中学受験】売買(損益)算の基本~応用問題の図と解き方【単数/複数

「売買損益算が難しい!」という中学受験生の方、そのとおり!です…

実は売買損益算は「1個の品物の問題」「多くの品物の販売の問題」という解き方が別の2つのパートから出来ているので普通の特殊算の2倍のボリュームがあるんです!

そのため「1個の品物を売る場合」→「多数の品物を売る場合」の順に確実に解き方を学ばないと途中で分からなくなってしまいます(汗)

「大変だなぁ…」と思ったかもしれませんが、安心して下さい!

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が売買損益の2つのパートを順番に分かりやすく説明します。

5年の一学期までに前半を、夏休み中に後半を学習すれば良いでしょう。

記事を読んで例題を解けば売買損益算が苦手ではなくなりますよ♪

売買で「もうける」仕組み

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

多くの小学生は物を売って儲けた経験が無いので、まず「もうける」仕組みを理解させると良いです。

クイズだと思って、試しに1問答えてみましょう♪

1-0:売買の仕組み

A君は「処分品」として100円で売られているフィギュアを見つけて買って、家で色を塗り「限定フィギュア1000円で買わない?」とお金持ちのB君に声をかけました。
「色がカッコいいから欲しいけど、ちょっと高いなあ」と迷うB君に、A君は「じゃあ半額でいいよ」と答えます。B君は「やった!ラッキー!」と喜んで買ってくれました。
A君は何円もうかりましたか?
解答

1000円で売ろうとして半額に値下げしたので500円で売ったことになります。しかし、500円全額が「もうけ」になるわけではありません。

お店でフィギュアを買うのに100円かかっているので500-100=400円がもうけになります

400

今の問題ではフィギュアの値段が3種類でてきました。それぞれ名前がついていて、売買の問題でも使われるので覚えて下さい。

①お店で買った値段(=100円)
品物を用意するのにかかった金額を「原価(げんか)」や「仕入値(しいれね)」と呼びます。

②最初につけた値段(=1000円)は「定価(ていか)」と呼びます

③実際に売れた(値引きした)値段(=500円)を「売値(うりね)」や「売価(ばいか)」と呼びます。

このように、価格は❶原価(100)→❷定価(1000)→❸売値(500)と変わり、最初の原価と最後の売値の差(500-100)が「もうけ」=「利益」になります。

途中の値段(定価)は利益と無関係なことに注意しましょう!

売買と利益

◆価格の変化
❶原価❷定価❸売値

◆利益
利益=❸売値❶原価

(例)原価100円の品物に1000円の定価を付けて
500円に値引きして売る
→利益は500-100=400円

テストで確認してみましょう。

1:売買のしくみ

以下の問いに答えなさい。
1000円で作った人形を2.5倍の定価で販売したが、売れないので1000円値下げしたら売れた。利益はいくらか?
解説

原価1000→(x2.5)→定価2500→(-1000)→売値1500なので、利益は1500-1000=500円

500
300円で買ったバナナを500円で販売したが売れないので次の日に150円値下げしたのにまだ売れない。さらに100円値下げしたらやっと売れた。利益はいくらか?
解説

原価300→定価500→(-150円)→売値350→(-100)→新売値250

最後の売値(250)が原価(300)より低くなっていて利益はありません!

300-250=50円の損失(いわゆる「赤字」)

0(なし)

次は、もう少し本格的に売買計算を行いますが、その前に…

価格の決定と図

さっきは定価の決め方はテキトーで売値も「○円値下げ」と決めていましたが、実際には「増し」「引き」など割合を使って決定することが多く、受験算数の問題もほとんどそうなっています。

そこで割合を復習します。「大丈夫♪」な人はジャンプして下さい

割合と「増し」「引き」(復習)

割合の基本知識を復習します。

割合の意味

割合の意味

→あるモノが別のモノの「何倍」かを表した数

割合の公式(矢印図)

●矢印図
3つの数が「A×B=C」の関係にある時
矢印の向きに沿ってA,B,Cを並べた図
B(矢の数)が割合を示している

(例)「2×3=6」の矢印図
基本形
「2×3=6」
「2の3倍は6」
「6は2の3倍」
発展形

分かりやすい割合の図「矢印図」の発展形

逆向きの矢印を付ける

●矢印図による割合の公式
さきの数(6)=もとの数(2)×矢の数(3)
矢の数(3)=さきの数(6)÷もとの数(2)
もとの数(2)=さきの数(6)÷矢の数(3)

くわしくは姉妹サイト「そうちゃ式別館」の記事「割合の基本」を見て下さい

割合の単位

パーセントや歩合はそのままでは矢の数として計算に使えません。「~倍」という小数・分数に直します。

パーセント(%)(百分率)の意味

→あるものを100等分したうちのいくつか

「1%」→あるものを100等分したうちの一つ
「100%」→あるもの全体(×1と同じ)

「~%」から「~倍」(その2)

%」の分母に100をつける

「100%」→「×100100-(約分)→「×1」

「200%」→「×200100-(約分)→「×2」

「50%」→「×50100-(約分)→「×12
「50%」→「×50100-(または)→「×0.5」

「25%」→「×25100-(約分)→「×14
「25%」→「×25100-(または)→「×0.25」

「6%」→「×6100-(約分)→「×350
「25%」→「×25100-(または)→「×0.06」

%」が小数なら分母に1000や10000を

「12.5%」→「×1251000-(約分)→「×18
「25%」→「×25100-(または)→「×0.125」

歩合は%に直すようにするとラクです。

歩合を%と~倍(小数・分数)に

●基本ルール
1割=10%=10100=×0.1
1=1%=1100=×0.01
1りん=0.1%=101000=×0.01

(例)
4厘3分2割=.420%=20100=×0.2
4厘2割3分.423%=23100=×0.23
2割3分4厘23.4%=2341000=×0.234

増し引き

もと(100%,10割)から「増える」「減る」どちらになるかを考えるのが重要

「増し」の意味

もとの数(100%、10割)に加える

(例)10%増し
=100%+10%=110%=もとの数×1.1

(例)3割増し
=(10割+3割=13割=もとの数×1.3
または=30%増し=130%=もとの数×1.3

(例)3割2分増し
=32%増し=(100+32)%=132%=×1.32

「引き」の意味

もとの数(100%、10割)から引く

(例)10%引き
=100%ー10%=90%=×0.9

(例)3割引き
=10割-3割=7割=×0.7
または=30%引き=70%=×0.7

(例)3割2分引き
=32%引き=100%ー32%=68%=×0.68

くわしく復習したい人は姉妹サイト「そうちゃ式別館」の記事「割合の単位」を見て下さい。

値段の変化を計算する

以上の割合の知識を使って、値段の変化を計算します。

原価→定価

定価を決めるときは、「原価の40%増し」「4割の利益を見込んで」など割合で表現します。

・「40%増し」=「100%+40%」=「140%」=「×1.4」です
・「4割の利益を見込んで」=「4割増し」=「40%増し」なので、同じく=「×1.4」です

例えば「原価が1200円の品物に50%増しの定価をつけた」場合、原価1200×1.5=定価1800になります。

「矢印図」にするとこうなります。

原価に50%の利益を
見込んで定価をつける

原価×1.5=定価
の矢印図になる

定価→売値

定価の後に、売値を決めるときは「定価の25%引き」「定価の3割5分引き」などの表現を使います。

・「25%引き」=「100%-25%」=「75%」=「×0.75」です
・「3割5分引き」=「35%引き」=「100-35」=「65%」=「×0.65」です

例えば、「定価1800円の品物を2割引きで売った」場合、定価1800×0.8=売値1440になります。

「矢印図」にするとこうなります。

「定価の2割引きの売値をつける」

「定価×0.8=売値」
の矢印図になる

原価→定価→売値。そして利益

上の2つの変化をまとめると、品物を準備してから売り渡すまでの「原価→定価→売値」の変化は「二段階の矢印図」になります。

例えば「原価が1200円の品物に50%増しの定価をつけ、2割引きで売った」を矢印図にすると、こうなります。

「原価が1200円の品物に
50%増しの定価をつけ
2割引きで売った」

二段の矢印図になります

3つの価格に加えて「利益」を書いて完成です。「利益=原価ー売値」でしたね。

「原価が1200円の品物に
50%増しの定価をつけ
2割引きで売った時の利益

原価1200と売値1440
の差240が利益になります

まずはこの矢印図を書ける(イメージできる)ようにして下さい

確認テストをどうぞ

確認テスト(タッチで解答表示)

原価が2000円の品物に3割の利益を見込んで定価をつけ15%引きで売った時の利益は?
→(「3割の利益を見込む」=「3割増し」=×1.3なので、定価は2000×1.3=2600円 )
→(「15%引き」=「100-15=85%」=×0.85なので、売値は2600×0.85=2210円 )
→( 利益=売値2210-原価2000=210円になる )

原価が1500円の品物に40%の利益を見込んで定価をつけ200円引きで売った時の利益は?
→(「40%の利益を見込む」=「4割増し」=×1.4なので、定価は1500×1.4=2100円 )
→( 売値は2100-200=1900円 )
→( 利益=売値1900-原価1500=400円になる )

価格決定の線分図

矢印図でも問題は解けますが、もっと直感的に簡単に解くために「線分図」にしてみましょう。

塾のテキストや参考書で「原価定価売値を1本にまとめた線分図」をよく見かけますが、オススメしません。

(まとめた図)

➀「まとめた」図というのは問題を読みながら上手に書くのは大変
➁価格の「移り変わり」が分かりにくい

ここでは、先程の「矢印図」を素直に線分図にする方法を紹介します

書き方・解き方を理解

さっきと同じ問題を線分図で解いてみましょう

3-0:線分図の書き方

原価が1200円の品物に50%増しの定価をつけ、2割引きで売った。利益はいくらか?
解説

上から原価、定価、売値の線分図を3段で並べ、矢印でつなぎます。

「原価が1200円の品物に
50%増しの定価をつけ
2割引きで売った」線分図

三段の線分図ができる

そして利益を原価と売値の差として書きます。

「原価が1200円の品物に
50%増しの定価をつけ
2割引きで売った時の利益」線分図

線分図にすると
「売値-原価=利益」が一目で分かる。
240

これが売買損益算で使う「多段の線分図」です。

「矢印図」と「線分図」を並べるとこうなります。

「原価が1200円の品物に
50%増しの定価をつけ
2割引きで売った時の利益
矢印図
=
線分図

2つの図は同じ内容を表している

このような「短」「長」「中」の三本と「短・中の差」の四本という「4段の線分図」が一番多く利用するパターンです。

単数売買の線分図

●上から「原価」「定価」「売値」を並べる

●利益は売値と原価の差になる

(例)原価が1200円の品物に
50%増しの定価をつけ
2割引きで売った利益→240円

類題で定着

(2021.8.14作成中)

線分図が書けるようになれば、問題を解く準備は完了です♪
もっと問題を解きたい人は記事下の「おすすめ教材」を見て下さい

単独売買の問題

爽茶そうちゃ
ここからは売買の問題を解いていきましょう!

「相当還元算」と似た解き方になるので、関連記事「相当還元算の図の書き方・解き方」を見ておくと良いでしょう。

基本解法(原価を求める)

利益から原価を求めるのが基本問題です。

4-1-0:原価を求める

ある品物に原価の3割の利益を見込んで定価をつけ1割引きで売ったところ850円の利益になった。原価を求めなさい。

原価を➀とおくと、定価は➀×1.3=1.3に、売値は1.3×0.9=1.17になります。

図1

原価➀から定価と売値を丸数字で表す

よって利益は1.17-➀=0.17になり、これが850円にあたります。

図1:

利益0.17=850¥から、➀を計算する

0.17=850円なので、➀=850÷0.17=5000で、原価は5000円と分かりました。

5000

確認テスト(2021.8.14作成中)

定価(の割合)を求める

原価と利益から、定価(の割合=定価の付け方)を求める問題。まずは図を書いてみること。

4-2-0:定価(の割合)を求める

5000円の品物に定価をつけ20%引きで売ったところ1000円の利益があった。原価の何割増しの定価をつけたか
解説

まず書けるだけの線分図を書いてみる

図1:

問題文の数値を図にする

図を見ると、売値=原価5000+利益1000=6000円。と分かる。さらに矢印を逆にすると定価=売値6000÷0.8=7500円と分かる♪

図2:

矢印を逆にすると
定価は売値÷0.8=7500と分かる

原価から定価への割合(矢の数)は7500(先の数)÷5000(元の数)=1.5と求められる。

図3:

定価は原価×1.5なので
「5割増し」と分かる

×1.5なので「5割増し」の定価をつけたと分かりました

5割増し

確認テスト(2021.8.14作成中)

売値(値引きの割合)を求める

原価・定価と利益から、何割引きの売値をつけたのか求める

4-3-0:値引きの割合を求める

2000円の品物に原価の7割5分増しの定価をつけてから値引きして売ったところ800円の利益があった。何割引きで売ったか?
解説

まずは書けるだけの図を書く。

図1:

問題文の数値を図にする

問題文から定価は2000×1.75=3500円。売値は2000+800=2800円と求められる。

図2:

定価と売値を求める

?=2800÷3500=0.8なので、売値は定価の8割=2割引きしたと分かる。

図3:

売値は定価×0.8なので
定価の2割引きと分かる♪
2割引き

確認テスト(2021.8.14作成中)

引き算まじりの問題

割合だけでなく引き算がまじった問題は少し難しくなります。パッと分からない場合、すぐに図を書きましょう。

4-4-0:引き算まじりの問題

ある品物に6割増しの定価をつけ3500円引きで売ったところ、利益が原価の10%になった。原価は?
解説

とりあえず、問題文の数値を図にします

図1:

問題文の数値を図にする

売値は原価➀+利益0.1=1.1になり、定価1.6との差=0.5が3500です。

図2:

定価と売値の差0.5=3500と分かる

「3500=0.5」なので、原価➀=3500÷0.5=7000円と分かります♪

図3:

原価➀が出ました♪
7000

確認テスト(2021.8.14作成中)

2種類の売値

2種類の売値から定価①と原価を求める問題

基本解法

4-5-0:2種類の売値

ある品物を定価の1割引きで売ると210円の利益に、3割引きで売ると30円の利益になった。定価と原価を求めなさい。
解説

定価の決め方が書いていないので、原価ではなく定価を➀として図を書きます。売値が2種類あるので、ここでは2つの図を書きます(テストの時は丸数字だけでも良い)

図1:

売値1と売値2を丸数字で表しておく

原価と売値10.9の差が利益210円、原価と売値20.7の差が利益30円になっています。

これだけでは良く分からないので、「売値1」「原価」「売値2」を並べた線分図を書きます。

図2:

売値1,売値2と原価を並べると
線分図の問題になる

差に注目すると「0.2=180円」と気づきます(よね?)

これで定価➀=180÷0.2=900円と分かります。さらに「売値1」=900×0.9=810と出して、売値810-利益210=原価600円と求められました。

図3:

説明書き

定価900円,原価600

赤字の場合

ある品物を定価の1割引きで売ると 円の利益になるが、 3割引きで売ると 円の赤字になった。定価と原価を求めなさい

 

確認テスト(2021.8.14作成中)

 

 

もっと問題を解きたい人は記事下の「おすすめ教材」を見て下さい
一つの物を売る(単数売買)の問題は以上です。次は複数の品物を売る場合の計算です。

複数個売買の仕組み

爽茶そうちゃ
ここからは売買算の後半戦です!

これまでは一個の品物しか考えませんでした(単数売買)が、ここからは沢山の品物を販売する場合(複数売買)について考えます。

売上高と利益

はじめに、簡単な例題を考えてみましょう♪

5-1:複数個販売(定価完売)

A商店では1200円の品物を100個仕入れて、5割増しの定価を付けて売ったところ、無事100個を完売した。利益はいくらになるか?
解説

商品を仕入れるのにかかる費用は1200×100=120000円で、これを「仕入総額(しいれそうがく)」という

「仕入総額」

=商品全部を仕入れるのにかかった費用

●仕入総額=原価 x 仕入れ個数

(例)1200円の品物を100個仕入れる
→1200 x 100 =12000円

そして、定価は「5割増し」=x1.5 なので 1200×1.5=1800円

1個の品物定価の決定
(二段の線分図)

単数販売の時と同じ考え方

この1800円の商品100個が完売したので、お客さんから受け取ってレジに入っている金額は1800 x 100 =180000円。これを「売上高(うりあげだか)」という

売上高

=商品と引き換えに客から受け取った金額

売上高=実際の売値 x 販売個数

(例)1800円の品物が100個売れた
→売上高は 1800×100=180000円

では、A商店の「もうけ=利益」はいくらでしょうか?

当然ですが、レジに入っている売上高180000円全部が利益ではありません。

売上高180000から商品の仕入れにかかった仕入総額120000を引いた 180000120000=60000円が利益になります。

60000

このように利益は売上高ー仕入総額で求めます。

複数個の売買の仕組みと用語をまとめるとこうなります。

複数売買の利益

仕入総額=原価 x 仕入れ個数

売上高=実際の売値 x 売上個数

利益=売上高仕入総額
(実際の売値 x 売上個数)ー(原価 x 仕入れ個数)

(例)1200円の品物を100個仕入れ、5割増しの定価を付けて完売した
→定価は1200×1.5=1800円
→利益は (1800×100)-(1200×100)=60000

これは単純な問題でしたが、テストではもう少し複雑な問題を解くので、解き方に工夫が必要になります。

それが「面積図」です!

線分図から面積図へ

定価完売の面積図

さっきの例題を使って面積図を書いてみましょう

5-2-1:定価完売

A商店では1200円の品物を100個仕入れて、5割増しの定価を付けて売ったところ、無事100個を完売した。利益はいくらになるか?

まず仕入総額を、「仕入総額=原価 x 仕入個数」の関係を使って長方形の面積図にします。

仕入れ総額の面積図

値段を縦、個数を横にすると
面積が仕入総額になる

縦1200×横100=面積120000の長方形になりました。

次に売上高を「売上高=実際の売値 x 売上個数」の関係を使って面積図にします。

売上高(定価で完売)の面積図

売値(この場合は定価)を縦
売れた個数を横にすると
面積が売上高になる

この問題では実際の売値=定価になっています。

そして、2つの面積図を下をそろえて重ねます

完成した面積図

縦幅が異なる2つの長方形になる

これで「定価で全部うれた(定価完売)場合」の面積図が完成しました。

利益=売上高(180000)-仕入総額(120000)=60000です。

60000

ただ、この「定価完売」の場合は売上高の中に仕入総額がすっぽり収まっているので利益が図に示されています(紫色の部分)

面積図(2)

この場合は、利益が図示される

そして「利益=売上高ー仕入総額」という計算だけでなく、「商品1個あたりの利益(1800-1200)x売れた個数(100)=60000」という計算でも利益を出すことができます。

これが一番単純な「定価完売」のパターンでした。

売れ残りがある場合

さっきの例題を少し変えてみましょう

5-2-2:定価売れ残り

A商店では1200円の品物を100個仕入れて、5割増しの定価を付けて売ったところ、90個しか売れなかった。利益はいくらになるか?
解説

仕入総額は変わらず1200×100=120000で、面積図も同じ

仕入れ総額

さっきと同じ

一方、売上高は売れた個数1800×90=162000に減ってしまいました。

図1:

説明書き

面積図を重ねるとこうなります

「定価売れ残り」の面積図

高さと幅が違う長方形の重なりになる

公式「利益=売上高-仕入総額」より、利益は162000-120000=42000円と分かります。

42000

利益は公式で出す

さて、この例題「定価売れ残り」は、はじめの例題「定価完売」と違って、利益が図示されません

問題による面積図の違い
「定価完売」
利益が図示される
「定価売れ残り」

利益が図示されない

したがって、図とは別に公式「利益=売上高-仕入総額」を使わないと答えが出ません。

入試では、このような「利益が面積図に図示されない場合」の方が出題されることが多いので、複数売買の利益は公式を使って出すのが基本になります。

これで、複数売買の仕組みと公式の基本が理解できました。

色々な複数売買のパターン

ここからは、複数売買の色々なパターンを見ていきましょう

全てに共通するのは「利益=売上高仕入総額」の公式

複数売買の利益

仕入総額=原価 x 仕入れ個数

売上高=実際の売値 x 売上個数

利益=売上高仕入総額
=(実際の売値 x 売上個数)ー(原価 x 仕入れ個数)

また、仕入総額は単純な長方形になるのが普通です

仕入れ総額の面積図

単純な長方形になるのが通常

単純なパターンから複雑なパターンへ、順番に見ていきましょう

定価完売

(上で見たように)全部の品物が定価で売れた場合で、仕入総額売上高も単純な長方形として確認できます

「定価完売」の面積図

利益は図示される

代表的な問題を解いてみましょう

原価を求める

利益から原価①を求める問題です。

 

例題
ある品物を200個仕入れて4割増しの定価をつけ1割引きで売ったら全部売れて62400円の利益を得た。品物1個の原価は?

原価が分からないので1とすると、定価は1x1.4=1.4、売値は1.4x0.9=1.26になる。

この丸数字を使うと、仕入総額=原価x仕入個数=1x200=200、売上高=売値x売上数=1.26x200=252で、利益=売上高-仕入総額=252200=52=62400円と分かる

52=62400」なので、原価1=62400÷52=1200円

 

定価を求める

利益から定価を求める問題

 

割合だけの問題

仕入総額に対する割合で利益を指定された場合の定価(売値)(の割合)を求める

 

「定価完売」パターンは以上です。

定価売れ残り

定価でのみ販売し売れ残った時点で終了した場合で、利益は図に現れない

図1:

説明書き

売れた(売れ残った)個数を求める

 

「定価売れ残り」パターンは以上です。

値引きで完売

定価では全部が売れなかったが、値引きをしたら残りが全部売れた場合です。

「値引き完売」の面積図

利益はL字形として図示される

利益は「つるかめ算」の面積図のようなL字形で図示される

「つるかめ算」の一種として、一番多く出題されるパターンです。(つるかめ算を忘れた人は関連記事「つるかめ算まとめ」を見ておいて下さい)

利益を求める練習

「値引き完売」パターンに慣れるために、利益計算の練習をしてみましょう

6-3-1:値引き完売の利益

A商店では1200円の品物を100個仕入れて、5割増しの定価を付けた。70個は定価で売れたが、残り30個は定価の2割引きで売り、100個を完売した。利益はいくらになるか?
解説

まず「原価→定価→値引きした売値」と変化する3つの価格を確認します

原価1200→(x1.5)→定価1800円→(x0.8)→売値1440円です

(線分図)

この価格で「利益=売上高仕入総額」の公式を使います

仕入総額は原価1200×100=120000円で、「定価完売」「定価売れ残り」の場合と同じ

仕入れ総額の面積図

商品を準備するのに120000円かかる

一方、売上高は単純な長方形ではなく、2つの長方形が合わさった形になります。

まず定価1800円で70個が売れた部分は1800×70=126000円、値引きした売値1440円で30個が売れた部分は1440×30=43200円で、合計の売上高558000円です。

売上高の面積図

客から受け取った金額は5580000円

以上より、売上高558000仕入総額120000=438000円が利益です

438000

「値引き完売」パターンでは仕入総額が売上高の中に収まっているので、利益が図示されます

値引きして完売した面積図

売上高と仕入れ総額の差が利益になる

売上高と仕入総額のスキマの紫のL字形が利益を表しています。

「値引き完売」の仕組みが分かったところで、問題を解いてみましょう

値引きした個数を求める

つるかめ算の問題になる

 

 

二回値引きをした場合

売上高の面積が三段になり、三量のつるかめ算の問題になる(面倒くさい!)

 

「値引き完売」パターンは以上です

値引き売れ残り

値引きをしても結局、全部は売れなかった場合

「値引き売れ残り」の面積図

利益が図示されないことに注意

利益は図示されない

利益を出す練習

 

売れ残りを求める

 

値引きした個数を求める

 

値引きを二回以上した場合

三段になります

「再値引き売れ残り」の図

利益は図示されない

「値引き売れ残り」パターンは以上です

捨て値完売

値引きしても売れ残るので、最後は原価よりも安い「捨て値」で全部売り切った場合

「捨て値完売」の面積図

利益は図示されないことに注意

この場合も利益は図示されない

利益を出す練習

 

捨て値で売った個数

 

捨て値を求める

 

「捨て値売れ残り」パターンは以上です

その他のパターン

 

 

複数売買は以上です

その他の売買の問題

 

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