中学受験】約数と余りの問題 ~「を」割ると余りが出る数の求め方

「『120を割ると8余る数」のように余りで聞かれる問題の解き方が苦手!分からない…」という中学受験生の方、ご安心下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が図の書き方・考え方・解き方をまとめました。読み終わる頃には自信をもって解けるようになりますよ!

約数の応用
割ると余りが出る数

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。


ー(^o^)/~~

今回は約数・倍数の最終回です。まずは「~を割ると余りが出る数」の問題がどういうものなのか、見て下さい。

例題1(~を割ると余る数)

「120を割ると8余る数」で一番小さいものを求めたい。以下の問いに答えなさい

  1. 「 120を割り切れる数」はどのような数か
  2. 「120を割ると8余る数」はどのような数か?
  3. 結局「120を割ると8余る数」で一番小さい数は何か?

例題1-(1)

「 120を割り切れる数」はどのような数か
ヒント

過去記事「約数の意味」で出てきましたね。

図解

「Aを割り切れる数」=Aの約数でした。

約数の意味

約数=他の数割り切れる

したがって「120を割り切れる数」=120の約数ですね

答: 120の約数

例題1-(2)

「120を割ると8余る数」はどのような数か?
図解

「120を割ると8余る数」は、120-8(余り)=112 より「112を割り切れる数」です。

線分図基本講座の「割り余り算の線分図」を思い出して書くと、こうなりますね↓

これを見ると、「120を割ると8余る数」は「112の約数」と言えそうです。
o(・∀・)o
本当にそうか確かめましょう!

112の約数をいくつか数え上げると 1,112,2,56…などがあります。
これらの数で120を割ると本当に8余るのか、計算で確かめてましょう

まず、120÷1 はどうですか?
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120÷1=120
(;´Д`)?
アレ……割り切れますね。8余りません。ダメです
(>_<)
[/su_spoiler]

気を取り直して…120÷112 はどうですか?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]

120÷112=1…8 8余りました!OKです!
(^O^)
[/su_spoiler]

次に、120÷2 はどうですか?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]

120÷2=60 これも割り切れちゃいますね…ダメです
(+_+)
[/su_spoiler]

もう一丁!120÷56 はどうですか?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]

120÷56=2…8 8余りました!OKです!
(*^ー゚)b
[/su_spoiler]

ちょっと疲れましたw
(・ω・;)

どうして、ちゃんと112の約数で割っているのに、OKなのとダメなのがあるのでしょうか?

[su_spoiler title=”理由を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn green”]

それは、余りは割る数よりも小さいから
逆から言うと、割る数は余りよりも大きくないとオカシイからです。

この問題では、8余るので、割る数が8より小さいのは(1とか2とか)おかしいのです[/su_spoiler]

これで、「120を割って8余る数」がどういう数か分かりますね
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

答: 112の約数のうち8より大きいもの

[/su_spoiler]

例題1-(3)

結局「120を割ると8余る数」で一番小さい数は何か?
ヒント

「112の約数のうち8より小さいもの」で一番小さいものです

図解

まず、120-8=112の約数を書き出しましょう
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]

ABの形に直して、書き出すと…
1×112,2×56,4×28,7×16,8×14

これを小さい順に並べると
1,2,4,7,8,14,16,28,56,112 になります。[/su_spoiler]

このうち、8より大きいのは?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]

14,16,28,56,112 ですね[/su_spoiler]

その中で一番小さいのが答なので…
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

答は14ですね

答: 14[/su_spoiler]

 

まとめると、こうなります。

割ると余る数

Aを割るとB余る数
=(A-B)の約数でBよりも大きいもの
(例)120を割ると8余る数
=(120-8)=112の約数で8よりも大きいもの

以前学習したのは「~『で』割ると余りが出る数」でした。紛らわしいですね…あちらは倍数の問題になります。図を見比べて下さい。

割ると余る数

Aで割るとB余る数
=「Aの倍数+Bまたは「Aの倍数ー(A-B)
(例)7で割ると3余る数
=7の倍数+3 または 7の倍数ー4

では「~を割ると余る数」の公式を使った問題を解いてみましょう

割ると余りが出る数
の問題を練習

類題1-1

80を割って8余る数は何個あるか
注意!

聞かれているのは「何個」です

図解

先程の考え方を使えば、「80を割って8余る数」はどう表せますか?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]

80-8=72 なので
「72の約数のうち、8より大きいもの」ですね[/su_spoiler]

では、72の約数は?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]

A×B で書き出すと
1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 ですね[/su_spoiler]

そのうち8より大きいものはいくつありますか?
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

9,12,18,24,36,72 の6個ですね

答: 6個

[/su_spoiler]

 

類題1-2

55を割ると10余る数をすべて答なさい。
注意!

「すべて」です。

図解

[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

55-10=45の約数で10より大きいものを求めます。

45の約数は 1,3,5,9,15,45 で

このうち10より大きい15と45が答えになります。

答: 1545[/su_spoiler]

 

最後は文章問題です。

類題1-3

121個のチョコを生徒に同じ数ずつ配ったら、16個余りました。
次に70個のアメを同じ数ずつ配ったところ、1つも余らず分けることができました。
生徒の数は何人でしょうか?
ヒント

こ示されている2つの条件をクリアする数字が答えです。

図解

[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

まず、最初の条件「生徒の人数が『121を割ると16余る数』」をクリアする数字を出しましょう。

「121を割ると16余る数」は、121-16=105の約数で16より大きい数です。
105の約数は 1,3,5,7,15,21,35,105 で、このうち余りの16より大きいのが 21,35,105

最初の条件をクリアする数は 21,35,105の3つと分かりました。

次に、
二番目の条件「生徒の人数は『70を割り切れる数』」をクリアする数字を出します。

「70を割り切れる数」は70の約数で、70の約数は1,2,5,7,10,14,35,70です。

二番目の条件をクリアするのは、1,2,5,7,10,14,35,70と分かりました。

この中で、最初の条件をクリアした中(21,35,105)に入っているのは35だけなので、生徒は35人と分かります。

答: 35[/su_spoiler]

以上で、問題は全て終了です。お疲れ様でした!

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まとめ

この記事のまとめ

Aを割るとB余る数
=(A-B)の約数でBよりも大きいもの

(例:「120を割ると8余る数」 
→(120-8)=112の約数で8より大きいもの

爽茶そうちゃ
約数と余りの問題は分かりましたか?
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