小学生】倍数の見分け方は?三・四・六・九などの分かりやすい判定法

「3の倍数かどうか、割り算せずに見分けたい!」「分数の約分をパッとやりたい!」という小学生・中学生と保護者の方へ。ご安心下さい。東大卒講師歴20年の「そうちゃ」が簡単な見分け方を分かりやすく図解します♪。クイズ大会のつもりで楽しく学んで下さい。

いきなりまとめ

早く知りたい!という方、まとめをどうぞ。

倍数の見分け方まとめ

●→ある位を見る

●→各位の和を見る

2の倍かどうか見分ける
1の位が0,2,4,6,8のどれか

3の倍数かどうか→各位の和が3の倍数
(例「195」→1+9+5=15
・・・15が3の倍数なので◎)

4の倍数下2ケタが「00」か4の倍数
(例「9912」→下2ケタは「12」
・・・12が4の倍数なので◎)
5の倍数1の位が0か5
6の倍数(2段階で見分ける)
1の位が0,2,4,6,8のどれかで
・・各位の和が3の倍数

8の倍数下3ケタが8の倍数

9の倍数各位の和が9の倍数
10の倍数1の位が0

問題を解きたい人は、先に進んで下さい。

倍数を見分けられるとオトク

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

今までは倍数の「もとになる数」から倍数を求めてきました

今回は、反対に「もとになる数」を聞いていきます。例えば、こういう問題です。

例題1-1

90は6の倍数ですか?

これが「倍数かどうか」を見分ける問題です。

図解

1回目の「倍数の意味」で説明した通り、「Aの倍数」=「Aで割り切れる数」ですから、6で割り切れれば6の倍数ということです。

倍数の意味

「BがAの倍数」
→①BはAを2倍・3倍…したもの
→②BはAで割り切れる

実際に90÷6を筆算してみると…

筆算

15
6)90
67
30
30

20

割り切れた

割り切れるので、90は6の倍数です!

答: 倍数です


では…これはどうでしょうか

例題1-2

1111110は6の倍数ですか?
図解

1111110って…
( ゚д゚) ポカーン

もちろん、1111110÷6を筆算して割り切れるか確かめればいいんですが…面倒くさい!(よね?)

ここで!使えるワザが「倍数の識別法」というわけです。

ちなみにこの問題は、各位の和が(ゴニョゴニョ)で1の位が(ゴニョゴニョ)なので6の倍数だと3秒で分かってしまいます
一方…筆算では
[su_spoiler title=”筆算してみます…” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std iln no-trn pale”]

筆算すると…

185185
6)1111110
670000
1510000
480000

231000
30000
01100

600
0510
480
030
30
00

割り切れました!

うわ~長い…3秒では無理!
(・ω・;)
というか、webで筆算を表現するのは大変なんです…
(つд`o)[/su_spoiler]

このように、倍数の識別法を知っているのといないのとでは圧倒的な差があるんです!
受験するお子さんはもちろん覚えないとダメですが…分数の約分でも使いますので受験しないお子さんも、是非覚えるのをおすすめします!

では、そんなラクチンな識別法を順に見ていきましょう!

2の倍数の見分け方

見分け方=一の位

2の倍数の識別は、知っている人も多いでしょう。

一の位(「下1ケタ」とも言います)が偶数(2,4,6,8)または「0」なら、残りがどんな数字でも2で割り切れます!

2の倍数の見分け方

1の位が0,2,4,6,8のどれかになっている

例えば「128」は、1の位が「8」なので2の倍数です

一方、「159」は1の位が「9」なので2の倍数ではありません

この識別法を使えば「1234567890」という長い数も、1の位が「0」なので2の倍数であると一瞬で分かる訳ですね!

1の位だけで分かる理由何故そうなるの?と疑問に思う人もいるでしょう。
中学生への説明はこうです。
「abc」=100a+10b+c=2(50a+5b)+c よってcが2の倍数2nなら
「abc」=2(50a+5b+n)と変形できるので2の倍数である。
小学校では文字式を習わないので分からなくてもOKです!
今日は、そういうものなんだと納得して下さい。
(*^ー゚)b

[su_spoiler title=”納得できない人に向けて(長いです)” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn green”]

え?納得できない?
(^_^;)
(ここで
webを軽く探してみると、説明しているサイトが見つからず、俄然やる気が出てきましたw)
では小学生向けに説明してみましょう…
3ケタの数、例えば「555」を考えてみます。
これを
100円玉5枚
10円玉5枚
1円玉5枚
のコインで持っているとします。

そして「2の倍数」=「2で割り切れる」=「ちょうど2つに分けられる」ですから
先程の555円分のコイン15枚を2つに分けられるか種類別に考えます。

まず100円玉5枚の500円です。
100円玉1つは50円玉2つに分けられる(両替)ので
100円が5枚あったら2つに分ける(両替)作業を5回すればOKで
100円玉が何枚あっても、同じように2つずつに分けられますね。
つまり、100の位はどんな数字がきても2つに分けられるのです。

次に10円玉5枚の50円です。
これも同じように、10円玉1つは5円玉2つに分けられ(両替)るので
10円玉が何枚あっても、同じように2つずつに分けられます。
つまり、10の位もどんな数字がきても2つに分けられるのです。

最後に1円玉5枚の5円。これは無理ですね。
100円や10円の場合と違って、1円玉はこれ以上細かくできないので、2枚を1枚ずつに分けるように、1円玉の個数で2つに分けるしかありません。

そして、2つに分けられる個数は「2枚」「4枚」「6枚」「8枚」で「0枚」のときも分ける必要が無いので大丈夫です。
(この0,2,4,6,8が2の倍数になる条件ですね!)

結局、100の位(100円玉の個数)と10の位(10円玉の個数)は何でもよくて、1の位(1円玉の個数)が2,4,6,8,0ならOKということです。

こうして、2の倍数かどうかは、1の位だけで判断できるんですね。
(*^ー゚)b[/su_spoiler]
では、この識別法を使った例題を解いてみましょう

類題2-1

2の倍数か判定しなさい
(1)1524 (2)550001 (3)5987450

公式を使う練習です。

図解

[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

(1)1の位が「4」なので2の倍数です

(2)1の位が「1」なので2の倍数ではありません

(3)1の位が「0」なので2の倍数です

答: (1)ある (2)ない (3)ある

[/su_spoiler]


今度は少し考える必要がありますが、クイズだと思って解いて下さい♪

類題2-2

「1」「2」「3」「4」「5」を一回づつ使って数字を作ります。
「3●25◯」が2の倍数になる時
●と○を求めなさい。
図解

[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

まず、使われていない数字は「1」と「4」なので、●と○は1と4と分かります。

そして、2の倍数になるということは1の位にある○は偶数なので「4」に決定します。

したがって、●は残った「1」になります。●は1,○は4、が答えになります。

作った数は「31254」だったのですね

答: ●1 ○4

[/su_spoiler]


これで、2の倍数を見分けられるようになりました!

次は3の倍数です

3の倍数
の見分け方

見分け方=各位の和

3の倍数はさっきの2の倍数とは全く違うルールです。

すべてのケタの数字を合計した数(「各位の和」)が3の倍数になっていれば、もとの数字も3の倍数になります。

例えば「123」の場合「各位の和」は 1+2+3=6 になります。
そして「各位の和」6が3の倍数なので、もとの数「123」も3の倍数だと分かるのです!

一方、「214」の場合「各位の和」が 2+1+4=7 で3の倍数でないので「214」も3の倍数ではありません

3の倍数の識別

各位の和が3の倍数になっている

何故そうなるのかは、先ほどと同じように中学生になれば分かりますので、今日は納得して下さい
m(_ _)m

では、問題を解いてみましょう!

類題3-1

3の倍数である/ないを判定しなさい
(1)「830」 (2)「12345」 (3)「1001001」

公式の練習ですね

図解

[su_spoiler title=”解説と解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

(1)各位の和は 8+3+0=11 で3の倍数ではありません。よって、830自体も3の倍数ではありません。

(2)各位の和は 1+2+3+4+5=15 で3の倍数なので、元の「12345」も3の倍数です

(3)各位の和が 1+0+0+1+0+0+1=3 で3の倍数なので、元の「1001001」も3の倍数です

答: (1)ない (2)ある (3)ある

[/su_spoiler]


次が本番です。

類題3-1

「1」「2」「3」「4」「5」から異なる3つの数字を選んで数字を作ります。
「2●4」が3の倍数になる時、●は何ですか?また、その場合「24●」は3の倍数になりますか?
図解

[su_spoiler title=”解説と解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

「2●4」が3の倍数になるということは、各位の和である 「2+●+4」 が3の倍数になるということですね。

そこで、使っていない「1」「3」「5」を●に入れて3の倍数になるか確かめます。

「1」→2+1+4=7(X)
「3」→2+3+4=9(O)
「5」→2+5+4=10(X)

これで、●に入るのは3と分かります

また、「24●」つまり「243」も2+4+3=9 で各位の和は変わらないので3の倍数である、と分かります。

答: =3 、ある

[/su_spoiler]


 

3の倍数と「場合の数」このように、使っている数字が同じならば順番を変えても必ず3の倍数になります。
「場合の数」でよく使う性質なので覚えておきましょう。

これで、3の倍数を見分けられるようになりました♪

4の倍数
の見分け方

見分け方=下2ケタ

2の倍数の見分け方と似ています。

10の位と1の位(「下2ケタ」といいます。)を2ケタの数字と見て
それが「00」または4の倍数ならもとの数も4の倍数です。

数字の後ろの方だけで判断できるところが2の倍数と似ていますよね?

例えば、
「3724」の場合
下2ケタは「24」です。
そして24は4の倍数なので
もとの数「3724」も4の倍数になります

一方
「2437」の場合
下2ケタは「37」で4の倍数ではないので
「2437」そのものも4の倍数ではありません

(注意)
4の倍数は、同時に2の倍数でもあります。

ですから
「2437」の「7」ように
下1ケタが偶数や0でない場合はそもそも2の倍数でないので
下2ケタが4の倍数かどうかをチェックするまでもなく、4の倍数ではない、と判断できます。

4の倍数の見分け方

下2ケタが「00」または4の倍数である
(当然、一の位は偶数)

では、
問題を解いてみましょう

類題4-1

4の倍数である/ないを判定しなさい
(1)1832 (2)98765492 (3)544861754600
図解

[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

(1)1832の下2ケタは「32」で4の倍数です。
したがって「1832」自体も4の倍数です。

(2)98765432の下2ケタは「92」で4の倍数なので
「98765492」も4の倍数です。

(3)544861754600の下2ケタは「00」なので
「544861754600」自体も4の倍数です。

答: (1)ある (2)ある (3)ある

[/su_spoiler]


簡単ですね?
では、
少し頭を使う問題です

類題4-2

「1」「2」「3」「4」「5」を一回づつ使って数字を作ります。
「◆◇●2○」が4の倍数になるような最も大きな数字は何か?
図解

4の倍数=下2ケタが4の倍数になる→「2○」が4の倍数になるということですね。

残った数「1」「3」「4」「5」を○の代わりに入れて「2○」が4の倍数になるになるか確かめると
[su_spoiler title=”どうなりますか?” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

4だけが、下2ケタが「24」になって4の倍数になります。したがって○=4 と分かります。[/su_spoiler]

次に、残った「1」「3」「5」をどのように並べるか考えます。できるだけ大きい数字にしたいです。
[su_spoiler title=”どのように並べますか?” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]
大きい順に「5」「3」「1」と並べればよいですね。

これで「53124」が答えと分かりました。

答: 53124

[/su_spoiler]


これで
4の倍数も見分けられるようになりました。

5の倍数
の見分け方

見分け方=一の位

これは皆さんご存知でしょう。九九の五の段を連想すれば分かりますね。1の位が「0」か「5」ならその数は5の倍数です

5の倍数の見分け方

1の位が「0」か「5」である

問題を解いてみましょう

類題5

「2」「7」「5」「0」を並べ替えて4ケタの数を作ります。
一番小さい5の倍数は何ですか?
図解

[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

5の倍数なので、一の位に使えるのは「0」か「5」

「0」を一の位に使うと、残りの数字は「2」「7」「5」
できるだけ小さい数を作るには、残った数字を小さい順に並べればよいので
「2750」になる

「5」を一の位に使うと、残りの数字は「0」「2」「7」
残った数字を小さい順に並べるが、「0275」は3ケタの数字なのでNG!

代わりに「2」を先頭に出して「2075」になる。

「2750」と「2075」を比べると「2075」が小さいので、こちらが答えになる。

答: 2075[/su_spoiler]


これで5の倍数もOKですね。

「割り算せずに9の倍数か見分けたい」「8で割れるかどうやって見分けるの?」という小学生・中学生と保護者の方へ。この記事は前回に引き続き「倍数の識別・見分け方」を分かりやすく図解します。読み終わる頃には倍数の識別がサッとできるようになりますよ!

なお記事の最後でプリントが自由にダウンロードできますので、ぜひご利用下さい。

6の倍数
の見分け方

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

やっと、前回の一番最初にやってみせた問題『「1111110」は6の倍数ですか?』の種明かしです。

見分け方=2つの組み合わせ

6の見分け方は少し複雑で、二段階のテストをします。

6=2✕3 と直せます(分解できます)ので、2の倍数であり3の倍数でもあります
したがって、2の倍数になる条件(1の位が0か偶数)と3の倍数になる条件(各位の和が3の倍数)の両方をクリアしないといけません

例題で確認しましょう

例題6

6の倍数か判断しなさい
(1)1752 (2)1354 (3)1653

小問1

1752は6の倍数か
図解

まず、第一条件をクリアするか確かめます。
1752は2の倍数ですか?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

1の位が偶数なので、2の倍数です(第一条件クリア)[/su_spoiler]


次に第二条件です。1752は3の倍数ですか?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

各位の和も 1+7+5+2=15で3の倍数になっているので
1752は3の倍数です(第二条件もクリア)[/su_spoiler]


結局、1752は6の倍数ですか?
[su_spoiler title=”解説と解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

2つの条件を見事クリアしたので「1752」は6の倍数です!

答(1): ある

[/su_spoiler]


小問2も同じように2段階で確かめましょう

小問2

1354は6の倍数か
図解

まず、第一条件。1354は2の倍数ですか?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

1の位は偶数で第一条件はクリアです。[/su_spoiler]

次に、第二条件。1354は3の倍数ですか?
[su_spoiler title=”答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

各位の和が1+3+5+4=13 で3の倍数になっていないので第二条件をクリアできず[/su_spoiler]

結局、1354は6の倍数ですか?
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

第一条件はクリアできましたが第二条件をクリアできなかったので、6の倍数ではありません。残念!

答(2): ない

[/su_spoiler]


小問3も同様に確かめます。

小問3

1653は6の倍数か
図解

1653は2つの条件を満たしますか?
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

「1653」は1の位が「3」で偶数ではないので第一条件をクリアできず
各位の和を調べるまでもなく6の倍数ではありません
(ちなみに各位の和は3の倍数になっています)

答(3): ない

[/su_spoiler]


 

2つの条件の確かめ方が分かりましたか?

6の倍数の見分け方

1の位が「0」か偶数(2,4,6,8)で
各位の和が3の倍数

では、類題で練習して下さい。

類題6-1

以下の数は6の倍数か
(1)894 (2)6237 (3)43210
図解

[su_spoiler title=”(1)894 の解説を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

1の位が「4」なので第一条件クリア
各位の和が8+9+4=21で3の倍数になっているので第二条件もクリアで、6の倍数です

答(1): ある

[/su_spoiler]

[su_spoiler title=”(2)6137 の解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

1の位が「7」なので第一条件をクリアできず
第二条件を調べるまでもなく6の倍数ではありません

答(2): ない

ちなみに、各位の和も17で第二条件もクリアできません…

[/su_spoiler]

[su_spoiler title=”(3)43210 の解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

1の位が「0」なので第一条件クリア
ですが…
各位の和は0+1+2+3+4=10で3の倍数になっていないので、第二条件はクリアできず。6の倍数ではありません

答(3): ない

[/su_spoiler]


できましたか?

では、前回の記事冒頭の問題に再登場してもらいましょう♪

類題6-2

1111110は6の倍数ですか?

今なら、瞬時に分かりますね

図解

[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

まず、1の位は0なので第一条件クリア
次に、各位の和は1が6個なので6で3の倍数なので第二条件もクリア!
1111110は6の倍数ですね

答(3): ある

[/su_spoiler]


この6の倍数の考え方(二段階テスト)は例えば30の倍数か?というような大きな数の倍数かどうかを判断するのにも使えるので、覚えておきましょう

7の倍数
の見分け方

識別法はありますが、複雑な上に、使用するシーンがないので
覚えなくても良いでしょう。

その変わり7の倍数で2ケタのものは、九九(70)以降も覚えておきましょう。
70」「77」「84」「98」です。

8の倍数
の見分け方

見分け方=下3ケタ

2の倍数・4の倍数に似ています。

下3ケタが8の倍数なら、元の数自体も8の倍数になります。一応、覚えておきましょう。

類題8

(作成中です)
図解

 

9の倍数
の見分け方

見分け方

3の倍数とよく似ています。

各位の和が9の倍数なら元の数も9の倍数になります。

例えば、「15192」は各位の和が1+5+1+9+2=18 で9の倍数になっているので「15192」自体も9の倍数です

一方、「37564」は各位の和が3+7+5+6+4=25 で9の倍数になっていないので「37564」自体も9の倍数ではありません

9の倍数の見分け方

各位の和が9の倍数になっている

では、類題で練習して下さい

類題9-1

9の倍数である/ない を判定しなさい
(1)「308」 (2)「42732」 (3)「3003003003」

公式の練習ですね

図解

[su_spoiler title=”(1)「308 」の解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

各位の和は3+0+8=11 で9の倍数でないので、308自体も9の倍数ではありません。

答(1): ない

[/su_spoiler]

[su_spoiler title=”(2)「42732」 の解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

各位の和は 4+2+7+3+2=18 で9の倍数なので、元の「42732」も9の倍数です

答(2): ある

[/su_spoiler]

[su_spoiler title=”(3)「3003003003」 の解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

各位の和が 3+3+3+3=12 で9の倍数ではないので、元の「3003003003」も9の倍数ではありません

答(3): ない

[/su_spoiler]


これで9の倍数も見分けられるようになりましたね!

10の倍数
の見分け方

見分け方

当然ご存知と思いますが、1の位が「0」なら10の倍数ですね。

何故そうなるか、もう分かるのではないでしょうか

そうです。
10=2×5 なので
2の倍数の条件(一の位が0か偶数)と5の倍数の条件(一の位が0か5)の
2つの条件を満たさないといけません。
そして、それは「一の位が0」の場合だけだからですね!

類題

図解

 

11の倍数
の見分け方

見分け方

正直言って覚える必要はあまり無いと思いますが、簡単で面白いので紹介します。

各位を交互に合計した2数の差が「0」か「11の倍数」なら、もとの数も11の倍数です

例えば「1628」の場合
1の位(8)と100の位(6)の和が14、10の位(2)と1000の位(1)の和が3で、その差は11になるので「1628」自体も11の倍数です

また「112」の場合
1の位(2)と100の位(1)の和は3、10の位(1)と1000の位(2)の和も3で、差は0になるので「2112」自体も11の倍数です

11の倍数の見分け方

各位を交互に足した数の差が「0」か「11の倍数」

せっかくなので、練習してみましょう

類題11-1

(2019/1/9)作成中です
図解

頭の体操的に
1問作ってみました。

類題11-2

「1」「2」「3」「4」を並び替えて4ケタの数を作ります。
「◆●1◇」が44の倍数になる時、◆●◇にあたる数字は何ですか?
図解

[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn orange”]

まず、44=4×11 と分解できるので、できた数は4の倍数のはず
4の倍数は下2ケタが4の倍数になるので、できた数の下2ケタ「1◇」も4の倍数なので、◇=2 と分かる。

また、できた数は11の倍数でもあるから、互い違いのケタの和、つまり「◆+1」と「●+◇」が同じになるはず。
◇=2なので◆+1=●+2 になり、
◆と●は残った「3」か「4」だから
◆=4、●=3 と分かる。できた数は「4312」

答: ◆=4,●=3,◇=2

[/su_spoiler]


以上で倍数の見分け方は全て終了です。お疲れ様でした!

倍数の見分け方
のまとめ

もう一度まとめると、こうなります。

倍数の見分け方

(ある位を見る各位の和を見る)
2の倍数かどうか見分ける
1の位が0,2,4,6,8のどれか
3の倍数かどうか→各位の和が3の倍数
(例「195」→1+9+5=15
・・・15が3の倍数なので◎)
4の倍数下2ケタが「00」か4の倍数
(例「9912」→下2ケタは「12」
・・・12が4の倍数なので◎)
5の倍数1の位が0か5
6の倍数(2段階で見分ける)
1の位が0,2,4,6,8のどれかで
・・各位の和が3の倍数
8の倍数下3ケタが8の倍数
9の倍数各位の和が9の倍数
10の倍数1の位が0か5

今日からはこの「識別法」を使って
いろんな数字を観察すると面白いかもしれませんね。

プリントダウンロート

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問題

解答

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受験に関する悩みはつきませんね。
「中学受験と高校受験とどちらがいいの?」「塾の選び方は?」「途中から塾に入っても大丈夫?」「塾の成績・クラスが下がった…」「志望校の過去問が出来ない…」など
様々なお悩みへのアドバイスを記事にまとめたので参考にして下さい。

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