中学受験】約数と余りの問題 「~『を』割ると余りが出る数」の求め方

「『120割ると8余る数」のように余りで聞かれる問題の解き方が苦手!分からない…」という中学受験生の方へ

確かに、そういう数を想像するのは難しいかもしれません。でも図を書けば答えの出し方を考えることができますよ。そして図の書き方はいつも一緒です。

つまり「余りの問題の図」を一つ覚えれば、たいていの問題は解けるのです。これで、やる気になってきませんか?

この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「余りの問題の図」の書き方・考え方・解き方をまとめました。

読み終わる頃には自信をもって解けるようになりますよ!

解き方を理解

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

以前「~『で』割ると余りが出る数」を学びました。今回は「~割ると…」です。

こういう問題です。

1:~を割ると余る数

「120を割ると8余る数」で一番小さいものを求めたい。以下の問いに答えなさい
「 120を割り切れる数」はどのような数か
解説

過去記事「約数の意味」で出てきましたね。

「Aを割り切れる数」=Aの約数でした。

約数の意味

約数=他の数を割り切れる数

(例)12の約数
→12を割り切れる数(1,2,3,4,6,12)

したがって「120を割り切れる数」=120の約数ですね

120の約数
「120を割ると8余る数」はどのような数か?
解説

「120を割ると8余る数」は、120-8(余り)=112 より「112を割り切れる数」です。

線分図基本講座の「割り余り算の線分図」を思い出して書くと、こうなりますね↓

「120を割ると8余る数」

?がそれです。
(わざとあいまいに書いています)

これを見ると、「120を割ると8余る数」は「112の約数」と言えそうです。
o(・∀・)o

本当にそうなのか確かめましょう!

112の約数をいくつか数え上げると 1,112,2,56…などがあります。

これらの数で120を割ると本当に8余るのか、計算で確かめてましょう

まず、120÷1 を。120÷1=120
(;´Д`)?

アレ……割り切れますね。8余りません。ダメです
(>_<)

気を取り直して…120÷112 は、120÷112=1…8 8余りました!OKです!
(^O^)

次に、120÷2 は、120÷2=60 これも割り切れちゃいますね…ダメです
(+_+)

もう一丁!120÷56 は、120÷56=2…8 8余りました!OKです!
(*^ー゚)b

ちょっと疲れましたねw
(・ω・;)

どうして、ちゃんと112の約数で割っているのに、OKなのとダメなのがあるのでしょうか?

それは、余りは割る数よりも小さくなるから。逆から言うと、割る数は余りよりも大きくないとオカシイからです。

余りと割る数の関係

余りは割る数よりも小さいので
?8より大きくないとオカシイ

この問題では、8余るので、割る数が8より小さいのは(1とか2とか)おかしいのです

これで、「120を割って8余る数」がどういう数か分かりますね

112の約数のうち8より大きいもの

 

結局「120を割ると8余る数」で一番小さい数は何か?
解説

「112の約数のうち8より小さいもの」の中で一番小さいものです

まず、120-8=112の約数を書き出しましょう

112を「A×B」の形に直して書き出すと 1×112,2×56,4×28,7×16,8×14 で、これを小さい順に並べると、1,2,4,7,8,14,16,28,56,112 で、これらが112の約数です。

そして、この中で8より大きいのは…14,16,28,56,112 ですね

その中で一番小さいのが答えなので…答は14ですね♪

14

まとめると、こうなります。

割ると余る数

●Aを割るとB余る数
=(A-B)の約数でBよりも大きいもの

(例)120を割ると8余る数
=(120-8)=112の約数で8よりも大きいもの

以前学習したのは「~『で』割ると余りが出る数」でした。紛らわしいですね…あちらは倍数の問題になります。図を見比べて下さい。

割ると余る数

●Aで割るとB余る数
=「Aの倍数+B」または「Aの倍数-(A-B)

(例)7で割ると3余る数
=7の倍数+3 または 7の倍数-4

割ると余る数

●Aを割るとB余る数
=(A-B)の約数でBよりも大きいもの

(例)120を割ると8余る数
=(120-8)=112の約数で8よりも大きいもの

分かりましたか?

では「~を割ると余る数」の公式を使った問題を解いてみましょう

類題で定着!

1-1:を割ると余る数

80を割って8余る数は何個あるか
(注意)

聞かれているのは「何個」です

解説

先程の考え方を使えば、「80を割って8余る数」はどう表せますか?

80-8=72 なので「72の約数のうち、8より大きいもの」になります。

72の約数をA×B で書き出すと、1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 です

そのうち8より大きいものは、9,12,18,24,36,72 の6個ですね

6

1-2:を割ると余る数

55を割ると10余る数をすべて答なさい。
(注意)

「すべて」です。

(解答)

55-10=45の約数で10より大きいものを求めます。

45の約数は 1,3,5,9,15,45 で

このうち10より大きい15と45が答えになります。

15と45

最後は文章問題です。

1-3:を割ると余る数

121個のチョコを生徒に同じ数ずつ配ったら、16個余りました。
次に70個のアメを同じ数ずつ配ったところ、1つも余らず分けることができました。
生徒の数は何人でしょうか?
ヒント

示されている2つの条件をクリアする数字が答えです。

(解答)

まず、最初の条件「生徒の人数が『121を割ると16余る数』」をクリアする数字を出しましょう。

「121を割ると16余る数」は、121-16=105の約数で16より大きい数です。

105の約数は 1,3,5,7,15,21,35,105 で、このうち余りの16より大きいのが 21,35,105

最初の条件をクリアする数は 21,35,105の3つと分かりました。

次に、
二番目の条件「生徒の人数は『70を割り切れる数』」をクリアする数字を出します。

最初の条件をクリアした3つの数「21」「35」「105」が、70を割り切れるかチェックすると

「21」は 70÷21=3.… 割り切れません
「35」は 70÷35=2! 割り切れました♪
「105」は 70÷105=0.… 割り切れません

というわけで、二つの条件をクリアしたのは「35」だけなので、生徒は35人と分かります。

35

以上で、問題は全て終了です。お疲れ様でした!

次のステップへ

この記事のまとめ

●Aを割るとB余る数
=(A-B)の約数でBよりも大きいもの

(例)120を割ると8余る数
=(120-8)=112の約数で8よりも大きいもの

爽茶そうちゃ
約数と余りの問題は分かりましたか?
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