中学受験】(公)倍数(公)約数の基礎から応用問題まで全部まとめ♪

ただいまサイト修正作業のためダウンロードが出来なくなっています。ご迷惑をおかけします。

「倍数・約数・公約数・公倍数の基本から応用までマスターしたい!」という中学受験生の方、おまかせ下さい!

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が公倍約数の問題を分かりやすくまとめました♪

この記事を読みながら、分からないところは個別記事に飛ぶと詳しい解説や問題を解くことができますよ。

目次をクリックすると、読みたいところに飛べます♪

(公)倍数の基本事項

倍数の基礎

倍数は「九九」を延長したように続いていく数

倍数の意味
「AがBの倍数」
→➀AはBの2倍・3倍…
→➁AはBで割り切れる

2の倍数(と2の倍数でない数)には特別な名前が付いています。

偶数と奇数

→◆偶数…2の倍数である数
奇数… 〃 でない数

●見分け方
一の位が2,4,6,8,0のどれかなら偶数

「1236」→偶数
「1237」→奇数

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「倍数の基礎」を見て下さい

倍数の見分け方

分数の約分(→参考記事)をする時など、倍数をパッと見分けられると便利です。

倍数の識別法

大きく分けて2タイプあります。
●→ある位を見るタイプ
●→各位の和を見るタイプ

2の倍数(偶数)かどうか見分ける
1の位が0,2,4,6,8のどれか

3の倍数かどうか
各位の和が3の倍数

「195」→1+9+5=15。15が3の倍数なので◎

4の倍数かどうか
下2ケタが「00」か4の倍数

「9912」→下2ケタは「12」。12が4の倍数なので◎

5の倍数かどうか1の位が0か5

6の倍数かどうか(2段階で見分ける)
1の位が0,2,4,6,8のどれかで、各位の和が3の倍数

8の倍数かどうか→下3ケタが8の倍数

●9の倍数かどうか各位の和が9の倍数

10の倍数かどうか→1の位が0

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「倍数の見分け方」を見て下さい

公倍数

意味

言葉の意味は「2つ以上の数に共通する倍数」ですが、他にもいろんな意味があります。一番最後が大切です。

公倍数の意味

●公倍数
=2つ以上の数に共通する倍数
=2つ以上の数で割り切れる数

●最小公倍数=はじめの(一番小さい)公倍数

●公倍数は最小公倍数の倍数

求め方

学校で習うのは「書き出し法」です。

公倍数の求め方(書き出し法)

→2つの数のうち大きい方を2倍・3倍していき、
小さい方の倍数にもなったら、それが最小公倍数。
公倍数は最小公倍数を1倍・2倍…していけば良い

6と10の公倍数を見つける
小さい方の10を2倍3倍していく…
10の2倍は20。20は6の倍数ではないでないので公倍数でない。
10の3倍は30。30は6の倍数なので、これが最小公倍数。
最初の公倍数は180×1=180、2番目は60×2=120、3番目は60×3=180…

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「公倍数の意味と求め方」を見て下さい

中学受験では「すだれ算」を使って最小公倍数を計算で直接出します。(→この記事の下の方で説明しています)

(公)約数の基礎

約数の基礎

約数の意味

約数はもとの数を割って(分解して)できる数です。

約数の意味

「AがBの約数」
→❶B=A×○と分解できる。
→❷AはBを割り切れる

2が12の約数
12=2×6と分解できるし
12÷2=6 と割り切れる

求め方(書き出し)

無限に続く倍数と違い、約数には限りがあります。まずは書き出しで求められるようにします。

約数の求め方(書き出し法)

→X=A×B=C×D…と分解できる時、
A,B,C,D(,E,F)はXの約数である。

12の約数を求める
12=1×12=2×6=3×4と分解できるので
12の約数は1,2,3,4,6,12

実際に求めて下さい!

確認テスト

20の約数を全て書き出しなさい
→( 20=1×20=2×10=4×5なので 1,2,4,5,10,20 )

詳しい説明を読みたい問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「約数の基礎」を見て下さい(無料プリントのダウンロードができます)。

公約数

意味

言葉の意味としては「2つ以上の数に共通する約数」ですが、他にも意味があります。最後のものが重要です。

公約数の意味

=2つ以上の数に共通する約数

=2つ以上の数割り切れる数

●最大公約数=一番大きい公約数

●公約数は最大公約数の約数

求め方

公約数の求め方(書き出し法)

→2つの数のうち小さい方の約数を「書き出し」
で求め、その中で大きい方の約数にも
なっている数が公約数。
その中で一番大きなものが最大公約数
(公約数はみな最大公約数の約数になっている)

12と16の公約数を求める
小さい方12の約数は1,2,3,4,6,12で、このうち
16の約数になっている(割り切れる)のは1,2,4なので
公約数は1,2,4と分かる

確認テストをどうぞ

確認テスト

12と18の公約数を求めなさい
→( 12の約数は1,2,3,4,6,12で18の約数は1,2,3,6,9,18なので、共通する約数は1,2,3,6 )

12と18の公約数はどのような数か?一言で表現しなさい
→( 12と18の最大公約数が6なので、12と18の公約数は6の約数 )

もっと詳しい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「公約数の意味と求め方」を見て下さい。

中学受験では最大公約数を「すだれ算」を使って計算で出します(→この記事の下の方で説明しています)

範囲と(公)倍数(中学受験)

爽茶そうちゃ
ここからは中学受験の内容です!

~に一番近い倍数

問題文の指定方法に注意します。

「一番近い」倍数

●Nより小さいAの倍数で、Nに一番近い数
→A×(N÷A) *わり算の余りは無視

100より小さい6の倍数のうち、一番100に近いもの
→6×(100÷6)=6×16=96

●Aの倍数のうち、一番Nに近い数
→A×(N÷A) と A×(N÷A)+A を比べる *わり算の余りは無視

6の倍数のうち、一番100に近いもの
→6×(100÷6)=96 と 96+6=102 を比べて、102が答え。

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

200より小さい7の倍数で一番200に近いのは何か?
→( 7×(200÷7)=7×28=196 )

7の倍数で一番200に近いのは何か?
→( 196 と 196+6 を比べる。196と203を比べて203 )

くわしい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は本サイトの「範囲と(公)倍数」を見て下さい

素因数分解と約数(すだれ算)

応用問題を解くには「素因数分解」を使います

素数

「1×その数」にしか出来ない数を「素数(そすう)」という。

素数

→「1×その数」という形にしか分解できない数

(例) 2→素数、3→素数
6→違う(2×3に分解できる)
1→違う(分解できない)

●よく使う基本的な素数
→2,3,5,7…

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

7は素数ですか?→( 1×7にしか分解できないのでO )

9は 〃 ?→( 1×9以外にも3×3と分解できるのでX )

11は 〃 ?→( 1×11にしか分解できないのでO )

53は 〃 ?→( 1×53にしか分解できないのでO )

素因数分解のやり方

2つのやり方があります。

ニ分解式

2つの数のかけ算にどんどん分解する方法。

素因数分解(二分解式)

→素数になるまでどんどん分解する方法

60を二分解式で素因数分解する
60=6×10=2×3×2×5
=2×2×3×5←小さい順に並べ直して完成

すだれ算

「答えを下に書いていく割り算」すだれ算で分解する方法。小さい素数で割っていく。

確認テスト
(2021.7.29作成中)

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「すだれ算と素因数分解のやり方」を見て下さい。

素因数分解を使った応用問題

約数の個数を素因数分解から求める

→この先「約数の個数」で解説(解説へジャンプ)

素因数分解の構成を考える問題

素因数分解した時の、素数の種類と個数を使ったパズルのような問題。

A×600=B×B×B を成り立たせる最小のBを求めなさい
→600を素因数分解すると2×2×2×3×5×5なので、A×600=A×2×2×2×3×5×5 で、これをB×B×Bの形にするには(2×3×5)×(2×3×5)×(2×3×5)にする必要があるので、B=(2×3×5)と分かる

確認テストをどうぞ
(2021.7.29作成中)

詳しい説明を読みたい人は関連記事「素因数分解の応用問題」を見て下さい

割り切れる回数を求める

ある大きな数を小さな素数で割っていくと、何回割り切れるかという問題

素数で割り切れる回数

ある数Nを素数Aで割り切れる回数
=Nを素因数分解した時のAの個数

6,7,8を2で何回割り切れるか
6=2×3 →1回
7(素数) →0回
8=2×2×2 →3回
1680を2で何回割り切れるか
1680=2×2×2×2×3×5×7 →4回

少し複雑にした問題

素数×素数で割り切れる回数

●ある数Nを素数A×素数B(A<B)で
割り切れる回数
=Nを素因数分解した時の
AとBの少ない方の個数

2520を6で何回割り切れるか
6=2×3
2520=2×2×2×3×3×5×7 で、
2と3では3が少ない →2回

確認テスト
(2021.7.29作成中)

詳しい説明を読みたい人は関連記事「素因数分解の応用問題」を見て下さい

末尾の0の個数を求める

大きさを直接書かずに「1×2×3×4×5…」のようにかけ算で示された数の末尾に0がいくつ並ぶか聞かれる問題

末尾に並ぶ0の個数

10で割り切れる回数と等しい
10=2×5なので、
素因数分解して2と5の少ない方の個数

A=1×2×3×…×50 の末尾の0の個数
→5の方が少ないので5がいくつあるか調べる
(50÷5)+(50÷25)=12個

確認テスト

詳しい説明を読みたい人は関連記事「素因数分解の応用問題」を見て下さい

素因数分解と公約数・公倍数

すだれ算を使うと、最大公約数と最小公倍数を一気に求められます。

すだれ算のやり方

2つの数のすだれ算

2つの数を並べて公約数で割っていく。

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

45と75の最大公約数と最小公倍数をすだれ算で求めよ

→( すだれ算をすると下のようになるので、最大公約数=3×5=15、最小公倍数=3×5×3×5=225 とわかる

すだれ算
3
45
75
5
15
25
3
5
最大公約数3×5=15
最小公倍数3×5×3×5=255

詳しい説明を読みたい・もっと問題を解きたい人は「素因数分解(すだれ算)と公約数公倍数」を見て下さい。

3つの数のすだれ算

数が3つある場合も同じように行うが、二数しか割れない素数が出てきた場合に特殊なやり方をする。

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

90と50と210の最大公約数と最小公倍数をすだれ算で求めよ。

すだれ算
2
90
50
210
3
45
25
105
5
15
25
35
3
5
7
最大公約数2×5=10
最小公倍数2×3×5×3×5×7=3150

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「三つの数のすだれ算」を見て下さい。

すだれ算を利用した問題

最大公約数と最小公倍数から、もとの2数を求める問題では「簡略化したすだれ算」の形を利用します。

簡略化したすだれ算
最大公約数→6)12 18

2  3
最小公倍数は6×2×3=36

ここに現れている数の関係を公式風にすると、こうなります。

すだれ算利用の準備図:
X)A B

a b

(aとbは互いに素*)
最大公約数=X
最小公倍数Y=X×a×b
A=X×aB=X×b

確認テスト
最大公約数が3で最小公倍数が84である2つ数を求めよ。ただし2つの数は共に2ケタの数である。

利用図を書く:
3)A B

a b

最大公約数=3
最小公倍数84=3×a×b

a=4,b=7の場合:
3)12 21

4  7

最小公倍数84=3×4×7
A=3×4=12B=3×7=21

AもBも2ケタになります♪

12と21が答えと分かります。

詳しい説明を見たい人は関連記事「すだれ算と素因数分解」内の「すだれ算を利用した問題」を見て下さい。

個数の問題

倍数の個数

無限に続く倍数ですが、範囲を区切れば個数が決まります。

基本公式

まず1からある数まで範囲を区切った場合の個数の出し方を覚える。

倍数の個数(1からNまで)

●1からNまでの間にあるAの倍数の個数
N÷A個(余りは無視)

1から100までの間にある3の倍数の個数
→100÷3=33…1→33 個

これを利用すれば、1からでない範囲内の個数も求められる。

倍数の個数(NからMまで)

●NからMまでの間にあるAの倍数の個数
→(M÷A)-((N-1)÷A) 個(余りは無視)
*N-1になる事に注意!

50から100までの間にある3の倍数の個数
→(100÷3)-((50-1)÷3)=33-16=7 個

試してみましょう♪

確認テスト(タッチで解答表示)

100から200までの間にある7の倍数の個数は?
→( (200÷7)-((100-1)÷7)=28-14=14 )

ケタ数指定

範囲ではなく、ケタ数で区切って個数を聞かれることがよくあります。上の考え方を利用します。

倍数の個数(ケタ数指定)

●1ケタのAの倍数の個数
=1から9までの間のAの倍数の個数
→9÷A 個(余りは無視)

●2ケタのAの倍数の個数
=10から99までの間のAの倍数の個数
→(99÷A)-(9÷A) 個(余りは無視)

2ケタの7の倍数の個数を求める
→(99÷7)-(9÷7)=14-1=13 個

●3ケタのAの倍数の個数
=100から999までの間のAの倍数の個数
→(999÷A)-(99÷A) 個(余りは無視)

問題を試してみましょう!

確認テスト

4の倍数で2ケタのものは何個あるか?
→( (99÷4)-(9÷4)=24-2=22 )

11の倍数で3ケタのものは何個あるか?
→( (999÷11)-(99÷11)=90-9=81 )

もっとじっくり説明を読みたい人は「倍数の個数」を見て下さい。

公倍数の個数(ベン図の問題)

基本解法

公倍数は最小公倍数の倍数なので、上と同じ方法で求められる。

試しにテストしてみましょう

確認テスト

3と4の公倍数は1から300までの間に何個あるか?
→( 3と4の最小公倍数は12なので、12の倍数が1から300までの間に何個あるか求める )
→( 300÷12=25 )

3と4の公倍数で200より小さく、一番200に近いものは?
→( 12の倍数で200より小さく一番200に近いものを求める )
→( 200÷12=16 12×16=192 )

3と4の公倍数で一番200に近いものは?
→( 上で出した192とその次の12の倍数204を比べて、近いのは204 )

ベン図を使った問題(二数の場合)

「ABのどちらか割り切れる数」や「ABどちらでも割り切れない数」を求める問題です。ベン図をイメージします。

倍数の個数(二数の条件)

ベン図を使った公倍数の個数問題右図のように条件内のすべての数の個数をN,
Aの倍数(Aで割り切れる数)の個数をa,
Bの倍数(Bで割り切れる数)の個数をb,
ABの公倍数(AでもBでも割り切れる数)の個数をc とする時

●ABどちらかの倍数(AかBで割り切れる数)の個数
=(a+b)-c *右図の「ピーナッツ」形

●ABどちらの倍数でない数(AでもBでも割り切れない数)の個数z
=N-{(a+b)-c}

この図(ベン図)が良く分からない/忘れた人は参考記事「集合算のまとめ」を見て下さい。

確認テストをどうぞ

確認テスト

1から100までの整数がある。
2または3で割り切れる整数は何個あるか?
→1から100までで、2で割り切れる数=2の倍数の個数は( 100÷2=50個(a) )
→同様に3で割り切れる数=( 3の倍数の個数は100÷3=33個(b) )
→2でも3でも割り切れる数=( 2と3の公倍数=6の倍数の個数は100÷6=16個(c) )
→よって2または3で割り切れる数の個数は( a+b-c=50+33-16=67(ピーナッツ型) )

2でも3でも割り切れない整数は何個あるか?
→( 範囲内にある数(N)は全部で100個なので、N-ピーナッツ=100-67=33 )

ケタ数も組み合わせた問題もあります。

応用テスト

3ケタの整数のうち、12でも18でも割り切れない数は何個あるか?
→( 3ケタの整数は全部(N)で999-99=900個。
このうち12の倍数の個数(a)は(999÷12)-(99÷12)=83-8=75個。18の倍数の個数(b)は(999÷18)-(99÷18)=55-5=50個(b)。
12と18の公倍数(c)=36の倍数の個数は )(999÷36)-(99÷36)=27-2=25個(c)。
よって12でも18でも割り切れない数の個数(N-(a+b-c))は900-(75+50-25)=800
)

公倍数の個数(三数の場合)

「ABCどれでも割れる数」「AでもBでもCでも割れる数」や「AとBでは割れるがCでは割れない数」を求めます。

倍数の個数(三数の条件)

右図のように条件内のすべての数の個数をN,
Aの倍数(A割り切れる数)の個数をa,
Bの倍数(B割り切れる数)の個数をb,
Cの倍数(C割り切れる数)の個数をc,
ABの公倍数の個数をp,BCの公倍数の個数をq,ACの公倍数の個数をr
ABCの公倍数(AでもBでもCでも割り切れる数)の個数をsとする時

●ABCどれかの倍数(AかBかCで割り切れる数)の個数
=(a+b+c)-(p+q+r)+s *右図の「クローバー」形
これは公式を覚えなくてもa,b,c,p,q,r,sからu,v,wとx,y,zをコツコツと求めて答えが出せればOKです

●ABCどれの倍数でもない数(AでもBでもCでも割り切れない数)の個数z
=N-クローバー形の数

確認テストで実際に計算してみましょう(けっこう面倒くさいです…)

確認テスト
1から1000までの数について以下の問いに答えなさい。

3でも4でも5でも割り切れる数(p)の個数は?
→( 3,4,5の公倍数=の3,4,5の最小公倍数60の倍数 )の個数を求めればよい
→( 1000÷60=16余り40なので、16 )

3と4では割り切れるが5では割り切れない数(u)の個数は?
→( 3,4の公倍数の個数(p)から3,4,5の公倍数の個数(s)を引いたもの )を求めれば良い
→( 3,4の公倍数=12の倍数の個数は、1000÷12=83余り4より83個 )
→( 83-16=67 )

3か4か5で割り切れる数は何個あるか?
→同じように、( 4と5では割り切れるが3では割り切れない数(v)、3と5では割り切れるが4では割り切れない数(w) )を求めていく

3でも4でも5でも割り切れない数は何個あるか?

この図(ベン図)が良く分からない/忘れた人は参考記事「集合算のまとめ」を見て下さい。

確認テスト

約数の個数

書き出す

小さい数の約数は2つの数のかけ算に直すことで数えることができます。

約数の個数(書き出し)

●Aの約数の個数
→AをP×Qの形に直せる時、
PとQがAの約数であることを利用し
書き出して数える

12の約数
12=1×12=2×6=3×4 なので
→12の約数は1,2,3,4,6,12 の6個

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

18の約数は何個か?
→( 18=1×18=2×9=3×6 なので、1,2,3,6,9,18の6個 )

素因数分解の形から約数の個数を出す

単純に書き出す以外にも、素因数分解ができる人なら計算で求めることができます。

約数の個数の素因数分解での求め方

確認テストで試してみましょう♪

確認テスト(タッチで解答表示)

12の約数の個数を求めよ
→( 12=2×2×3(2、3回)なので、12の約数は(+1)×(+1)=2×3=6 )

90の約数は何個あるか?
→( 90=2×3×3×5(2回、3回、5回)なので、90の約数は(+1)×(+1)×(+1)=2×3×2=12 )

詳しい説明を読みたい、問題を解きたい人は参考記事「約数の個数」を見て下さい。

逆向きの問題

逆に約数の個数から素因数分解の形を求める問題で、公式の形を観察すれば、以下の法則があるのが分かります。

約数の個数と素因数分解

●約数が1個の数→「1」だけ

●約数が2個の数→素数

●約数が3個の数→平方数(素数×素数)

●約数が4個の数
→素因数分解すると「A×B」または「A×A×A」の形になる数

20までの整数で約数が4個の数
→「A×B」形は6(2×3),10(2×5),14(2×7),15(3×5)
「A×A×A」形は8(2×2×2)で、合計5個

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

「1から50までの数のうち、約数が3つのものは何個あるか?」
→( 1から50までに1以外の平方数は「4」「9」「16」「25」「36」「49」の6個。)

詳しい説明を読みたい、問題を解きたい人は参考記事「約数の個数」を見て下さい。

(参考)約数の総和

上の形を使うと約数の合計(総和)を求めることもできます。

素因数分解と約数の総和

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

12の約数の総和を求めよ
→( 12=2×2×3なので、約数の総和は(1+2+2×2)×(1+3)=7×4=28 )
(書き出し式でも、1+2+3+4+6+12=28 と同じになる)

詳しくは「約数の総和」を見て下さい。

公約数の個数(ベン図の問題)

基本

公約数は最大公約数の約数なので、公約数の個数は約数の個数と同じように計算で求められる。

確認テスト(タッチで解答表示)

270と450の公約数の個数は?
→( 270と450の最大公約数は90。90=2×3×3×5なので、約数の個数は(+1)×(+1)×(+1)=12 )

ベン図を使った問題

「aかbのどちらか割り切れる数」を求める問題

約数の個数(複数の条件)

ベン図を使った公約数の個数問題
右図のように条件内のすべての数の個数をN,
Aの約数(A割り切れる数)の個数をa,
Bの約数(B割り切れる数)の個数をb,
ABの公約数(AB両方割り切れる数)の個数をc とする時

●ABどちらかの約数(AかB割り切れる数)の個数
=(a+b)-c *右図の「ピーナッツ」形

●ABどちらの約数でない数(ABどちらも割り切れない数)の個数z
=N-{(a+b)-c}

確認テストをどうぞ

確認テスト

270か450どちらかを割り切れる数の個数は?
→( 270の約数の個数は270=2×3×3×3×5より約数は2×4×4=16個(a) )
→( 450の約数の個数は450=2×3×3×5×5より約数は2×3×3=18個(b) )
→( 270と450の公約数の個数は最大公約数90の約数で12個(c) )
→( 求める個数は(a+b)-c=(16+18)-12=22個 )

爽茶そうちゃ

個数の問題は以上です。次は「余り」の問題です。

 

余りの問題

非常によく見かける問題

余りの問題の全体像

「割ると~余り」という問題を大きく分類すると次の通り

「余りの問題」の分類

●「N割ると…な数」→Nの倍数の問題」

7割ると3余る
→7の倍数+3 または 7の倍数-4

●「N割ると…な数」→Nの約数の問題

50割ると4余る
→(50-4=)46の約数で4より大きい数

倍数の問題なのか約数の問題なのか、スタート方向を間違えないのが大切。

倍数と余り

倍数を使うと「~で割ると~余る」数を簡単にあらわすことができます。

プラス型とマイナス型

プラス型「~の倍数+○」とマイナス型「~の倍数-○」の2つの表現方法があります。

倍数と余り(Nで割るとA余る数)

●プラス型の表現=「Nの倍数+A

●マイナス型の表現=「Nの倍数-(N-A)

例:7で割ると3余る数
→プラス型の表現=「7の倍数+3 」
→マイナス型の表現=「7の倍数-4

これを実際に使って個数や番目が関係する問題を解く時は等差数列に直すと簡単です。

等差数列で表す

7で割って3余る数つまり「7の倍数+3」を「ゼロ番目」から小さい方から書くと、7×0+3,7×➀+3,7×➁+3…で「3,10,17…」になります。

これは「はじめの数=3,公差=7の等差数列」と同じです。はじめの数=余り(3)、公差=割る数(7)になっているのに注目!です

あとは等差数列の問題として解けます(小5以降の受験生にはこちらをすすめます)

Nで割るとA余る数

→「はじめの数=A,公差=Nの等差数列」

7で割ると3余る数
はじめの数=3,公差=7の等差数列
3 ②10 ③17 ④24…

○番目の数・番目(N)を求める

等差数列の公式を使えば一発

N番目の数=はじめ+差×(N-1)
N={(N番目の数-はじめの数)÷差}+1

「近い数」を求める

7で割ると3余る数で200に一番近い数?

 

個数を求める

等差数列のN(番目)を出す式

N={(N番目の数-はじめの数)÷差}+1

を利用すれば一発で出せる

1から300までの整数のうち、7で割ると3余る数はいくつあるか?
→はじめの数3、差7の等差数列のN番目が300だとしてNを求めると、N=((300-3)÷7)+1=43.4… つまり44番目は300を越えてしまうので、300までには43個あると分かる

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「倍数と余り(~で割ると余る数)」を見て下さい。

公倍数と余り

倍数と余りで出てきた「プラス型」「マイナス型」に加えて、はじめの一個を書き出して求める「書き出し型」があります。

三つの表現方法

基本(プラス型)

例:5で割っても7で割っても2余る数

→5と7の公倍数+2=「35の倍数+2」 になる。

マイナス型

例:5で割ると2余り、7で割ると4余る数

→5で割ると(5-2=)3足りず、7で割っても(7-4=)3足りない数
→5と7の公倍数-3=「35の倍数-3 」になる。

不一致型

プラス型でもマイナス型でもない場合、最初の一個を書き出しで求め、それに公倍数を足すと二番目・三番目が出てきます(つまり、等差数列になる)

例:5で割ると2余り、7で割ると3余る数

→プラス型でもマイナス型でもない…はじめの一個を書き出しで求めて17、そこから35づつ増えて行く
(これは「はじめの数」=17「公差」=35の等差数列です)

不一致型の問題例
5で割ると2余り、7で割ると3余る数について答えよ
(1)小さい方から数えて5番目はいくつか→始めの数17、差35の等差数列の5番目だから、17+35×(5-1)=157
(2)500に一番近い整数はいくつか→N番目が500だとしてNを求めると、N=(500-17)÷35+1=14.8 なので、500の前後は14番目と15番目。14.「8」という数から15のほうが近いと予想がつく(一応確認すると、14番目=17+35×(14-1)=472、15番目=472+35=507 で15番目の方が近い)

等差数列で表す

プラス型
マイナス型
書き出し型

 

「近い数」を求める問題

 

 

個数を求める問題

 

 

約数と余り

約数を使うと「~を割ると~余る数」を簡単に表現できます。

Aを割るとB余る数

=(A-B)の約数でBよりも大きいもの

「120を割ると8余る数」
→(120-8)=112の約数で8より大きいもの

余りよりも大きいという制限に気をつけましょう。

詳しい説明を読みたい・問題を解きたい人は「約数と余り(~で割ると余る数)」を見て下さい。

公約数と余り

「約数と余り」と同様に考えます。

「Aを割ってもBを割ってもC余る数」
=AとBの公約数のうちCより大きいもの
=AとBの最大公約数の約数のうちCより大きいもの

確認テスト(2020.2.13 作成中)

爽茶そうちゃ
最後は文章問題です。

公倍数・公約数の文章題
(作成中)

公倍数の文章問題

 

公約数の文章問題

 

 

公倍数公約数の文章題は以上です

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これで数列のまとめは終了です。
オススメ教材
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素因数分解(すだれ算)

60をすだれ算で素因数分解していく例

60÷2=30→ 2)60
30÷2=15→ 2)30

15÷3=5→ 3)15
5
60=2×2×3×5
すだれ算(二つの数)

すだれ算を使った最大公約数と最小公倍数の求め方
左に(縦に)並んだ数をかけると最大公約数になり、
左と下に(横に)並んだ数全部をかけると最小公倍数になる。

すだれ算(三つの数)

三つの数の最大公約数と最小公倍数の求め方。変則のすだれ算
二つの数しか割れない場合、最大公約数に注意

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