中学受験の(公)倍数(公)約数で大切なのは？分かりやすく図解！

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「倍数・約数・公約数・公倍数の基本から応用までマスターしたい！」という中学受験生の方、おまかせ下さい！東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすくまとめました♪

この記事はちょっと長いです。読みたいところをクリックして下さい！

(公)倍数の基本事項

倍数の基礎

簡単にまとめます。

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「倍数の基礎」を見て下さい

倍数の見分け方

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「倍数の見分け方」を見て下さい

公倍数

重要なので「覚えて」下さい。特に最後の意味が重要です。

求め方(書き出すやり方)

学校で習う方法で、大きい数を2倍・3倍していって小さい数の倍数にもなったら、それが最小公倍数で、あとの公倍数は最小公倍数を1倍・2倍…していく。

例えば、6と10の公倍数を見つける場合
→10の2倍は20。20は6の倍数ではないでないので公倍数でない。
→10の3倍は30。30は6の倍数なので、これが最小公倍数。
→次の公倍数は60×2=120、その次は60×3=180とずっと続きます。

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「公倍数の意味と求め方」を見て下さい

(公)約数の基礎

約数の基礎

約数の意味

約数はもとの数を割って(分解して)できる数です。

求め方(書き出し)

無限に続く倍数と違い、約数には限りがあります。まずは書き出しで求められるようにします。

実際に求めて下さい！

詳しい説明を読みたい問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「約数の基礎」を見て下さい(無料プリントのダウンロードができます)。

公約数

意味

いくつか意味があるが、最後のものが重要。

求め方

2つの数のうち小さい方の約数を「書き出し」で求めて、大きい数の約数にもなっているのが公約数。

テストで試して下さい。

もっと詳しい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「公約数の意味と求め方」を見て下さい。

範囲と(公)倍数

～に一番近い倍数

問題文の指定方法に注意します。

確認テストをどうぞ

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は本サイトの「範囲と(公)倍数」を見て下さい

素因数分解と約数(すだれ算)

素数

「1×その数」にしか出来ない数を素数という。

3→「1×4」にしか分解できない→素数である。
4→「1×4」以外に「2×2」にも分解できる→素数でない

素因数分解のやり方

2つのやり方があります。

ニ分解式

2つの数のかけ算にどんどん分解する方法。

すだれ算

「答えを下に書いていく割り算」すだれ算で分解する方法。小さい素数で割っていく。

確認テスト(2020.2.26作成中)

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「すだれ算と素因数分解のやり方」を見て下さい。

素因数分解を使った応用問題

約数の個数を素因数分解から求める

→この先「約数の個数」で解説(解説へジャンプ)

素因数分解の構成を考える問題

例えばこんな問題です。

素因数分解の構成

A×600=B×B×B を成り立たせる最小のBを求めなさい

(図解)

この問題はAを考えればBが分かります。

まず600を素因数分解すると2×2×2×3×5×5なので、A×600=A×2×2×2×3×5×5 と直せます。素因数が2,3,5の三種類あるのが分かりました。

ところで、B×B×Bのように同じ数を三回かけた数は、素因数分解するとBを作る素因数3つずつのかけ算になります。

B×B×Bのような形
(例:6×6×6)

6×6×6
=(2×3)×(2×3)×(2×3)
=(2×2×2)×(3×3×3)

素数3個セットのかけ算になる

よって、さっきの A×600=A×2×2×2×3×5×5 も素因数3つずつのかけ算になるはずです。

すでにある2,3,5を減らすことはできないので、2,3,5を増やして3つずつにした (2×2×2)×(3×3×3)×(5×5×5)=2×2×2×3×3×3×5×5×5 なら良さそうです。

問題の A×600=A×2×2×2×3×5×5と今作った良さげな形「2×2×2×3×3×3×5×5×5」を並べてみましょう。

並べて比較

問題文の形:A×2×2×2×3×5×5
良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5

問題文の形は素因数が少ない

問題文の形の方が素因数が少なく見えます。数えると「3」が2つと「5」が1つ少ないです。

並べて比較(➀と②は等しい)

➀問題文の形:A×2×2×2×3×5×5
②良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5

良さげな形の方が素因数が多い
(➀に無いものを緑にした)

➀と②は等しいので、足りなく見える「3」が2つと「5」はAに含まれていたのでした。つまりA=3×3×5 ということです。

Aを3×3×5に直してみる

➀問題文の形:A×2×2×2×3×5×5
➀Aを変える:3×3×5×2×2×2×3×5×5
②良さげな形:2×2×2×3×3×3×5×5×5
②B×B×B形:(2×3×5)×(2×3×5)×(2×3×5)

素因数の種類と数が完全にそろった

②を「B×B×B」の形に直すと(2×3×5)×(2×3×5)×(2×3×5)になります。この(2×3×5)=30=Bになります。

30

(補足説明)

これで答えは出たのですが、問題文に「最小の」とあるのは何故でしょうか？

実は条件を満たすBというかAはいくらでも作ることが出来るのです。

例えば、A=3×3×5 でしたが、さらに素因数を加えてA=3×3×5×7×7×7とする場合を考えます。

A×600=3×3×5×7×7×7×2×2×2×3×5×5 = 2×2×2×3×3×3×5×5×5×7×7×7」=　という風に3つずつのかけ算になるのでB×B×Bの形にすると(2×3×5×7)×(2×3×5×7)×(2×3×5×7)になり、(2×3×5×7)=210=B もOKになります。

同じ調子で「×7×7×7」だけではなく「×2×2×2」や「×3×3×3」を加えた場合もOKになります。

つまり、素因数を3回かけたものを加えていけばいくらでも答えが作れるのですね。

そこで設問文章に「最小の」という条件が加わっているのです。

分かりましたね？では確認テストをどうぞ

確認テスト(2021.2.11作成中)

割り切れる回数を求める

例えばこんな問題です

割り切れる回数(1)

「1680を2で割っていくと何回割り切れるか」

「2で割り切れる数」は2の倍数ですが(→参考記事「倍数の基礎」)割り切れる回数はどうやって決まるのでしょうか？

試しに「6」「7」「8」を2で割ってみると…

「6」6÷2=3(1回目) 3÷2=X(割り切れない)→1回
「7」7÷2=☓(割り切れない)→0回
「8」8÷2=4(1回目) 4÷2=2(2回目) 2÷2=1(3回目) 1÷2=☓(割り切れない)→3回

この「1」「0」「3」という回数がどこから来ているか素因数分解をすると分かります。

数	素因数分解の結果	2で割り切れる回数
6	2×3	1
7	7	0
8	2×2×2	3

わかりましたね。素因数分解したときの「2」の個数で決まるのでした！

この考え方で例題を解きます。

割り切れる回数(1)

1680を2で割っていくと何回割り切れるか

(解説)

「2で割り切れる回数=素因数分解した時の「2」の個数」です。

1680を素因数分解すると 2×2×2×2×3×5×7 です。

「2」が4つ入っているので、2で4回割り切れます。

4回

上の問題を少し複雑にしたこんな問題もあります。

割り切れる回数(2)

1から75までの整数をすべてかけた数を10で割ると何回割り切れるか

10は素因数分解すると10=2×5 なので、10で一回割り切れるためには「2」と「5」が両方揃っていないといけません。

したがって10で割り切れる回数は「2&5」セットの個数で決まります。

この考え方で問題を解いてみましょう

割り切れる回数(2)

1から75までの整数をすべてかけた数を10で割ると何回割り切れるか

(解説)

1から75までの整数をすべてかけた 1×2×3×…×74×75 を素因数分解した中に「2&5」のセットがどれくらい入っているか考えます。

かけ算される75個の数の約半分が2の倍数(偶数)であるのに対し5の倍数はそこまで多くないので、素因数分解すると「5」の方が「２」よりも少ないと考えられます。

2の倍数と5の倍数(10は両方の倍数)

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×…

最初の12個を考えても「2」の多さが分かる

したがって「2&5」セットの数は少ない「5」の数をかぞえれば分かります(男性100人女性3人のパーティーで成立する男女のカップルは3組です)

まず1から75までの間に5の倍数がいくつあるか計算すると75÷5=15個なので「5」の数は15個と思うかもしれませんが「5」はまだあるのです！

(数え方の注意)

例えば5の倍数の中でも25,50,75の25の倍数には「5」が2個ずつ含まれていますが、これらは先程は1個ずつしか数えられていません。数え残しが3個あったのです。

5の倍数(と25の倍数)

5
➀5

×10
5

×15
5

×20
5

×25
5
➀5

×30
5

…×45
5

×50
5
➁5

…

×70
5

×75
⑮5
③5

5の数は5の倍数の個数と同じ15個だが
5が3個(25の倍数の個数)数え残されていた

この図より「5」は15+3=18個あり「2&5」のセットも18個あるので、10で割り切れる回数も18回と分かりますね。

18回

分かりましたか？確認テストをどうぞ

確認テスト

1から175までの整数をすべてかけた数を10で割ると何回割り切れるか

1から175までに5の倍数は35個、25の倍数は7個、125の倍数の倍数は1個あるので、5,25,125の倍数と「5」の個数を図にするとこうなります。

この図より「5」は35+7+1=43個あり「2&5」のセットも43個あるので、10で割り切れる回数も43回と分かりますね

末尾の0の個数を求める

例えばこんな問題です。

末尾に並ぶ0の個数A

A=1×2×3×…×50 の時、Aの末尾に0は何個並ぶか

(考え方)

「末尾に0が並ぶ」というのは、百なら「100」なので2個、十万なら「100000」なので5個並んでいるということです。

これは何回10をかけたか、つまり10で何回割り切れるかと同じ意味なので、上で解いた問題と同じく素因数分解したときに「2&10」のセットがいくつできるかということですね。

そして、この問題でも「2」より「5」の数の方が少なそうなので、素因数分解した時の「5」の個数を調べれば良いですね。

(解説)

1から50までに5の倍数は50÷5＝10個、25(5×5)の倍数は50÷25=2個、125(5×5×5)の倍数はない。

5の倍数(と25の倍数と125の倍数)

5
➀5

…×10
②5

…×25
⑤5
➀5

…×45
⑨5

…×50
⑩5
②5

5は5の倍数の個数と同じ10個
5は25の倍数の個数と同じ2個

「5」は10+2=12個あり、10で12回割り切れて、末尾に並ぶ0の数も12個と分かりました。

12個

確認テストをどうぞ

(確認テスト作成中)

似た問題として、場合の数と組み合わせたような問題があります。

末尾に並ぶ0の数B

2,4,5を1回ずつ使ってできる3ケタのすべての整数の積は、一の位から0が何個続いて並ぶか？

解説

2,4,5を1回ずつ使ってできる3ケタの数は「245」「254」「425」「452」「524」「542」の6通り。

これらをかけた数の末尾に並ぶ「0」の数は「2&5」セットの数=「5」の数

6通りの数のうち5の倍数は「245」と「425」なので、この中の「5」の数をカウントすればよい。

素因数分解すると、245=5×7×7、425=5×5×17 で「5」は3個入っている

5の倍数(と25の倍数)

245
5

×254

×425
5
5

×452

×524

×542

5は5の倍数の個数と同じ2個
5は25の倍数の個数と同じ1個
合計して3個の「5」がある

したがって、末尾に並ぶ「0」は3個と分かる

3個

 

素因数分解と公約数・公倍数

すだれ算を使うと、最大公約数と最小公倍数を一気に求められます。

2つの数のすだれ算

2つの数を並べて公約数で割っていく。

確認テストをどうぞ

詳しい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は「素因数分解(すだれ算)と公約数公倍数」を見て下さい。

3つの数のすだれ算

数が3つある場合も同じように行うが、二数しか割れない素数が出てきた場合に特殊なやり方をする。

確認テストをどうぞ

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「三つの数のすだれ算」を見て下さい。

すだれ算を利用した問題

準備

例えば、12と18の場合はすだれ算はこうなります(左の数字は普通2と3が縦に並ぶのですが、分かりやすいように6で一発で割ってしまいます。

ここに現れている数の関係を公式風にすると、こうなります。

*aとbはすだれ算の最下段なので公約数は1だけです。このような2つの数を「互いに素(たがいにそ)」と呼びます。

以上の図と知識を使って問題を解きます。

問題

(1)最大公約数が3で最小公倍数が84である2つ数を求めよ。ただし2つの数は共に2ケタの数である。
→すだれ算利用図を書くと、こうなります。AとBを聞かれていますが、aとbを出すのがこの問題のポイントです。

3×a×b=84 から、a×b=28 と分かります。かけて28になる2数の組み合わせは、(1,28)と(2,14)そして(4,7)の3通りしかないので、(a,b)はこのどれかです。

このうち、(2,14)は「互いに素」でない(共に2で割れる)ので不適当です。
さらに(1・28)をすだれ算に入れてみると

Aは3×1で3になり、問題文の「2ケタ」に反してしまうのでやはり不適当です。

結局(4,7)の組み合わせのみが残り、これですだれ算を作ると、

12と21が答えと分かります。12,21

個数の問題

倍数の個数

無限に続く倍数ですが、範囲を区切れば個数が決まります。

基本公式

まず1からある数まで範囲を区切った場合の個数の出し方を覚える。

これを利用すれば、1からでない範囲内の個数も求められる。

試してみましょう♪

ケタ数指定

範囲ではなく、ケタ数で区切って個数を聞かれることがよくあります。上の考え方を利用します。

問題を試してみましょう！

もっとじっくり説明を読みたい人は「倍数の個数」を見て下さい。

公倍数の個数(ベン図の問題)

基本解法

公倍数は最小公倍数の倍数なので、上と同じ方法で求められる。

試しにテストしてみましょう

ベン図を使った問題(二数の場合)

「ABのどちらかで割り切れる数」や「ABどちらでも割り切れない数」を求める問題です。ベン図をイメージします。

この図(ベン図)が良く分からない/忘れた人は参考記事「集合算のまとめ」を見て下さい。

確認テストをどうぞ

ケタ数も組み合わせた問題もあります。

公倍数の個数(三数の場合)

「ABCどれでも割れる数」「AでもBでもCでも割れる数」や「AとBでは割れるがCでは割れない数」を求めます。

確認テストで実際に計算してみましょう(けっこう面倒くさいです…)

この図(ベン図)が良く分からない/忘れた人は参考記事「集合算のまとめ」を見て下さい。

確認テスト

約数の個数

書き出す

小さい数の約数は2つの数のかけ算に直すことで数えることができます。

素因数分解の形から約数の個数を出す

単純に書き出す以外にも、素因数分解ができる人なら計算で求めることができます。

確認テストで試してみましょう♪

詳しい説明を読みたい、問題を解きたい人は参考記事「約数の個数」を見て下さい。

逆向きの問題

逆に約数の個数から素因数分解の形を求める問題で、公式の形を観察すれば、以下の法則があるのが分かります。

確認テスト
「１から50までの数のうち、約数が3つのものは何個あるか？」
→1から50までに1以外の平方数は「4」「9」「16」「25」「36」「49」の6個。

詳しい説明を読みたい、問題を解きたい人は参考記事「約数の個数」を見て下さい。

(参考)約数の総和

上の形を使うと約数の合計(総和)を求めることもできます。

確認テスト
12の約数の総和を求めよ
12=2×2×3なので、約数の総和は(1+2+2×2)×(1+3)=7×4=28
(書き出し式でも、1+2+3+4+6+12=28 と同じになる)

詳しくは「約数の総和」を見て下さい。

公約数の個数(ベン図の問題)

基本

公約数は最大公約数の約数なので、公約数の個数は約数の個数と同じように計算で求められる。

ベン図を使った問題

「aかbのどちらかを割り切れる数」を求める問題

確認テストをどうぞ

余りの問題

非常によく見かける問題

余りの問題の全体像

「Nで割ると～余り」という問題を大きく分類すると次の通り

倍数の問題なのか約数の問題なのか、スタート方向を間違えないのが大切。

倍数と余り

倍数を使うと「～で割ると～余る」数を簡単にあらわすことができます。

プラス型「～の倍数＋○」とマイナス型「～の倍数－○」の2つの表現方法があります。

これを実際に使って個数や番目が関係する問題を解く時は等差数列に直すと簡単です。

等差数列で表す

7で割って3余る数つまり「7の倍数+3」を「ゼロ番目」から小さい方から書くと、7×0+3,7×➀+3,7×➁+3…で「3,10,17…」になります。

これは「はじめの数=3,公差=7の等差数列」と同じです。はじめの数=余り(3)、公差=割る数(7)になっているのに注目！です

あとは等差数列の問題として解けます(小5以降の受験生にはこちらをすすめます)

○番目の数・番目(N)を求める

等差数列の公式を使えば一発

N番目の数=はじめ+差×(N-1)
N={(N番目の数-はじめの数)÷差}+1

例

「近い数」を求める

7で割ると3余る数で200に一番近い数？
→

 

個数を求める

等差数列のN(番目)を出す式

N={(N番目の数-はじめの数)÷差}+1

を利用すれば一発で出せる

1から300までの整数のうち、7で割ると3余る数はいくつあるか？
→

 

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「倍数と余り(～で割ると余る数)」を見て下さい。

公倍数と余り

倍数と余りで出てきた「プラス型」「マイナス型」に加えて、はじめの一個を書き出して求める「書き出し型」があります。

三つの表現方法

基本(プラス型)

例:5で割っても7で割っても2余る数

→5と7の公倍数+2=「35の倍数+2」 になる。

マイナス型

例:5で割ると2余り、7で割ると4余る数

→5で割ると(5-2=)3足りず、7で割っても(7-4=)3足りない数
→5と7の公倍数－3=「35の倍数－3 」になる。

不一致型

プラス型でもマイナス型でもない場合、最初の一個を書き出しで求め、それに公倍数を足すと二番目・三番目が出てきます(つまり、等差数列になる)

例:5で割ると2余り、7で割ると3余る数

→プラス型でもマイナス型でもない…はじめの一個を書き出しで求めて17、そこから35づつ増えて行く。
(これは「はじめの数」=17「公差」=35の等差数列です)

不一致型の問題例

等差数列で表す

プラス型

マイナス型

書き出し型

 

「近い数」を求める問題

 

 

個数を求める問題

 

 

約数と余り

約数を使うと「～を割ると～余る数」を簡単に表現できます。

ただ、余りよりも大きいという制限に気をつけましょう。

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「約数と余り(～で割ると余る数)」を見て下さい。

公約数と余り

「約数と余り」と同様に考えます。

「Aを割ってもBを割ってもC余る数」
＝AとBの公約数のうちCより大きいもの
=AとBの最大公約数の約数のうちCより大きいもの

確認テスト(2020.2.13 作成中)

公倍数・公約数の文章題
(作成中)

公倍数の文章問題

 

公約数の文章問題

 

 

公倍数公約数の文章題は以上です

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保管セクション

素因数分解(すだれ算)

60をすだれ算で素因数分解していく例

60÷2=30→ 2)60
30÷2=15→ 2)30
15÷3=5→ 3)15
5
60＝2×2×3×5

すだれ算(二つの数)

左に(縦に)並んだ数をかけると最大公約数になり、
左と下に(横に)並んだ数全部をかけると最小公倍数になる。

すだれ算(三つの数)

二つの数しか割れない場合、最大公約数に注意