「分数計算の応用問題を解きたい」という中学受験生の方、おまかせ下さい。東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」がわかりやすく図解します！
約分すると～になる…問題
「約分すると～になる…分数」という問題はたった一つのコツをつかめば和差算・分配算の問題にすることができます。
約分すると23になる分数=「➁③」と表して線分図の問題にする
「約分すると～になる分数」
例えば、約分すると23になる分数の一つ 2030は約分する前の形に直すと10×210×3になります。同じように46は2×22×3に、69は3×23×3にというように、約分すると23になる分数は皆●×2●×3という形になり、分配算で使った➀➁等の丸数字を使って「➁③」と表せます。(分母と分子が3:2の比の関係にある)
(例)約分すると23になる分数は…
分母●●●
分子➁
分母➂
「➁③」と表せる！
分母分子の和
「分子と分母の和が75で約分すると23になる分数」を考えます。
まず「約分すると23になる」なので「➁③」と表せます。
次に「分子と分母の和」つまり➁+③=⑤が75なので、線分図にすると…
約分すると23で分子と分母の和が75
➁③
分子➁
分母➂
│
├
│
┘
⑤=75
⑤=75より➀=75÷5=15 と分かる
➀=75÷5=15なので、分母③=15×3=45、分子➁=15×2=30 から、答えは3045です。
分子と分母の和が56で約分すると35になる分数は？
→約分すると35になる分数は( 「③⑤」 )と表せる。
→( ⑤+③=⑧=56なので、➀=56÷8=7 )
→( 分母⑤=7×5=35、分子③=7×3=21 、答えは2135 )
分母分子の差
「分子と分母の差が21で約分すると25になる分数」を考えます。
まず「約分すると25になる」なので「➁⑤」と表せます。
次に「分子と分母の差」つまり⑤－➁=③が21なので、線分図にすると下のようになります。
約分すると25で分子と分母の差が21
➁⑤
➂=21→➀=21÷3=7 と分かる
➀=21÷3=7なので、分子➁=7×2=14、分母⑤=7×5=35、 から、答えは1435です。
分子と分母の差が45で約分すると27になる分数は？
→約分すると27になる分数は( ➁⑦ )と表せる。
→( ⑦－➁=⑤=45なので、➀=45÷5=9 )
→( 分母⑤=9×7=63、分子③=9×2=18 、答えは1863 )
どちらかを加減して約分
「分子が8で分母に3を加えて約分すると25になる分数」を求めます。
まず「約分すると25」なので「➁⑤」。➁は分子=8で、⑤は「分母に3を加えた数」＝分母+3なので、線分図にすると…
分子は8で分母に3加えて約分すると25
分子8分母?+3
➁⑤
+3分子➁=8
分母+3⑤
➁=8なので➀=8÷2=4と分かる
➀は8÷2=4、⑤=4×5=20=分母+3なので、分母は20-3＝17とわかります。答えは817です。
分子と分母の差が45で約分すると27になる分数は？
→約分すると27になる分数は( ➁⑦ )と表せる。
→( ⑦－➁=⑤=45なので、➀=45÷5=9 )
→( 分母⑤=9×7=63、分子③=9×2=18 、答えは1863 )
分数の大小比較
３つのタイプがあります
分母か分子が等しい分数
●分母が等しい→分子が大きければ、分数全体も大きい
●分子が等しい→分母が小さければ、分数全体も大きい
確認テストをどうぞ
一番大きい分数はどれですか？
①(511、111、311)
→( 分母が同じなので、分子が大きいものを選んで、511 )
②(29、25、213)
→( 分子が同じなので、分子が小さいものを選んで、25 )
分母も分子も違う分数→通分する
一方1321と1635のように分母も分子も等しくない場合は…まず通分して分母をそろえてから分子を比較します。
21と35の最小公倍数は105なので105に通分します。(公倍数の求め方を忘れた人は「公倍数の求め方(書き出し)」か「二数のすだれ算」を見て下さい)
分母も分子も等しくない場合は
通分して分子を比べる。
1321と1635 → 45105と48105 → 1321<1635
分数と小数の比較→小数にそろえる
→分数を小数に直して比べる
(割り切れなくても大小が分かれば良い)
例:0.3と13の大小を比べる
13=1÷3=3.333→「0.3<13」
0.17と16と213を小さい順に並べなさい
→( C=213＝2÷13＝0.15 、Bは16＝1÷6＝0.166… )
→( 213<16<0.17 )
分数と小数の比較をじっくり読みたい解きたい人は姉妹サイト「そうちゃ式 旧館」の「小数と分数」を見て下さい。
既約分数の個数
２つのタイプがあって解法が少し異なります。
- 通分ありタイプ
→分母を通分してそろえて、実際に約分する- スッキリ通分できる場合
- スッキリ通分できない場合
- 通分なしタイプ
→公倍数の個数(ベン図)の問題にする
通分あり
通分を必要とするタイプは実際に約分をして数えます。そして通分の難易度の違う2つのタイプがあります。
易しいのは「 と の間にあって、分母が の分数のうち、既約分数はいくつあるか？」という問題です。
指定された分母にスッキリと通分して「 と の間の既約分数」に問題を直して約分を行い、残ったものを数えれば答えが出ます。
答えは、 個です。
一方、ちょっと難しいのは「」のように、通分が普通にはできない問題です。
の分母を にするには分数倍( 倍)しないといけないので、分子も分数倍すると になってしまいます。これを小数に直すと になるので、「 と の間の既約分数の数を求めよ」という問題に直せました。
あとはさっきと同じように実際に通分して残ったもののを数えれば終了～♪です。
約分無し
約分がない場合、例えば「分母が36で1より小さい既約分数の個数(136…3636の間にある既約分数の個数)を求めよ」というような問題の場合は、公倍数の問題になります(数えて出すこともできます)。
1から36までの36の素因数の倍数の個数(ベン図)の余事象の問題
単位分数(1N)の和にする問題
2940=1X+1Y+1Z とあらわす時のXYZを求めよ
コツはX=2,3,4…と増やしながら検討していくこと
→X=2: 12(=2040)<2940 なので、12との和に直せる。
2940=2040+940 =12+940 X=2 と分かりました。
次に、940=
1Y+1Z とあらわす時のYZを求めよという問題のつもりで解いていきます。今度はY=2,3,4と増やしながら検討します。
→Y=2:
940<12(=2040) なのでアウト
→Y=3: 940<13(=13.3…40) なのでアウト
→Y=4: 940<14(=1040) なのでアウト
→Y=5: 15(=840)<940 なので、15との和に直せる。
940=840+140 =15+140 Y=5,Z=40 と分かりました。
以上より、X=2,Y=5,Z=40 で、
2940=12+15+140 とあらわすことができます。
分数の分割による計算の工夫(通分)
・→「１2×3」を「1２－13」に変形して隣の式と打ち消す
例えば、１2×3+１3×4+１4×5+１5×6は、(1２－13)+(13－14)+(14－15)+(15－16)=1２－13+13－14+14－15+15－16と変形できます。
途中の分数を隣同士で打ち消すと… 1２－13+13－14+14－15+15－16
結局、1２－16だけが残ります。
これを計算して1２－16=36－16だ=26=12です。
整数化の問題
分数にかけたり割ったりするとちょうど整数になる数を求める問題。
例題4(かけ算すると整数になる)
「整数になる＝分母が1」ということ
[su_spoiler title=”解答を表示” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale dsd”]
分数×整数なので、23×■＝2×■3になります。
これが整数になるのは2×■3=2×□1というふうに分母が1になる時です。
分母が1になるには3と■を約分しないといけません(3と2は約分できませんね？)。3を約分するのですから3で割るということです(上の図の□は■を3で割った答えです)。
2×■3=2×□1
つまり■は3で割り切れる数、3,6,9等の3の倍数ということです。3の倍数になる[/su_spoiler]
「分数÷整数」でも同じような問題がありますので、中学受験などで詳しく勉強したい人は、関連記事「分数のかけ算割り算の応用問題」を見て下さい。
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