中学受験生で「分数は得意！」という方、分数の応用問題にチャレンジしてみましょう！
この記事は、東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分数の応用問題を分かりやすく説明します。
記事を読んで問題を解けば、分数の応用問題の解き方をマスターできますよ。
お詫びとお知らせ(2021.9.7)
誤：「分子が同じなので、分子が小さいものを選んで」
正：「分子が同じなので、分母が小さいものを選んで」
混乱してしまった方に心よりお詫び申し上げます。
たけちゃん@2PLbx2J6OadHnEl」様よりご指摘を頂きました。ありがとうございました。
約分すると～になる…問題
「約分すると～になる…分数」という問題を解くコツはたった一つ！
約分すると23になる分数
→「➁③」と表して線分図(分配算)の問題にする
これだけで、和差算・分配算の問題にすることができます。
約分すると～になる分数」
例えば、約分すると23になる分数の一つ 2030は約分する前の形に直すと10×210×3になります。同じように46は2×22×3に、69は3×23×3にというように、約分すると23になる分数は皆●×2●×3という形になり、分配算で使った➀➁等の丸数字を使って「➁③」と表せます。(分母と分子が3:2の比の関係にある)
(例)約分すると23になる分数は…
分母●●●
「➁③」と表せる！
分母と分子の和
「分子と分母の和が75で約分すると23になる分数」を考えます。
まず「約分すると23になる」なので「➁③」と表せます。
次に「分子と分母の和」つまり➁+③=⑤が75なので、線分図にすると…
約分すると23で分子と分母の和が75
➁③
⑤=75より➀=75÷5=15 と分かる
➀=75÷5=15なので、分母③=15×3=45、分子➁=15×2=30 から、答えは3045です。
分子と分母の和が56で約分すると35になる分数は？
→約分すると35になる分数は( 「③⑤」 )と表せる。
→( ⑤+③=⑧=56なので、➀=56÷8=7 )
→( 分母⑤=7×5=35、分子③=7×3=21 、答えは2135 )
分母と分子の差
「分子と分母の差が21で約分すると25になる分数」を考えます。
まず「約分すると25になる」なので「➁⑤」と表せます。
次に「分子と分母の差」つまり⑤－➁=③が21なので、線分図にすると下のようになります。
約分すると25で分子と分母の差が21
➁⑤
➂=21→➀=21÷3=7 と分かる
➀=21÷3=7なので、分子➁=7×2=14、分母⑤=7×5=35、 から、答えは1435です。
分子と分母の差が45で約分すると27になる分数は？
→約分すると27になる分数は( ➁⑦ )と表せる。
→( ⑦－➁=⑤=45なので、➀=45÷5=9 )
→( 分母⑤=9×7=63、分子③=9×2=18 、答えは1863 )
どちらかを加減して約分
「分子が8で分母に3を加えて約分すると25になる分数」を求めます。
まず「約分すると25」なので「➁⑤」。➁は分子=8で、⑤は「分母に3を加えた数」＝分母+3なので、線分図にすると…
分子は8で分母に3加えて約分すると25
分子8分母?+3
➁⑤
➁=8なので➀=8÷2=4と分かる
➀は8÷2=4、⑤=4×5=20=分母+3なので、分母は20-3＝17とわかります。答えは817です。
分子と分母の差が45で約分すると27になる分数は？
→約分すると27になる分数は( ➁⑦ )と表せる。
→( ⑦－➁=⑤=45なので、➀=45÷5=9 )
→( 分母⑤=9×7=63、分子③=9×2=18 、答えは1863 )
分数の大小比較
３つのタイプがあります
①分母か分子が等しい分数→分子か分母を比較
②分母も分子も等しくない分数→通分して比較
➂分数と小数→小数に直して比較
順番に見ていきます。
分母か分子が等しい
●分母が等しい→分子が大きければ、分数全体も大きい
●分子が等しい→分母が小さければ、分数全体も大きい
確認テストをどうぞ
一番大きい分数はどれですか？
①(511、111、311)
→( 分母が同じなので、分子が大きいものを選んで、511 )
②(29、25、213)
→( 分子が同じなので、分母が小さいものを選んで、25 )
分母も分子も違う分数
1321と1635のように分母も分子も等しくない場合は…まず通分して分母をそろえてから分子を比較します。
21と35の最小公倍数は105なので105に通分します。(公倍数の求め方を忘れた人は「公倍数の求め方(書き出し)」か「二数のすだれ算」を見て下さい)
分母も分子も等しくない場合→通分して分子を比べる。
1321と1635 → 45105と48105 → 1321<1635
分数と小数の比較→小数にそろえる
3番目のパターン「分数と小数の比較」は小数にそろえます
→分数を小数に直して比べる
(割り切れなくても大小が分かれば良い)
例:0.3と13の大小を比べる
13=1÷3=3.333→「0.3<13」
0.17と16と213を小さい順に並べなさい
→( C=213＝2÷13＝0.15 、Bは16＝1÷6＝0.166… )
→( 213<16<0.17 )
分数と小数の比較をじっくり読みたい解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 別館」の「小数と分数」を見て下さい。
範囲内の分数
2つの分数で示される範囲内にある分数を求める問題。
特に条件が無い限り、答えは1つの分数です。
簡単に通分できる問題
3-1:範囲内の分数A
ヒント
範囲を示す2つの分数を36に通分して分子を観察し、間にくる分数を求める
(解答)
12→1836より大きく、59→2036より小さいので、1936が答えになる。
簡単に通分できない問題
例題作成中…
範囲内の(既約)分数の個数
既約分数(これ以上約分できない分数)の個数を出す問題。２つのタイプがあって解法が少し異なります。
- 1未満(以下)の既約分数の個数の問題
→「分母の素因数」の公倍数の個数の問題 - 範囲内の既約分数の個数の問題
→分母を通分してそろえて、実際に約分する
1未満の既約分数の個数
例えばこんな問題です。
4-1:1未満の既約分数の個数
解説
「分母が36で1より小さい既約分数の個数」とは、136,236…3436,3536の中で約分できない分数の個数です。
まず、分母が36で約分できる分数はどのような分数か考えます。
分母の36=2×2×3×3と素因数分解できるので、分子が「2」か「3」の倍数になっていれば約分ができます。
そして、136から3536までの分数の分子は1から35まで連続しているので、結局1から35までの数のうち、2か3どちらの倍数にもなっていない数の個数を求めれば答えになるのですね。
これは集合算の問題としてベン図を使う解き方を公倍数で学習しました。
((ベン図))
1から35までの数のうち、2の倍数は35÷2=17個(A)、3の倍数は35÷3＝11個(B)、2と3の公倍数つまり6の倍数の個数は35÷6=5個(C)なので、2と3どちらの倍数でもない数(D)の数は、35-(17+11-5)=12個と分かります。
これがそのまま136…3536の間にある既約分数の個数になります。
(ちなみに、この12個は136,536,736,1136,1336,1736,1936,2336,2536,2936,3136,3536です)
確認テストをどうぞ
(2021.3.10作成中)
範囲内の既約分数
分数Aから分数Bの間にある分母が(分子が)Cの既約分数の個数を求める問題です。
簡単に通分できる場合
例えば、こういう問題です。
4-2-1:範囲内の既約分数の個数
解説
まず範囲を示す分数の16と34の分母を12に通分して、212と912にします。
これで「212と912の間にある分母が12の既約分数の個数を求めよ」という問題になりました。
数が少ないので実際に書き出して約分し、残ったものの数をかぞえれば答えになります。
調べると、312,412,512,612,712,812のうち約分できないのは512と712の2個と分かりました。
確認テスト
(作成中)
簡単に通分できない場合
難しいのは通分が普通にはできない次のような問題です。
4-2-2:範囲内の既約分数の個数
解説
さっきと同様に、16と34の分母を18に通分すると、16の方は単純に318になります。
しかし、34は分母を18にするには分数倍(92倍)しないといけないので、分子も分数倍すると272になってしまいます。
このままだと解きづらいので、これを小数に直すと27÷2=13.5にすると、「318より大きく13.518より小さい分母が18の既約分数の個数を求めよ」という問題に直せました。
あとはさっきと同じように書き出して通分して残ったもののを数えます。
調べると、418,518,618,718,818,918,1018,1118,1218,1318のうち約分できないのは518,718,1118,1318の4個と分かりました。
確認テスト
(2021.3.10作成中)
分子を指定される場合
分子をそろえるパターンもあります
分子が等しい場合の分数の並びに注意しましょう。
こうなります
これに注意して問題を解きます。
4-2-3:範囲内の既約分数の個数
分子を21にそろえると、3/5=21/35、7/9=21/27になる。
21/35より大きく21/27より小さい分数は21/34,21/33,21/32,21/31,21/30,21/29,21/28の7つ
このうち約分できないものは、21/34,21/32,21/31,21/29の4個
確認テストをどうぞ
(2021.3.10作成中)
場合の数の問題
数字カードから2枚を選んで分数を作る場合の既約分数が何通りできるか求める問題
例題
確認テスト
単位分数(1/N)の和にする問題
2940=1X+1Y+1Z とあらわす時のXYZを求めよ
コツはX=2,3,4…と増やしながら検討していくこと
→X=2: 12(=2040)<2940 なので、12との和に直せる。
2940=2040+940 =12+940 X=2 と分かりました。
次に、940=
1Y+1Z とあらわす時のYZを求めよという問題のつもりで解いていきます。今度はY=2,3,4と増やしながら検討します。
→Y=2:
940<12(=2040) なのでアウト
→Y=3: 940<13(=13.3…40) なのでアウト
→Y=4: 940<14(=1040) なのでアウト
→Y=5: 15(=840)<940 なので、15との和に直せる。
940=840+140 =15+140 Y=5,Z=40 と分かりました。
以上より、X=2,Y=5,Z=40 で、
2940=12+15+140 とあらわすことができます。
分数の分割による計算の工夫(通分)
・→「１2×3」を「1２－13」に変形して隣の式と打ち消す
例えば、１2×3+１3×4+１4×5+１5×6は、(1２－13)+(13－14)+(14－15)+(15－16)=1２－13+13－14+14－15+15－16と変形できます。
途中の分数を隣同士で打ち消すと… 1２－13+13－14+14－15+15－16
結局、1２－16だけが残ります。
これを計算して1２－16=36－16だ=26=12です。
整数化の問題
分数にかけたり割ったりするとちょうど整数になる数を求める問題。
1つの分数
かけ算
例題4(かけ算すると整数になる)
「整数になる＝分母が1」ということ
分数×整数なので、23×■＝2×■3になります。
これが整数になるのは2×■3=2×□1というふうに分母が1になる時です。
分母が1になるには3と■を約分しないといけません(3と2は約分できませんね？)。3を約分するのですから3で割るということです(上の図の□は■を3で割った答えです)。
2×■3=2×□1
つまり■は3で割り切れる数、3,6,9等の3の倍数ということです。3の倍数になる
割り算
2つの分数
公約数・公倍数の問題になります
確認テスト
爽茶おしらせ
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