作成中]中学受験】比の基本問題まとめ【問題集

中学受験生で「比が苦手！」という人もいるかもしれません。確かに比の利用問題(図形と比、速さと比)は難しいのですが、比そのものには簡単な問題も多いんですよ。まずは簡単な問題を完全に定着させて、難しい問題に少しづつ挑戦しましょう。
この記事では東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が比の基本から文章題までを説明します。全部をマスターすれば比の利用問題にもチャレンジできるでしょう！

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比の意味

比の形と呼び方

比

前項　後項

意味することを線分図にする

比の値

1:2 の時、AとBの比の値は12 (AはBの12ということ)

比の基本操作

前後の項に同じ数をかける・割るしても比は等しいまま(分数の倍分・約分と同じ)

これを利用して比を単純化する

例題

この時、内項の積と外項の積は常に等しくなっている

連比

意味

連比の作成

二組の比から連比を作る

比例式

「x:3=8:6」のときxを求める問題。解法が2つあります。

解法1

「右項と左項に同じ数をかけるか割るかする」という比の基本操作を利用する。

「4:3=A:6」の場合、右項が3→6と2倍になっているので、左項にも2をかけて4→8なのでA=8と分かる

パッと見で何倍と分かる場合はこのやり方でよいが、そうでない場合は面倒くさくなる。

「4:3=A:5」の場合、右項が3→5で何倍になっているか調べると、5÷3=53倍になっているので、左項にも53をかけてA=4×53=203と分かる。

これを一気に出すのが解法2です。

解法2

「内項の積と外項の積は常に等しくなっている」のを利用します

例題

類題

比の文章題

ここでは線分図を書かずに解く問題を紹介します。

単位量の問題

例えば「12Lで84km走れる車は40Lで何km走れるか？」という問題

比を学習する前は1Lで走れる距離を出して40倍して求めていましたが、これを比で解きます。

燃料と道のりの比を式にすると「燃料:道のり=12:84=40:?」になり、これを解いて?=84×40÷12=280km と一発で出せます。

確認テスト

分数(約分すると…)の問題

例えば「約分すると35になり分母と分子の和が56になる分数を求めよ」という問題

「約分すると35になる」分数は、分子と分母の比が3:5なので、分子を③分母を⑤と置くことができ、③+⑤=⑧=56 ということです。

あとは、分配算として解きます。

詳しくは関連記事「分配算まとめ」を見て下さい。

狂った時計

例えば、「『1時間で3分進む』時計を朝の7時に時刻合わせした。正午の時報がなった時、この時計は何時何分を指しているか？」

(修理してくれよ…というのは無しｗ)

「1時間で3分進む」場合、正しい時計と狂った時計の進む時間の比は60:63なので、この問題ではこの比を使った比例式を解いていきます。

正午までに正しい時計が進んだ時間は60×5=300分なので「正:狂=60:63=300:?」という比例式が出来ます。

これを解いて、?=300×63÷60=315分。狂った時計は315分=5時間15分進むので、7:00+5:15=12:15分と分かります。

その逆「狂った時計が正午の時報を鳴らすのは正確な時計で何時何分か？」という場合は「正:狂=60:63=?:300」という比例式が出来ます。

これを解いて、?=300×60÷63=20007=28557分=4時間4557分なので、7時に加えて、１１時4557分と分かります。

線分図を使った問題については関連記事「分配算(比)と倍数算」を見て下さい。

逆比

逆比の意味

逆比の作り方

その1

2数の比の場合は前後を逆にするのが簡単です。

3:5を逆比にすると5:3になります。

その2

それぞれを逆数にする。3数の比の場合に便利

1:2:3を逆比にすると11:12:13になります。これを単純化して、6:3:2 が答えです。

逆比の利用

明示問題

「AのX倍とBのY倍が等しい」と書いてある場合、無条件にA:B=Y:Xになります。

これを使って分配算のように解きます。

暗示問題

有名なのは「二本の棒が水面から出ている問題」で、この場合水面下の長さが等しくなっています。

例えば「AB2つの棒をプールの底にまっすぐ立てたらAは1/4がBは1/5が水面より上に出た。ABの長さの比を求めよ」という場合、水面下にあるのはAの3/4、Bの4/5なのでAの3/4、Bの4/5が等しくなる。

これを逆比にした 4/5:3/4 がABの比になります。あとはこの比を単純化して(両方20倍)、A:B=16:15と分かります。

確認テスト
Aが貯金の25%,Bが貯金の3割を使ったら残りの金額が同じになった。最初の貯金額の比を求めよ。

比の積と商

爽茶そうちゃ

比の基本的な問題は以上です。

中学受験でお悩みの方へ

そうちゃ

いつもお子さんのためにがんばっていただき、ありがとうございます。