作成中]中学受験】比の基本問題まとめ【問題集

中学受験生で「比が苦手！」という人もいるかもしれません。

確かに比の利用問題(図形と比、速さと比)は難しいのですが、比そのものには簡単な問題も多いんですよ。

まずは簡単な問題を完全に定着させて、難しい問題に少しづつ挑戦しましょう。

この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が比の基本から文章題までを説明します。

全部をマスターすれば比の利用問題にもチャレンジできるでしょう！

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比の意味

単純に言うと、2つの数の関係を表したものです。

比の形と呼び方

比の形

「比」のかたちを示します。

これはAの大きさを1とするとBの大きさが2ということを表します。線分図にすると次のようになります。

「A:B=1:2」の線分図

A

➀

B

②

BはAの2倍、ということ

比の構成

Aを前項、Bを後項と呼ぶ(図1)。覚えなくても大丈夫

4つ並んだ文字と数字のうち、左右の端にある2つを「外項」、真ん中の2つを「内項」と呼ぶ(図2)。こちらは大切です。

1:2 の時、AとBの比の値は12 (AはBの12ということ)になる(図3)

比の基本操作

前後の項に同じ数をかける・割るしても比は等しいまま(分数の倍分・約分と同じ)

1:2→(両方2倍)→2:4→(両方3倍)→6:12→(両方÷6)→1:2

この「1:2」「2:4」「6:12」はすべて等しい比です。

比の単純化

上で学んだ「比の操作」を利用して、比をできるだけ簡単な整数にすることを「比の単純化」と呼びましょう

整数比を単純化

「分数の約分と同じ」と考えるとラクチンです。

1-0:整数比の単純化

12：20を簡単な比に直しなさい

(ヒント)

1220を約分するつもりで両方を公約数で割っていく

(解説)

12:20→(両方を÷2)→6:10→(両方を÷2)→3:5

または最大公約数一発で割っても良い

12:20→(両方を÷4)→3:5

3:5

この時、直す前と後の比を並べると内項の積と外項の積は常に等しくなっている(後で重要です)

小数比を単純化

まず整数に直すのがコツです

1-2:小数比の単純化

以下の比を簡単な整数比に直しなさい

1.4:2.1

1.4:2.1→(両方を10倍)→14:21→(両方を÷7)→2:3

2:3

1.25:0.75

1.25:0.75→(両方を100倍)→125:75→(両方を÷25)→5:3

5:3

分数比を単純化

やり方が2つあります。

1-3:分数比の単純化

45:23を簡単な整数比に直しなさい

(解法1)

分母の数字「5」「3」の最小公倍数が15なので、両方を15倍すると分母が消える

45:23を→(両方×15 4×155:×2×153)→12:10→(両方÷2)→6:5

(解法2)

または通分して分子だけを比にしても良い

45:23を→(分母を15に通分)→1215:1015を→(分子だけを並べて比にする)→12:10→(両方÷2)→6:5

6:5

小数と分数混じりの比を単純化

(2021.7.19作成中)

比をそろえる(連比)

意味

 

連比の作成

二組の比から連比を作る

 

 

比例式の解法

比例式

単純化すると等しくなる2つ以上の比を並べた式を「比例式」といいます。

例えば、6:4と15:10はともに単純化すると3:2になります。この2つの比を並べると

これが「比例式」で、大切なのは外項と内項の積が等しいことです。

この外項内項4つの数のうち、分からない数が1つある場合…

それを求めるのを「比例式を解く」と言います。

比例式の解法

「x:3=8:6」のときxを求める問題。解法が2つあります。

解法1

「右項と左項に同じ数をかけるか割るかする」という比の基本操作を利用する。

「X:3=8:6」の場合、右項が3→6と2倍になっているので、左項にも2をかけてX→8なのでX=8÷2=4と分かる

パッと見で何倍と分かる場合はこのやり方でよいが、そうでない場合は面倒くさくなってくる。

「4:3=A:5」の場合、右項が3→5で何倍になっているか調べると、5÷3=53倍になっているので、左項にも53をかけてA=4×53=203と分かる。

これを一気に出すのが解法2です。

解法2

「内項の積と外項の積は常に等しくなっている」のを利用します

「A:B=C:D」である時、A×D=B×Cが成り立つ

「A:B=C:D」のAとDを外項、BとCを内項と言うので、A×D=B×Cは外側の積と内側の積は等しい」と憶えましょう

内項と外項のうちそろっている方の積を残りの数で割る

例えば「X:2=5:7」の場合

 

内項がそろっているので内項の積2×5を残りの数7で割ってX=107になります。

例題

 

類題

 

比の文章題

まず線分図を書かずに解く問題を紹介します。

単位量の問題

例えば「12Lで84km走れる車は40Lで何km走れるか？」という問題

比を学習する前は1Lで走れる距離を出して40倍して求めていましたが、これを比で解きます。

燃料と道のりの比を式にすると「燃料:道のり=12:84=40:?」になり、これを解いて?=84×40÷12=280km と一発で出せます。

確認テスト

 

 

狂った時計

時計が壊れて正しい時間を刻まなくなった時に「この時計狂ってる」と言いますね。

その狂った時計がこんな感じの問題になります。(修理してくれよ…というのは無しｗ)

1:狂った時計

故障していて「1時間で3分進む」時計がある。以下の問いに答えなさい。

正午の時報がなった時、この時計は何時何分を指しているか？

(解説)

「1時間で3分進む」場合、狂っていない「正しい」時計が1時間(60分)進む間に「狂った」時計は63分進みます。

つまり「正しい」時計と「狂った」時計の進む時間の比は60:63=20:21になります。

この「20:21」という比は時計を修理しない限りずっと変わらないので、この問題では「20:21」を使った比例式を使えば問題を解くことができます。

さて、7時から正午までに「正しい」時計が進んだ時間は(12－7)-1=6時間=60×5=300分で、この間に「狂った」時計が進んだ時間を?とすると「正:狂20(正):21(狂)=300:?」という比例式が出来ます。

これを解いて、?=300×21÷20=315分。つまり狂った時計は315分=5時間15分進むので、「狂った時計」が指す時刻は7:00+5:15=12:15分と分かります。

12時15分

狂った時計が正午の時報を鳴らすのは正確な時計で何時何分か？

(解説)

小問1と逆に「狂った」時計が7時から正午まで300分進む間に「正しい」時計が何分進むかを求める問題です。

「正しい」時計が?分進んだとして「20(正):21(狂)=?:300」という比例式が出来ます。

これを解いて、?=300×20÷21=20007=28557分=4時間4557分なので、7時に加えて、11時4557分と分かります(まだ正午になっていないのに「狂った」時計が正午の時報を鳴らします)。

11時4557分

分数(約分すると…)の問題

例えば「約分すると35になり分母と分子の和が56になる分数を求めよ」という問題

「約分すると35になる」分数は、分子と分母の比が3:5なので、分子を③分母を⑤と置くことができ、③+⑤=⑧=56 ということです。

あとは、分配算として解きます。

約分すると35になって
分子と分母の和が56

分子

➂

分母

➄

⑧=56
↓
➀=7

⑧=56より➀=7なので
分子③=21、分母⑤=35

詳しくは関連記事「分配算まとめ」を見て下さい。

逆比

逆比の意味

正比例と反比例

2つの事柄(数値)が「片方が倍になると、もう片方も倍になる」という関係にあることを「正比例」と言います

例えば毎月500円づつ貯金する時、「月数」が1ヶ月から3ヶ月と3倍になると「貯金額」も500円から1500円と3倍になります。つまり「」と「」は正比例しています。

この時に、「月数」「貯金額」の4つの数値を比にするとこうなります。

 

一方、2つの事柄(数値)が「片方が倍になると、もう片方は半分になる」という関係にあることを「反比例」と言います

この時に、それぞれの事柄の比が逆になります。

逆比の作り方

その1

2数の比の場合は前後を逆にするのが簡単です。

3:5を逆比にすると5:3になります。

その2

それぞれを逆数にする。3数の比の場合に便利

1:2:3を逆比にすると11:12:13になります。これを単純化して、6:3:2 が答えです。

逆比の利用1(等しい部分)

明示問題

「AのX倍とBのY倍が等しい」と書いてある場合、無条件にA:B=Y:Xになります。

これを使って分配算のように解きます。

暗示問題

水面から出ている棒

有名なのは「二本の棒が水面から出ている問題」で、この場合水面下の長さが等しくなっています。

例えば「AB2つの棒をプールの底にまっすぐ立てたらAは14がBは15が水面より上に出た。ABの長さの比を求めよ」という場合、水面下にあるのはAの34、Bの45なのでAの34とBの45が等しくなる。

これを逆比にした 43:54がABの比になります。あとはこの比を単純化して(両方12倍)、A:B=16:15と分かります。

確認テスト
Aが貯金の25%,Bが貯金の3割を使ったら残りの金額が同じになった。最初の貯金額の比を求めよ。
→残り金額はAが75%(0.75=3/4)、Bが7割(0.7=7/10)で、これが等しいので、最初の貯金額はA:B=4/3:10/7=(両方21倍)=28:30=14:15と分かる

重なる面積

また、重なりがある図形の重なった部分(つまり面積が等しい部分)を利用するのも同じです。

逆比の利用2(かみ合う歯車)

2つ以上の歯車がかみ合っている場合、歯数と回転数は逆比になります。

例えば、歯数36の歯車Aと歯数24のBがかみ合っている場合を考えます

(図)

AとBの歯数の比は36:24=3:2なので、回転数の比は2:3になります。

この比を利用すると様々な問題を解くことができます。

逆比の利用3(面積が等しい長方形)

面積が等しい2つの長方形のタテとヨコの比も逆比になります。

例えば面積36で等しい長方形AとBがあり、Aがタテ12ヨコ8でBがタテ24ヨコ4の場合

(図)

タテの比は12:24=1:2で、ヨコの比は8:4=2:1、と逆になっています。

 

比の積と商

 

 

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