中学受験生で「比が苦手！」という人もいるかもしれません。確かに比の利用問題(図形と比、速さと比)は難しいのですが、比そのものには簡単な問題も多いんですよ。まずは簡単な問題を完全に定着させて、難しい問題に少しづつ挑戦しましょう。
この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が比の基本から文章題までを説明します。全部をマスターすれば比の利用問題にもチャレンジできるでしょう！
目次をクリックすると好きな箇所にジャンプできます。
比の意味
比の形と呼び方
比の意味
「比」のかたちを示します。
これはAの大きさを1とするとBの大きさが2ということを表します。線分図にすると次のようになります。
比の構成
前項・後項
Aを前項、Bを後項と呼ぶ。覚えなくても大丈夫
前項
後項
内項・外項
4つ並んだ文字と数字のうち、左右の端にある2つを「外項」、真ん中の2つを「内項」と呼ぶ。こちらは大切です。
外項
内項
内項
外項
比の値
1:2 の時、AとBの比の値は12 (AはBの12ということ)
比の基本操作
前後の項に同じ数をかける・割るしても比は等しいまま(分数の倍分・約分と同じ)
これを利用して比を単純化する
例題
この時、内項の積と外項の積は常に等しくなっている
連比
意味
連比の作成
二組の比から連比を作る
比例式
「x:3=8:6」のときxを求める問題。解法が2つあります。
解法1
「右項と左項に同じ数をかけるか割るかする」という比の基本操作を利用する。
「X:3=8:6」の場合、右項が3→6と2倍になっているので、左項にも2をかけてX→8なのでX=8÷2=4と分かる
パッと見で何倍と分かる場合はこのやり方でよいが、そうでない場合は面倒くさくなってくる。
「4:3=A:5」の場合、右項が3→5で何倍になっているか調べると、5÷3=53倍になっているので、左項にも53をかけてA=4×53=203と分かる。
これを一気に出すのが解法2です。
解法2
「内項の積と外項の積は常に等しくなっている」のを利用します
「A:B=C:D」である時、A×D=B×Cが成り立つ
「A:B=C:D」のAとDを外項、BとCを内項と言うので、A×D=B×Cは外側の積と内側の積は等しい」と憶えましょう
内項と外項のうちそろっている方の積を残りの数で割る
例えば「X:3=8:6」の場合、内項がそろっているので内項の積3×8を残りの数6で割って?=10/7になります。
例題
類題
比の文章題
まず線分図を書かずに解く問題を紹介します。
単位量の問題
例えば「12Lで84km走れる車は40Lで何km走れるか？」という問題
比を学習する前は1Lで走れる距離を出して40倍して求めていましたが、これを比で解きます。
燃料と道のりの比を式にすると「燃料:道のり=12:84=40:?」になり、これを解いて?=84×40÷12=280km と一発で出せます。
確認テスト
狂った時計
時計が壊れて正しい時間を刻まなくなった時に「この時計狂ってる」と言いますね。
その狂った時計がこんな感じの問題になります。(修理してくれよ…というのは無しｗ)
1:狂った時計
(解説)
「1時間で3分進む」場合、狂っていない「正しい」時計が1時間(60分)進む間に「狂った」時計は63分進みます。
つまり「正しい」時計と「狂った」時計の進む時間の比は60:63になります。
この「60:63」という比は時計を修理しない限りずっと変わらないので、この問題では「60:63」を使った比例式を使えば問題を解くことができます。
さて、7時から正午までに「正しい」時計が進んだ時間は(12－7)-1=6時間=60×5=300分で、この間に「狂った」時計が進んだ時間を?とすると「正:狂60(正):63(狂)=300:?」という比例式が出来ます。
これを解いて、?=300×63÷60=315分。つまり狂った時計は315分=5時間15分進むので、「狂った時計」が指す時刻は7:00+5:15=12:15分と分かります。
(解説)
小問1と逆に「狂った」時計が7時から正午まで300分進む間に「正しい」時計が何分進むかを求める問題です。
「正しい」時計が?分進んだとして「60(正):63(狂)=?:300」という比例式が出来ます。
これを解いて、?=300×60÷63=20007=28557分=4時間4557分なので、7時に加えて、11時4557分と分かります(まだ正午になっていないのに「狂った」時計が正午の時報を鳴らします)。
分数(約分すると…)の問題
例えば「約分すると35になり分母と分子の和が56になる分数を求めよ」という問題
「約分すると35になる」分数は、分子と分母の比が3:5なので、分子を③分母を⑤と置くことができ、③+⑤=⑧=56 ということです。
あとは、分配算として解きます。
分子と分母の和が56
↓
➀=7
分子③=21、分母⑤=35
詳しくは関連記事「分配算まとめ」を見て下さい。
逆比
逆比の意味
逆比の作り方
その1
2数の比の場合は前後を逆にするのが簡単です。
3:5を逆比にすると5:3になります。
その2
それぞれを逆数にする。3数の比の場合に便利
1:2:3を逆比にすると11:12:13になります。これを単純化して、6:3:2 が答えです。
逆比の利用
明示問題
「AのX倍とBのY倍が等しい」と書いてある場合、無条件にA:B=Y:Xになります。
これを使って分配算のように解きます。
暗示問題
有名なのは「二本の棒が水面から出ている問題」で、この場合水面下の長さが等しくなっています。
例えば「AB2つの棒をプールの底にまっすぐ立てたらAは1/4がBは1/5が水面より上に出た。ABの長さの比を求めよ」という場合、水面下にあるのはAの3/4、Bの4/5なのでAの3/4、Bの4/5が等しくなる。
これを逆比にした 4/5:3/4 がABの比になります。あとはこの比を単純化して(両方20倍)、A:B=16:15と分かります。
確認テスト
Aが貯金の25%,Bが貯金の3割を使ったら残りの金額が同じになった。最初の貯金額の比を求めよ。
比の積と商
爽茶中学受験でお悩みの方へ
そうちゃ「中学受験と高校受験とどちらがいいの？」「塾の選び方は？」「途中から塾に入っても大丈夫？」「塾の成績・クラスが下がった…」「志望校の過去問が出来ない…」など
様々なお悩みへのアドバイスを記事にまとめたので参考にして下さい。
もしかしたら、自分だけで悩んでいると煮詰まってしまい、事態が改善できないかもしれません。講師経験20年の「そうちゃ」に相談してみませんか？対面/オンラインの授業/学習相談を受け付けているので、ご利用下さい。
保管セクション
ここまで保管セクション