中学受験】倍数と余り(「で」割ると余りが出る数)等差数列も使える

「9でわると6余る数」は「9の倍数プラス6」または「9の倍数マイナス3」と表現できます。

プラス型の表現を使って考えると、9の倍数が ①9,②18,③27…と増えていき、それに6をプラスすると 15,24,33 になります

ところが「マイナス」の方を使うと、6,15,24 になります。

こちらの方が数が「最初の3つ」ですね

したがって、答えは 6,15,24 になります

マイナス型の表現「9の倍数-3」を使います。

9の倍数の⑳番目が９×⑳＝180 なので、それから3マイナスして、９×⑳-3＝177と分かります

この小問は番目が関係ないので易しいプラスの表現を使います。

まず1000に近い９の倍数を出します。
1000÷９＝111…1 なので9×111＝999 が1000付近にあります。

さらに13を足したり、引いたりして前後も出しておくと990,999,1008 が1000のそばにあります。

それらの3つ数に６プラスして1000のそばにある「９で割ると6余る数」を出すと、990+6=996(X)、999+6=1005(Y)、1008+6=1014(Z) の3つになります。
この中で、XとYが1000の前後にありますね。

そこで、XとYのどちらが1000に近いのか差をとって比べる(大きい方-小さい方)と、
1005-1000=5 と1000-996-4 で1000に近い996 が答えになります。

別解

数直線上に倍数を表すと見やすいのですが、正確に書くのは小学生には難しい場合もあります。

そこで、表を使う方法も示します。(算数が苦手な生徒さんは、まずこちらの方法で答えを出せるようにするが優先です。)

上段に9の倍数を書き、下段に＋６した数を書きます。

上段では⑪番目が100に一番近いのですが、下段では⑩番目+6が一番近いのが分かります。

表を使った解答を先に書きます

ケタ指定の倍数の個数問題と同じように考えます。こういう公式でした。

そして、数直線ではなく表を使うとこうなります。

表なら簡単に書けますね

まず9の倍数を上の段に書きます。途中は省略して、1ケタから2ケタに変わる前後と2ケタから3ケタに変わる前後を書きます。

次に、-3したものを下の段に書きます。すると、1ケタと2ケタのものが⑪個、1ケタのものが①個あると分かります。

従って、2ケタのものは⑪-①＝⑩個ありますね。(ここでは、植木算の番目と番差の関係を使って⑪-②+1＝10でも良いでしょう)

並行する数直線を使うと、99÷9＝11、9÷9＝1 なので、1ケタの9の倍数は「①9」１個だけで、1ケタと2ケタの9の倍数は「⑪99」までの11個と分かります。

この2つの数から3を引くと、①9-3=6、⑪99-3=96
となりケタ数は変わっていません念の為、一つ後の②18-3　と⑫108-3を確かめます。これらは範囲の境目である9や99をまたいでいないので、この問題では特に考えなくてもOKでした。以上より、2ケタの「9で割ると6余る数」は、96までの11個から6の1個を引いて10個 と分かります。

「7で割ると3余る数」はマイナス型の表現(7の倍数-4)で考えると①3 ②10 ③17…と並んでいます。

したがって、はじめの数＝3,公差＝7と分かります。

等差数列の基本公式「N番目の数＝はじめの数＋{公差×(N-1)}」を使って
30番目の数＝3＋{7×(30-1)}=206ですね

さきほどの公式「N番目の数＝はじめの数＋{公差×(N-1)}」から逆算の式を作り

353=3+{7x(N-1)}

Nを求めると、N＝{(353-3)÷7}+1=51と分かります

等差数列の和の公式
「数列の和＝(はじめの数＋N番目の数)×N÷２」に、はじめの数＝3、30番目の数＝206(小問２より)、N＝30 をあてはめて計算すると

(3+206)×30÷2＝3135 になります。

はじめの数3、公差7の等差数列のN番目が300だとしてNを求めてみると…

300=3+{7×(N-1)}を逆算して、N={(300-3)÷7}+1=43.4 になります。

43.4番目の数がちょうど300になる、つまり300をギリギリ超えないのが43番目で、44番目は300を越えてしまうと分かります。

したがって、7で割ると3余る数は300までに43個あります。