[作成中]中学受験】割り切れる回数・末尾の0の数…素因数分解の応用問題

素因数分解の応用問題を解きたい」という中学受験生の方へ

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく説明します。

記事を読んで真似すれば、素因数の応用問題が苦手ではなくなるでしょう♪

 

約数の個数を素因数分解から求める

 

→この先「約数の個数」で解説(解説へジャンプ)

 

素因数分解の構成を考える問題

例えばこんな問題です。

素因数分解の構成

A×600=B×B×B を成り立たせる最小のBを求めなさい
(図解)

この問題はAを考えればBが分かります。

まず600を素因数分解すると2×2×2×3×5×5なので、600=A×2×2×2×3×5×5 と直せます。素因数が2,3,5の三種類あるのが分かりました。

ところで、B×B×Bのように同じ数を三回かけた数は、素因数分解するとBを作る素因数3つずつのかけ算になります。

B×B×Bのような形
(例:6×6×6)

6×6×6
=(2×3)×(2×3)×(2×3)
=(2×2×2)×(3×3×3)

素数3個セットのかけ算になる

よって、さっきの 600=A×2×2×2×3×5×5 も素因数3つずつのかけ算になるはずです。

すでにある2,3,5を減らすことはできないので、2,3,5を増やして3つずつにした (2×2×2)×(3×3×3)×(5×5×5)=2×2×2×3×3×3×5×5×5 なら良さそうです。

問題の 600=A×2×2×2×3×5×5と今作った良さげな形「2×2×2×3×3×3×5×5×5」を並べてみましょう。

並べて比較

問題文の形:2×2×2×3×5×5
良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5

問題文の形は素因数が少ない

問題文の形の方が素因数が少なく見えます。数えると「3」が2つと「5」が1つ少ないです。

並べて比較(➀と②は等しい)

➀問題文の形:A×2×2×2×3×5×5
②良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5

良さげな形の方が素因数が多い
(➀に無いものをにした)

➀と②は等しいので、足りなく見える「3」が2つと「5」はAに含まれていたのでした。つまりA=3×3×5 ということです。

A3×3×5に直してみる

➀問題文の形:A×2×2×2×3×5×5
➀Aを変える:3×3×5×2×2×2×3×5×5
②良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5
②B×B×B形:(2×3×5)×(2×3×5)×(2×3×5)

素因数の種類と数が完全にそろった

②を「B×B×B」の形に直すと(2×3×5)×(2×3×5)×(2×3×5)になります。この(2×3×5)=30=Bになります。

30
(補足説明)

これで答えは出たのですが、問題文に「最小の」とあるのは何故でしょうか?

実は条件を満たすBというかAはいくらでも作ることが出来るのです。

例えば、A=3×3×5 でしたが、さらに素因数を加えてA=3×3×5×7×7×7とする場合を考えます。

A×600=3×3×5×7×7×7×2×2×2×3×5×5 = 2×2×2×3×3×3×5×5×5×7×7×7」= という風に3つずつのかけ算になるのでB×B×Bの形にすると(2×3×5×7)×(2×3×5×7)×(2×3×5×7)になり、(2×3×5×7)=210=B もOKになります。

同じ調子で「×7×7×7」だけではなく「×2×2×2」や「×3×3×3」を加えた場合もOKになります。

つまり、素因数を3回かけたものを加えていけばいくらでも答えが作れるのですね。

そこで設問文章に「最小の」という条件が加わっているのです。

分かりましたね?では確認テストをどうぞ

確認テスト(2021.2.11作成中)

割り切れる回数を求める

例えばこんな問題です

割り切れる回数(1)

「1680を2で割っていくと何回割り切れるか」

「2で割り切れる数」は2の倍数ですが(→参考記事「倍数の基礎」)割り切れる回数はどうやって決まるのでしょうか?

試しに「6」「7」「8」を2で割ってみると…

「6」6÷2=3(1回目) 3÷2=X(割り切れない)→1回
「7」7÷2=☓(割り切れない)→0回
「8」8÷2=4(1回目) 4÷2=2(2回目) 2÷2=1(3回目) 1÷2=☓(割り切れない)→3回

この「1」「0」「3」という回数がどこから来ているか素因数分解をすると分かります。

素因数分解の結果 2で割り切れる回数
6 2×3 1
7 7 0
8 2×2×2 3

わかりましたね。素因数分解したときの「2」の個数で決まるのでした!

素数で割り切れる回数

ある数Nを素数Aで割り切れる回数
=Nを素因数分解した時のAの個数

(例)6,7,8を2で何回割り切れるか
6=2×3 →1回
7(素数) →0回
8=2×2×2 →3回

この考え方で例題を解きます。

割り切れる回数(1)

1680を2で割っていくと何回割り切れるか
(解説)

2で割り切れる回数=素因数分解した時の「2」の個数」です。

1680を素因数分解すると 2×2×2×2×3×5×7 です。

2が4つ入っているので、2で4回割り切れます。

4

上の問題を少し複雑にしたこんな問題もあります。

割り切れる回数(2)

1から75までの整数をすべてかけた数を10で割ると何回割り切れるか

10は素因数分解すると10=2×5 なので、10で一回割り切れるためには「2」と「5」が両方揃っていないといけません。

したがって10で割り切れる回数は「2&5」セットの個数で決まります。

この考え方で問題を解いてみましょう

割り切れる回数(2)

1から75までの整数をすべてかけた数を10で割ると何回割り切れるか
(解説)

1から75までの整数をすべてかけた 1×2×3×…×74×75 を素因数分解した中に「2&5」のセットがどれくらい入っているか考えます。

かけ算される75個の数の約半分が2の倍数(偶数)であるのに対し5の倍数はそこまで多くないので、素因数分解すると「5」の方が「2」よりも少ないと考えられます。

2の倍数5の倍数(10は両方の倍数)

2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×…

最初の12個を考えても「2」の多さが分かる

したがって「2&5」セットの数は少ない「5」の数をかぞえれば分かります(男性100人女性3人のパーティーで成立する男女のカップルは3組です)

まず1から75までの間に5の倍数がいくつあるか計算すると75÷5=15個なので「5」の数は15個と思うかもしれませんが「5」はまだあるのです!

(数え方の注意)

例えば5の倍数の中でも25,50,75の25の倍数には「5」が2個ずつ含まれていますが、これらは先程は1個ずつしか数えられていません。数え残しが3個あったのです。

5の倍数(と25の倍数)
5
➀5
×10
5
×15
5
×20
5
×25
5
➀5
×30
5
…×45
5
×50
5
➁5
×70
5
×75
⑮5
③5
5の数は5の倍数の個数と同じ15個だが
53個(25の倍数の個数)数え残されていた

この図より「5」は15+3=18個あり「2&5」のセットも18個あるので、10で割り切れる回数も18回と分かりますね。

18

分かりましたか?確認テストをどうぞ

確認テスト

1から175までの整数をすべてかけた数を10で割ると何回割り切れるか

1から175までに5の倍数は35個、25の倍数は7個、125の倍数の倍数は1個あるので、5,25,125の倍数と「5」の個数を図にするとこうなります。

5の倍数(と25の倍数と125の倍数)
5
➀5
…×25
➄5
➀5
×30
➅5
…×50
⑩5
➁5
×55
⑪5
…×120
㉔5
×125
㉕5
➄5
➀5
…×170
㉞5
×175
㉟5
⑦5
5は5の倍数の個数と同じ35個
5
は25の倍数の個数と同じ7個
5
は125の倍数の個数と同じ1個

この図より「5」は35+7+1=43個あり「2&5」のセットも43個あるので、10で割り切れる回数も43回と分かりますね

末尾の0の個数を求める

例えばこんな問題です。

末尾に並ぶ0の個数A

A=1×2×3×…×50 の時、Aの末尾に0は何個並ぶか
(考え方)

「末尾に0が並ぶ」というのは、百なら「100」なので2個、十万なら「100000」なので5個並んでいるということです。

これは何回10をかけたか、つまり10で何回割り切れるかと同じ意味なので、上で解いた問題と同じく素因数分解したときに「2&10」のセットがいくつできるかということですね。

そして、この問題でも「2」より「5」の数の方が少なそうなので、素因数分解した時の「5」の個数を調べれば良いですね。

(解説)

1から50までに5の倍数は50÷5=10個、25(5×5)の倍数は50÷25=2個、125(5×5×5)の倍数はない。

5の倍数(と25の倍数と125の倍数)
5
➀5
…×10
②5
…×25
⑤5
➀5
…×45
⑨5
…×50
⑩5
②5
5は5の倍数の個数と同じ10個
5
は25の倍数の個数と同じ2個

「5」は10+2=12個あり、10で12回割り切れて、末尾に並ぶ0の数も12個と分かりました。

12

確認テストをどうぞ

(確認テスト作成中)

似た問題として、場合の数と組み合わせたような問題があります。

末尾に並ぶ0の数B

2,4,5を1回ずつ使ってできる3ケタのすべての整数の積は、一の位から0が何個続いて並ぶか?
解説

2,4,5を1回ずつ使ってできる3ケタの数は「245」「254」「425」「452」「524」「542」の6通り。

これらをかけた数の末尾に並ぶ「0」の数は「2&5」セットの数=「5」の数

6通りの数のうち5の倍数は「245」と「425」なので、この中の「5」の数をカウントすればよい。

素因数分解すると、245=5×7×7、425=5×5×17 で「5」は3個入っている

5の倍数(と25の倍数)
245
5
×254
×425
5
5

×452

×524

×542
5は5の倍数の個数と同じ2個
5
は25の倍数の個数と同じ1個
合計して3個の「5」がある

したがって、末尾に並ぶ「0」は3個と分かる

3

素因数分解の応用は以上です!

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