中学受験用の分数の応用問題♪

1-1:約分すると…和

解説

まず「約分すると23になる」なので「➁③」と表せます。

次に「分子と分母の和」つまり➁+③=⑤が75なので、線分図にするとこうなります。

➀=75÷5=15なので、分母③=15×3=45、分子➁=15×2=30 から、答えは3045です。

1-2:約分すると…差

解答

まず「約分すると25になる」なので「➁⑤」と表せます。

次に「分子と分母の差」つまり⑤－➁=③が21なので、線分図にすると下のようになります。

➀=21÷3=7なので、分子➁=7×2=14、分母⑤=7×5=35、 から、答えは1435です。

1-3:約分すると…加減

解答

まず「約分すると25」なので「➁⑤」。

➁は分子=8で、⑤は「分母に3を加えた数」＝分母+3なので、線分図にすると…

➀は8÷2=4、⑤=4×5=20=分母+3なので、分母は20-3＝17とわかります。答えは817です。

3-1:範囲内の分数A

ヒント

範囲を示す2つの分数を36に通分して分子を観察し、間にくる分数を求める

解答

12→1836より大きく、59→2036より小さいので、1936が答えになる。

4-1:1未満の既約分数の個数

解説

「分母が36で1より小さい既約分数の個数」とは、136,236…3436,3536の中で約分できない分数の個数です。

まず、分母が36で約分できる分数はどのような分数か考えます。

分母の36=2×2×3×3と素因数分解できるので、分子が「2」か「3」の倍数になっていれば約分ができます。

そして、136から3536までの分数の分子は1から35まで連続しているので、結局1から35までの数のうち、2か3どちらの倍数にもなっていない数の個数を求めれば答えになるのですね。

これは集合算の問題としてベン図を使う解き方を公倍数で学習しました。

((ベン図))

1から35までの数のうち、2の倍数は35÷2=17個(A)、3の倍数は35÷3＝11個(B)、2と3の公倍数つまり6の倍数の個数は35÷6=5個(C)なので、2と3どちらの倍数でもない数(D)の数は、35-(17+11-5)=12個と分かります。

これがそのまま136…3536の間にある既約分数の個数になります。

(ちなみに、この12個は136,536,736,1136,1336,1736,1936,2336,2536,2936,3136,3536です)

4-2-1:範囲内の既約分数の個数

解説

まず範囲を示す分数の16と34の分母を12に通分して、212と912にします。

これで「212と912の間にある分母が12の既約分数の個数を求めよ」という問題になりました。

数が少ないので実際に書き出して約分し、残ったものの数をかぞえれば答えになります。

調べると、312,412,512,612,712,812のうち約分できないのは512と712の2個と分かりました。

4-2-2:範囲内の既約分数の個数

解説

さっきと同様に、16と34の分母を18に通分すると、16の方は単純に318になります。

しかし、34は分母を18にするには分数倍(92倍)しないといけないので、分子も分数倍すると272になってしまいます。

このままだと解きづらいので、これを小数に直すと27÷2=13.5にすると、「318より大きく13.518より小さい分母が18の既約分数の個数を求めよ」という問題に直せました。

あとはさっきと同じように書き出して通分して残ったもののを数えます。

調べると、418,518,618,718,818,918,1018,1118,1218,1318のうち約分できないのは518,718,1118,1318の4個と分かりました。

4-2-3:範囲内の既約分数の個数

分子を21にそろえると、35=2135、79=2127になる。

2135より大きく2127より小さい分数は2134,2133,2132,2131,2130,2129,2128の7つ

このうち約分できないものは、2134,2132,2131,2129の4個

5-1:単位分数の和にする

コツ

コツはX=2,3,4…と増やしながら検討していくこと

解答

X=2だとすると、問題を1021=12+1Yと表せて、さらに通分すると2042=2142+1Yと直せます。

この式の等号(=)の左右をよく見比べると、おかしなことに気づきます(よね？)

そうです。右にある2142がすでに左の2042より大きいのです。

つまりこの式は絶対に成り立たない式なので、最初のX=2が間違っていたと分かります。

そこで、次はX=3とします。

問題は1021=13+1Yと表せて、さらに通分すると1021=721+1Yと直せます。

今度の式は等号(=)の左が右より大きくなっているので、このまま進めても大丈夫です♪

1Y=1021–721=321で、約分すると1Y=
17なので、Y=7と分かりました。

以上より、問題の式は1021=13+17と表せて、X=3,Y=7になります。

5-2:三つの単位分数の和に

方針

まずはXから…

解答

→X=2だとすると、問題を2940=12+1Y+1Z さらに2940=2040+1Y+1Z と直せる

これは等号(=)の左右を比べてもおかしくなく、 1Y+1Z=2940–2040=940と表せます

これでX=2として、次は「940=1Y+1Z とあらわす時のYZを求めよ」という問題を解けば良くなります。

今度はYを2,3,4と増やしながら検討します。

まずY=2とすると940=12+1Z で通分すると940=2040+1Z

になり、等号(=)の右が左より大きくなっていてアウト。Y=2が間違っています。

次にY=3では940=13+1Z で通分すると27120=40120+1Z

になるので、これもアウト。

Y=4でも940=14+1Z →940=1040+1Z でアウト(面倒くさい！…)

Y=5でようやく940=15+1Z →940=840+1Zになって、1Z =140でZ=40と分かりました。

以上より、2940=12+15+140 と表すことができて、X=2,Y=5,Z=40 と分かりました！

裏技

この問題でもYを速く調べたい場合、940を分子が1になるように約分(分子分母を÷9)すると14.44…になることから、Y=4(1Y=14=1040)までは1040より大きいので調べるまでもなくダメと判断できる。

6-1:分数計算の分割

6-1:分数計算の分割

解説

最初の分数１2×3=3２×3－22×3=1２－13と変形できます

2番目も同じように１3×4=43×4－33×4=13－14と変形できます。

この調子で4つ全部を変形すると

１2×3+１3×4+１4×5+１5×6=(1２－13)+(13－14)+(14－15)+(15－16)になります

この式を見て何か気づきませんか？

これを計算して