中学受験】倍数と余り(「で」割ると余りが出る数)等差数列も使える

「倍数の応用問題に挑戦したい」という小学5年生や中学受験生の方、お任せ下さい!

東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が「~で割ると…余る数」をまとめました♪

この記事を読めば得点アップ偏差値アップできますよ!

「倍数と公倍数」という記事にする

~「で」割ると余りが出る数

爽茶そうちゃ

こんにちは!「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

「~で割ると~余る」はどのような 数のことなのか、誘導形式の例題で理解して下さい。

2つの表現方法を理解

1-1:倍数と余り

「7で割ると3余る数」はどのような数か求めたい。次の問いに答えよ
「7で割り切れる数」はどのような数か
解説

「Aで割り切れる数」=Aの倍数でした。(忘れたという人は「倍数の意味と範囲」を見て下さい)

したがって、「7で割り切れる数」=7の倍数です

7の倍数

7×➀(=7),7×➁(=14),7×③(=21)…と増えていきます

「7で割ると3余る」とはどういう意味か
解説

「3余る」とは言葉としては「プラス3する」 という意味ですね。この問題では、7の倍数に+3するという意味です。

よって「7で割ると3余る数」は「7の倍数+3」になります

7の倍数に+3するということ

先程の7の倍数にプラス3した数を並行する数直線に記していくと、10,17,24…と増えていきます。


ただ!これで終わりではありません!

「プラス」以外にも考え方は無いか
解説

10を14と、17を21と結んでみると…

BはAをマイナスの方向に4ずらした数になっていると分かります。

つまり、Bは「7の倍数-4」とも言えるのですね。

7の倍数-4
結局、「7で割って3余る数」はどのような数か。2通りで表現しなさい
解説

先程のプラスとマイナスの2つの考え方を合わせて
「7で割って3余る数」は「7の倍数+3」または「7の倍数-4」と言えますね

7の倍数+3または 7の倍数-4

このように、割ると余りが出る数は「倍数にプラスする型」と「倍数からマイナスする型」の2通りの表現があります。
o(・∀・)o

~で割ると余りが出る数

「Aで割るとB余る数」
◆プラス型表現「Aの倍数+B」
◇マイナス型表現「Aの倍数ー(A-B)」

(例)7で割ると3余る数
◆プラス型の表現「7の倍数+3」
◇マイナス型の表現「7の倍数-4」

線分図での表現

先程は数直線で説明しましたが、線分図での書き方を記しておきます。(こちらの方もよく使います)

まず、「7で割り切れる数=7の倍数」を線分図にすると、こうなりますね。

7で割り切れる数(7の倍数)

長さ7の線分がつながった形
(かけ算の線分図と同じ)

次に「7で割ると3余る数」Bを書きます。上でまとめた通り、Bはプラスマイナス2通りの表現が可能です

プラス型の表現

7の倍数+3
マイナス型の表現

7の倍数-4

そして、2つを合わせて図にするとこうなります

7で割ると3余る数

プラス型(7の倍数+3)と
マイナス型(7の倍数ー4)
2通りの表現が可能

是非書けるようにしておきましょう!

~で割ると余りが出る数

「Aで割るとB余る数」
◆プラス型表現「Aの倍数+B」
◇マイナス型表現「Aの倍数ー(A-B)」

(例)7で割ると3余る数
◆プラス型の表現「7の倍数+3」
◇マイナス型の表現「7の倍数-4」

類題で定着

1-1:倍数と余り

「13で割ると3余る数」を2通りで表現しなさい。
解説

問題文で「13で割ると3余る」とあるので、
13の倍数にプラスする数字は、マイナスする数字は 133=「10」です


こういうイメージ(汚くてスイマセン)

したがって、プラス型の表現は「13の倍数+3」、マイナス型の表現は「13の倍数-10」です。

13の倍数+3または13の倍数-10

それでは、これら表現を使った問題を解いてみましょう。

利用問題

考え方を理解

1-1:倍数と余りの問題

「9で割ると6余る数」について次の問いに答えなさい
「9で割ると6余る数」を小さい方から3つ書きなさい
解説

「9でわると6余る数」は「9の倍数プラス6」または「9の倍数マイナス3」と表現できます。

プラス型の表現を使って考えると、9の倍数が ①9,②18,③27…と増えていき、それに6をプラスすると 15,24,33 になります

ところが「マイナス」の方を使うと、6,15,24 になります。

こちらの方が数が「最初の3つ」ですね

したがって、答えは 6,15,24 になります

6,15,24
補足…

プラス型の表現の場合、先程の図には9の倍数のゼロ番目0というのが隠れていて、9×0+6=0+6=6 が最初の数だったのですね!


ただ、この考え方だと9の倍数のゼロ番目と「余る数」の1番目が対応することになり、紛らわしいです…

一方、マイナス型の表現だと、9の倍数の1番目「9」と6余る数の1番目「6」が対応するのでスッキリ分かりやすいです。

したがって番目が関係する場合は「マイナス」の考え方を使ったほうが良さそうだと分かります。

これが面倒くさい人は、等差数列の考え方を使うとスッキリします。(最終章にあります)

「余り」で番目の問題

→マイナス型の表現か
等差数列の考え方を使う

「9で割ると6余る数」の20番目はいくつか?
解説

マイナス型の表現「9の倍数-3」を使います。

9の倍数の⑳番目が9×⑳=180 なので、それから3マイナスして、9×⑳-3=177と分かります

177
「9で割ると6余る数」で1000に一番近いものは?
解説

この小問は番目が関係ないので易しいプラスの表現を使います。

まず1000に近い9の倍数を出します。
1000÷9=111…1 なので9×111=999 が1000付近にあります。

さらに13を足したり、引いたりして前後も出しておくと990,999,1008 が1000のそばにあります。

それらの3つ数に6プラスして1000のそばにある「9で割ると6余る数」を出すと、990+6=996(X)、999+6=1005(Y)、1008+6=1014(Z) の3つになります。
この中で、XとYが1000の前後にありますね。

そこで、XとYのどちらが1000に近いのか差をとって比べる(大きい方-小さい方)と、
1005-1000=5 と1000-996-4 で1000に近い996 が答えになります。

996
別解

数直線上に倍数を表すと見やすいのですが、正確に書くのは小学生には難しい場合もあります。

そこで、表を使う方法も示します。(算数が苦手な生徒さんは、まずこちらの方法で答えを出せるようにするが優先です。)

上段に9の倍数を書き、下段に+6した数を書きます。

9の倍数

18

90

99

108
 〃 +6 9+6
15
18+6
24
90+6
96
99+6
105
108+6
114

上段では⑪番目が100に一番近いのですが、下段では⑩番目+6が一番近いのが分かります。

「9で割ると6余る数」で2ケタのものはいくつあるか?
解説(表を使用)

表を使った解答を先に書きます

ケタ指定の倍数の個数問題と同じように考えます。こういう公式でした。

倍数の個数(ケタ数指定)

そして、数直線ではなく表を使うとこうなります。


表なら簡単に書けますね

まず9の倍数を上の段に書きます。途中は省略して、1ケタから2ケタに変わる前後と2ケタから3ケタに変わる前後を書きます。

次に、-3したものを下の段に書きます。すると、1ケタと2ケタのものが⑪個、1ケタのものが①個あると分かります。

従って、2ケタのものは⑪-①=⑩個ありますね。(ここでは、植木算の番目と番差の関係を使って⑪-②+1=10でも良いでしょう)

10
別解(数直線)

並行する数直線を使うと、99÷9=11、9÷9=1 なので、1ケタの9の倍数は「①9」1個だけで、1ケタと2ケタの9の倍数は「⑪99」までの11個と分かります。

この2つの数から3を引くと、①9-3=6、⑪99-3=96
となりケタ数は変わっていません念の為、一つ後の②18-3 と⑫108-3を確かめます。これらは範囲の境目である9や99をまたいでいないので、この問題では特に考えなくてもOKでした。以上より、2ケタの「9で割ると6余る数」は、96までの11個から6の1個を引いて10個 と分かります。

解き方は以上ですが、この解き方が「紛らわしい」難しい」という人も多いと思うので、もう少し単純な解き方も説明します。

それは等差数列を使った解き方です。

等差数列として解く考え方

「規則性」「等差数列」の学習が前提になります。

最低限、等差数列の公式と基本図を理解してお読み下さい。

この図を見て「?」の人は関連記事「数列のまとめ」を見て下さい。

さて、倍数の第一回で、倍数=等差数列の一種 と説明しました。この「余る数」も等差数列と見ることができます。

1-2:倍数と余り(等差数列)

「7で割ると3余る数」を等差数列と考えて、以下の問いに答えなさい。
はじめの数と公差はいくつになるか
解説

「7で割ると3余る数」はマイナス型の表現(7の倍数-4)で考えると①3 ②10 ③17…と並んでいます。

したがって、はじめの数=3,公差=7と分かります。

はじめの数3,公差7
割って余る数を等差数列にする

「Aで割るとB余る数」を数列にすると
はじめの数:B,公差:Aの等差数列になる。

(例)7で割ると3余る数
→はじめの数:7、公差:7 の等差数列になる

「7で割ると3余る数」の30番目を求めなさい
解説

等差数列の基本公式「N番目の数=はじめの数+{公差×(N-1)}」を使って
30番目の数=3+{7×(30-1)}=206ですね

206
353は「7で割ると3余る数」の何番目か?
解説

さきほどの公式「N番目の数=はじめの数+{公差×(N-1)}」から逆算の式を作り

353=3+{7x(N-1)}

Nを求めると、N={(353-3)÷7}+1=51と分かります

51番目
「7で割ると3余る数」の1番目から30番目までの和を求めよ
解説

等差数列の和の公式
「数列の和=(はじめの数+N番目の数)×N÷2」に、はじめの数=3、30番目の数=206(小問2より)、N=30 をあてはめて計算すると

(3+206)×30÷2=3135 になります。

3135
1から300までの整数のうち「7で割ると3余る数」はいくつあるか?
解説

はじめの数3、公差7の等差数列のN番目が300だとしてNを求めてみると…

300=3+{7×(N-1)}を逆算して、N={(300-3)÷7}+1=43.4 になります。

43.4番目の数がちょうど300になる、つまり300をギリギリ超えないのが43番目で、44番目は300を越えてしまうと分かります。

したがって、7で割ると3余る数は300までに43個あります。

43

このように、等差数列への直し方を憶えておけば、

割って余る数を等差数列にする

「Aで割るとB余る数」を数列にすると
はじめの数:B,公差:Aの等差数列になる。

(例)7で割ると3余る数
→はじめの数:7、公差:7 の等差数列になる

悩まず簡単に解くことが出来ますね。

まとめ

~で割ると余りが出る数

「Aで割るとB余る数」
◆プラス型表現「Aの倍数+B
◇マイナス型表現「Aの倍数ー(A-B)

(例)7で割ると3余る数
◆プラス型の表現「7の倍数+3
◇マイナス型の表現「7の倍数-4

★等差数列に直す
「Aで割るとB余る数」を数列にすると
はじめの数:B,公差:Aの等差数列になる。

(例)7で割ると3余る数
→はじめの数:7、公差:7 の等差数列になる 

爽茶そうちゃ
~で割ると余る数が分かりましたか?
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