中学受験】約数の個数の求め方は？素因数分解を活用すれば簡単です

「約数が何個あるのかパッと出したい！」という中学受験生や中学生の方、おまかせ下さい！東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」が分かりやすく図解します！読み終わる頃には約数の個数が暗算で出せるようになりますよ♪

素因数分解が分からない人は参考記事「約数倍数のまとめ」内「素因数分解」を見て下さい。

約数の個数を求めるには
書き出しだと限度がある！

こんにちは！「そうちゃ」@zky_tutor(プロフィール)です。

「約数の意味」では約数を「書き出し法」で求めました。覚えているか(知っているか)テストしてみましょう。

●復習例題

このように書き出せば、どんな数でも約数の個数を求めることができます。

ただ…数が小さいうちは良いのですが、大きな数、例えば「1050」のような4ケタの数になったりすると…

1×1050
2×525
3×350
4×…
(+_+)ムリ！となります

ところが！ある方法を使えば、数え上げなくても約数の個数が分かってしまうのです！
例えば、1050でしたら、因数分解すると「2×3×5×5×7」になります。これを見て…2×2×3×2＝24個！と3秒で分かってしまうのです

今回はその方法を練習をしましょう!

素因数分解を使う
約数の個数の求め方
(例:12の約数の個数)

素因数分解から約数の個数が分かるのは、約数は素因数から出来ているからです。

説明

12=2×2×3 を例に説明します(長いので興味がある人だけ読んで下さい。問題を解けるようになるのが最優先です)

[su_spoiler title=”長い説明を読む” style=”fancy” open=”no” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn pale”]

約数は素因数から出来ている…の？

最初に約数を6個と出した「12」を「二分解法」で12を素因数分解してみます。

12→2×6→2×2×3 または 12→3×4→2×2×3 でしたね。

これを見ると、12の約数は2,3はもちろん、4や2×2、6は2×3、12は2×2×3 と皆「2」と「3」でできているのが分かります

つまり、約数は素因数の組み合わせでできている？気がします！！
( ･`ω･´)

ただ…もう一つ約数がありますね？

1 です。

1を2や3からは作れないように見えます困った…
(^_^;)

1を作るには…

もう一度、12の素因数分解をみましょう

12＝2×2×3です

この「2」「2」「3」を使ってかけ算で好きな数を作るというのを、2を赤い玉●3で、3を青い玉●に例えると、

●●と●を自由に組み合わせると何通り作れるか,という問題と同じですね。

何通りでしょう？
①●
②●●
③●
④●●
⑤●●●

で、5通り！そう思った人、惜しい！です

もうひとつ、⑥(何も無し)というのがあります。

「自由に」はそういう意味でした
(^_^;)

コレを表にすると、こうなります。

●の要素(→) ●の要素(↓)	無し	●	●●
無し	⑥(何も無し)	①●	②●●
●	③●	④●●	⑤●●●

つまり、●は3パターン、●は2パターン

それをかけ合わせて3×2＝6 なので 6通りある、という仕組みです。

ここで、話を素因数分解に戻します。

今の表の●●を「2」「3」にするとどうなるでしょうか？
●は2，●●は2×2、●は3 これは良いですね？
問題は「無し」です。

2の要素(→) 3の要素(↓)	???	2	2×2
???
3

ここで、因数分解の時に、いつも仲間はずれにされていたカワイソウな数字「1」の出番です！

かけ算では、1はあってもなくても同じ数字なので、「無し」の代わりに1を使いましょう。

表を書くと、こうなります

2の要素(→) 3の要素(↓)	1	2	2×2
1	1×1＝1	1×2＝2	1×2×2＝4
3	3×1＝3	3×2＝6	3×2×2＝12

12＝2×2×3 から
「2」が2個なので「2」は2+1＝3パターン
「3」が1個なので「3」は1+1＝2パターン
(無しの「1」の分が+1されます)
3パターン×2パターン＝全部で6パターン になります

これで、12の素因数分解「2×2×3」から12の約数を6個導くことができました！！[/su_spoiler]

まとめと公式化

というわけで「12＝2_①×2_②×3_① と因数分解できるので、12の約数の個数は(②+1)×(①+1)=3×2=6 と求めることができると分かりました。

12は「2」と「3」の二種類の素数しか出てきませんでしたが、三種類以上の素数が出てくる場合も同じように出せます。

例えば60＝2×2×3×5の場合
「2」が2個なので(2+1)パターン
「3」が1個なので(1+1)パターン
「5」が1個なので(1+1)パターン
合計で(2+1)×(1+1)×(1+1)＝12パターン

60の約数は12個と出せます。

まとめると…こうなります。

では、練習してみましょう！

●類題1-1

●類題1-(2)

●類題1-(3)

●類題1-(4)

逆向きの問題

公式(素因数分解から約数の個数を出す)の逆に、約数の個数から素因数分解の形を求める問題

例「１から50までの数のうち、約数が3つのものは何個あるか？」
→素因数分解すると「a×a」(素数の平方数)という形は、約数が(2+1)=3個になる。(この形以外には無い)
→1から50までに素数の平方数は「2×2=4」「3×3=9」「5×5=25」「7×7=49」の4個。

例2「 〃 、約数が4つのものは何個あるか？」
→約数が4つあるのは「a×b」(X型)か「a×a×a」(Y型)
→数え上げると…
→X型は「2×3」～「2×23」の8個+「3×5」～「3×13」の4個+「5×7」の1個＝13個
→Y型は「8(2x2x2)」「27(3x3x3)」の2個のみ
→合わせて13+2=15個

まとめると…

まとめ

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