にすると(2×3×5×7)×(2×3×5×7)×(2×3×5×7)になり、(2×3×5×7)=210=B もOKになります。
同じ調子で「×7×7×7」だけではなく「×2×2×2」や「×3×3×3」を加えた場合もOKになります。
つまり、素因数を3回かけたものを加えていけばいくらでも答えが作れるのですね。
そこで設問文章に「最小の」という条件が加わっているのです。
分かりましたね？では確認テストをどうぞ
確認テスト(2021.2.11作成中)
割り切れる回数を求める
例えばこんな問題です
割り切れる回数(1)
「1680を2で割っていくと何回割り切れるか」
「2で割り切れる数」は2の倍数ですが(→参考記事「倍数の基礎」)割り切れる回数はどうやって決まるのでしょうか？
試しに「6」「7」「8」を2で割ってみると…
「6」6÷2=3(1回目) 3÷2=X(割り切れない)→1回
「7」7÷2=☓(割り切れない)→0回
「8」8÷2=4(1回目) 4÷2=2(2回目) 2÷2=1(3回目) 1÷2=☓(割り切れない)→3回
この「1」「0」「3」という回数がどこから来ているか素因数分解をすると分かります。
| 数 | 素因数分解の結果 | 2で割り切れる回数 |
| 6 | 2×3 | 1 |
| 7 | 7 | 0 |
| 8 | 2×2×2 | 3 |
わかりましたね。素因数分解したときの「2」の個数で決まるのでした！
ある数Nを素数Aで割り切れる回数
=Nを素因数分解した時のAの個数
(例)6,7,8を2で何回割り切れるか
6=2×3 →1回
7(素数) →0回
8=2×2×2 →3回
この考え方で例題を解きます。
割り切れる回数(1)
解説
「2で割り切れる回数=素因数分解した時の「2」の個数」です。
1680を素因数分解すると 2×2×2×2×3×5×7 です。
「2」が4つ入っているので、2で4回割り切れます。
上の問題を少し複雑にしたこんな問題もあります。
割り切れる回数(2)
10は素因数分解すると10=2×5 なので、10で一回割り切れるためには「2」と「5」が両方揃っていないといけません。
したがって10で割り切れる回数は「2&5」セットの個数で決まります。
この考え方で問題を解いてみましょう
割り切れる回数(2)
解説
1から75までの整数をすべてかけた 1×2×3×…×74×75 を素因数分解した中に「2&5」のセットがどれくらい入っているか考えます。
かけ算される75個の数の約半分が2の倍数(偶数)であるのに対し5の倍数はそこまで多くないので、素因数分解すると「5」の方が「２」よりも少ないと考えられます。
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×…
したがって「2&5」セットの数は少ない「5」の数をかぞえれば分かります(男性100人女性3人のパーティーで成立する男女のカップルは3組です)
まず1から75までの間に5の倍数がいくつあるか計算すると75÷5=15個なので「5」の数は15個と思うかもしれませんが「5」はまだあるのです！
数え方の注意
例えば5の倍数の中でも25,50,75の25の倍数には「5」が2個ずつ含まれていますが、これらは先程は1個ずつしか数えられていません。数え残しが3個あったのです。
➀5
5
5
5
5
➀5
5
5
5
➁5
5
⑮5
③5
5が3個(25の倍数の個数)数え残されていた
この図より「5」は15+3=18個あり「2&5」のセットも18個あるので、10で割り切れる回数も18回と分かりますね。
分かりましたか？確認テストをどうぞ
確認テスト
1から175までの整数をすべてかけた数を10で割ると何回割り切れるか
1から175までに5の倍数は35個、25の倍数は7個、125の倍数の倍数は1個あるので、5,25,125の倍数と「5」の個数を図にするとこうなります。
➀5
➄5
➀5
➅5
⑩5
➁5
⑪5
㉔5
㉕5
➄5
➀5
㉞5
㉟5
⑦5
5は25の倍数の個数と同じ7個
5は125の倍数の個数と同じ1個
この図より「5」は35+7+1=43個あり「2&5」のセットも43個あるので、10で割り切れる回数も43回と分かりますね
末尾の0の個数を求める
例えばこんな問題です。
末尾に並ぶ0の個数A
ヒント
「末尾に0が並ぶ」というのは、百なら「100」なので2個、十万なら「100000」なので5個並んでいるということです。
これは何回10をかけたか、つまり10で何回割り切れるかと同じ意味なので、上で解いた問題と同じく素因数分解したときに「2&10」のセットがいくつできるかということですね。
そして、この問題でも「2」より「5」の数の方が少なそうなので、素因数分解した時の「5」の個数を調べれば良いですね。
解説
1から50までに5の倍数は50÷5＝10個、25(5×5)の倍数は50÷25=2個、125(5×5×5)の倍数はない。
➀5
②5
⑤5
➀5
⑨5
⑩5
②5
5は25の倍数の個数と同じ2個
「5」は10+2=12個あり、10で12回割り切れて、末尾に並ぶ0の数も12個と分かりました。
確認テストをどうぞ
(確認テスト作成中)
似た問題として、場合の数と組み合わせたような問題があります。
末尾に並ぶ0の数B
解説
2,4,5を1回ずつ使ってできる3ケタの数は「245」「254」「425」「452」「524」「542」の6通り。
これらをかけた数の末尾に並ぶ「0」の数は「2&5」セットの数=「5」の数
6通りの数のうち5の倍数は「245」と「425」なので、この中の「5」の数をカウントすればよい。
素因数分解すると、245=5×7×7、425=5×5×17 で「5」は3個入っている
5
5
5
×452
×524
5は25の倍数の個数と同じ1個
合計して3個の「5」がある
したがって、末尾に並ぶ「0」は3個と分かる
素因数分解の応用は以上です！
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